Méthode de Horner

Bonjour,
Réf. : https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Ruffini-Horner
Je découvre cette méthode.
Je suppose qu'elle est enseignée, ma question est la suivante : est-elle enseignée dans un cadre de formation de culture générale dans le domaine des mathématiques, ou au contraire, est-elle enseignée dans le cadre de l'utilisation en programmation informatique. Si c'est dans le cadre de formation informatique, cette méthode me parait particulièrement dangereuse, puisque la valeur finale est obtenue par la multiplication successive de différents nombres. Il y a une forte probabilité que parmi les sommes de coefficients, il y en ait des petits et des grands. Cela aura pour résultat de perdre à chaque étape de la précision.
Concernant la précision, l'exemple donné n'est pas très bon, puisque un calculateur débutant pensera toujours à mettre X en facteur.
Ce problème de précision est crucial en information, et apparemment, il n'est pas toujours évoqué en calcul numérique.

Bonjour,
Un nouvel utilisateur vient de s'inscrire sous le pseudo "Horner".
Je suppose qu'il souhaite échanger à propos de ma position concernant le calcul numérique en informatique.
Ce sujet est évoqué quelque fois.
Voir en particulier ce fil, créé dernièrement : https://dlz9.forumactif.com/t1219-bonne-nouvelle

Bonsoir Dlzlogic,
en effet, parlons de l'évaluation des polynômes, puisque c'est l'objet de cette discussion.

Prenons l'exemple du polynôme P = 2.3 * x^5 + 3.4 * x^4 + 5.6 * x^3 + 7.8 * x^2 + 11.12 * x + 13.14  
Avec Horner, on calcule ((((2.3 * x + 3.4) * x + 5.6) * x + 7.8 ) * x + 11.12) * x + 13.14 , soit 5 additions et 5 multiplications avec des nombres flottants.
On pourra par la suite étudier les conséquences numériques (la précision du résultat) dues à ces 10 opérations.

Quelle méthode d'évaluation préconises-tu pour évaluer ce polynôme P ?
On pourra par la suite étudier les conséquences numériques (la précision du résultat) dues aux opérations de ta méthode, et comparer à la méthode de Horner.

Voir en particulier ce fil, créé dernièrement : https://dlz9.forumactif.com/t1219-bonne-nouvelle

Même si on y parle de polynômes, ce sujet n'est pas lié à la méthode de Horner.

Bonsoir Horner,

Quelle méthode d'évaluation préconises-tu pour évaluer ce polynôme P ?

D'abord, j'ai une réponse simple : pourquoi aurais-je à calculer la valeur d'un tel polynôme ?
Je ne réponds pas à une question par une question, simplement je précise la question que tu poses.
Donc supposons qu'on ait à calculer un tel polynôme, il s'agit d'une "formule" mise au point pas des moyens qui ne concernent pas la discussion. Par contre, on va calculer le dit polynôme pour des valeurs de 'x'. Ces valeurs de 'x' ne sont certainement pas n'importe quoi, par exemple, elles peuvent être négatives ou positives, inférieures ou égales à 1, petites ou grandes. Ce qui veut dire que ce polynôme a été étable pour des valeurs de 'x' comprises dans un certain intervalle. De façon évidente, ce que je dis signifie qu'on est dans un contexte précis, que ce soit de la physique, de l'économie ou je ne sais quoi, l'utilisateur qui aura établi cette formule et compte l'utiliser souvent aura établi un algorithme le plus efficace, le plus rapide et éventuellement le plus précis possible. Pour cela, il aura recours aux méthodes que lui ont enseignées ses professeurs de maths.

Donc, je ne peux pas répondre à ta question, tout simplement parce que ce n'est pas moi qui ai établi cette formule et que je n'ai aucune information sur les valeurs prises par 'x'.

Je peux te retourner la question : dans quel contexte aura-t-on à écrire un code qui ait à évaluer ce polynôme ? L'algorithme sera-t il celui de Horner ou pas, pour être le plus efficace possible ? Moi, je ne sais pas répondre. Par contre, il me semble que la NASA a trouvé la réponse dans le cas précis du calcul de sinus

bonjour

Dlzlogic a écrit: Donc, je ne peux pas répondre à ta question, tout simplement parce que ce n'est pas moi qui ai établi cette formule et que je n'ai aucune information sur les valeurs prises par 'x'.

Ok,  tu ne peux pas résoudre cette simple question mathématique : l'évaluation d'un polynôme, c'est à dire le sujet à proprement parlé de la méthode de Horner.
Tu ne veux pas traiter un seul exemple que tu choisirais ??

Dlzlogic a écrit:
Je peux te retourner la question : dans quel contexte aura-t-on à écrire un code qui ait à évaluer ce polynôme ?

les polynômes ne servent à rien, c'est clair.

Dlzlogic a écrit:
L'algorithme sera-t il celui de Horner ou pas, pour être le plus efficace possible ?

Sauf cas particulier, cet algorithme général minimise le nombre de multiplications pour évaluer un polynôme, ce qui le rend rapide.
Il est enseigné (et sans réelle difficulté) dès les premières années en informatique.
Il existe des versions améliorées pour avoir encore davantage de maîtrise sur la précision de l'évaluation.

Dlzlogic a écrit:Moi, je ne sais pas répondre.

Ok, il fallait commencer par dire cela avant de critiquer la méthode de Horner en la qualifiant de "dangereuse".
Ce qui me parait dangereux, c'est de faire croire qu'on est "sachant", affirmer des conclusions non prouvées et fausses.

Par contre, il me semble que la NASA a trouvé la réponse dans le cas précis du calcul de sinus

approximation polynomiale d'une fonction par un polynôme (cf problème de la NASA)
et évaluation polynomiale (cf méthode d'Horner) :
deux sujets intéressants abordant les polynômes, mais pas le même sujet du tout.

Il existe une "finalité" qui s'appelle "rendre calculable par logarithme". La méthode de Horner en est une application. J'avoue, j'en ignorais le nom.
Il ne faut pas confondre "résoudre une problème posé" et "appliquer une formule apprise en cours".
Je ferme le sujet.