Passage de vélos

Bonjour,
Réf. : https://www.ilemaths.net/sujet-passage-de-velos-890546.html
C'est un énoncé intéressant.
J'ai quelques idées, mais la question "15 exactement ou au moins 15 ?" me parait sans intérêt, pour la bonne raison que la statistique de 48 vélos à l'heure résulte d'observation sur plusieurs heures et plusieurs jours.
Il s'agit là du problème des files d'attente, par exemple aux péage d'autoroute.
Ce problème a été étudié en détail par J.H. dans son livre Probabilités et Statistique.

Bonsoir,
Comme a son habitude Gbzm a réussi à casser le sujet.
Dans le forum "détente", le but n'est pas forcément de donner "la solution", le but est d'échanger indépendamment du souci d'aider un étudiant.
Malheureusement il a l'art de tout démonter. A son age, il devrait comprendre que l'art des mathématiques n'est pas limité à la connaissance de telle ou telle formule, lisible sur Wikipédia.
Concernant le sujet présent, je suppose que Flight espérait autre-chose qu'une formule.
Fin de commentaire.

Flight évoque des exercices intéressants, pourquoi casser sa baraque ?

Bonjour,
Il me semble tout de même utile de préciser que la loi de Poisson est la loi des évènements rares. En fait son cadre d'utilisation est relativement limité.
L'exercice proposé par Flight part d'une statistique : moyenne de comptage de passages de vélos à un certain endroit. Le résultat est certainement un nombre décimal.
On sait que la densité de probabilités est représentée par une courbe de Gauss, représentative de la loi normale. Alors pourquoi utiliser la loi de Poisson qui n'est qu'une simplification de la loi normale, lorsqu'il s'agit d'évènement rares ? Parce qu'elle est au programme ? Parce que c'est une loi qui s'applique aux variables entières ? Autre raison ?

wiki:
" la loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui décrit le comportement du nombre de vélos se produisant dans un intervalle de temps fixé,"

Bonjour Beagle,
Bien-sûr, j'ai lu l'article de Wiki. Bien-sûr, je maintiens ce que j'ai dit.
La loi de Poisson est la loi des évènements rares. Le fait que les variables soient des non entiers ou pas ne change rien à la logique.

Ben fais le calcul autrement, et on comparera la vitesse des vélos.

Il y a 3 points importants concernant la loi de Poisson
1- le caractère discret (nombre entier) de la variable. J'ai déjà souvent évoqué ce point. Qu'on fasse des distinctions entre variables continues et variables discrètes, je pense que c'est dans un but pédagogique, mais dans la réalité, c'est sans objet.
2- le caractère de rareté des évènements étudiés. Cela se manifeste par les limitations du paramètre lambda. Il en est beaucoup question dans la discussion.
3- le caractère de simplification de la formule de la loi normale. Il en est question aussi dans la discussion.

Dans le contexte du nombre de vélos, la loi de Poisson n'est pas applicable.

les conditions de rareté c'est pour approximer loi binomiale en loi de Poisson plutot que loi normale,
mais pour utiliser la loi de Poisson quand c'est la loi de Poisson,,
quels sont les critères de rareté?

D'abord, une expérience répétitive de même protocole ou de même loi a une répartition des écarts à la moyenne qui est celle de la loi normale. C'est le TCL. Je rappelle que le 'C' c'est pour "central" i.e. "fondamental" et que "limite" sous entend "grand nombre".
La formule de calcul n'est pas simple et on utilise des tables.
La loi binomiale est intuitive, la formule est un peu difficile à calculer, et est "exacte" mais pas très juste.
Lorsque le probabilité est faible, c'est à dire un évènement rare, les matheux disent qu'on peut l'approximer par la loi de Poisson.
Mais il n'en reste pas moins que seule la répartition normale est rigoureuse, voir la démonstration du théorème de Bernoulli.
Pour les évènements rares, c'est à dire de faible probabilité, l'exemple typique c'est le phénomène "accident", on peut simplifier le formule de Gauss et utiliser la loi de Poisson.

Le point fondamental est la notion de hasard. J.H. a expliqué soigneusement cette notion, il a utilisé la trajectoire d'une bille de billard. Lorsqu'on fait une expérience quelconque, un comptage, une mesure répétée d'une même chose, la seule variable est le hasard.
L'exemple des vélos est assez simple : on veut savoir le nombre de vélos qui passent à un certain endroit, par exemple pour prévoir des feux, ou évaluer l'usure de la route, alors on fait plusieurs comptages, à des heures différentes et des jours différents. Ce protocole est mis au point par des statisticiens. On en tire une moyenne, en l'occurrence 48 vélos/heure. Il parait évident qu'à certaines heures il y en aura moins et à d'autres heures il y en aura plus. Ceci est représenté par la courbe de Gauss. Si on veut savoir la probabilité qu'il y en ait 15 en 15 minutes, on résout le problème tel que le posent de nombreux exercices au niveau lycée. On sait que l'unité "écart-type" se situe à tel endroit de la courbe, on prend une table de répartition et on fait l'opération. Il parait que les calculettes ont une touche pour calculer cela.
En tout cas l'exercice proposé par Flight ne se calcule pas par application de la loi de Poisson. Ca aurait pu être le cas si l'évènement étudié était la crevaison d'un pneu.

Bonjour,
Un membre (nouveau) de Maths-Forum a ressorti un fil initié par Sylviel à propos de la loi des grands nombres, on peut y lire Vassillia, Gbzm, Lycéen, bref, des gens très sympathiques et vraiment connaisseurs en diffamation.