Un énoncé intéressant

Bonjour,
Réf. : https://www.ilemaths.net/sujet-probabilite-890992.html
C'est un sujet assez classique que l'on trouve sous différentes formes.La forme de base est le cas de la "durée de vie". Cela s'applique aux éléments radioactifs, aux composants électriques ou électroniques sans usure. Le principe général est que quand un élément, celui considéré, a claqué on note le temps et l'élément considéré n'existe plus, mais cela n'empêche pas de continuer l'expérience.
Pour être clair, ce contexte s'oppose au contexte, plus courant et plus intuitif, de mesure. Je citerai le cas de mesure réalisée par GPS. Un GPS réalise un très grand nombre de mesures et c'est là que les notions fondamentales des probabilités interviennent
1- application de la loi des grands nombres (le résultat, comme chacun, sait est unique)
2- application de la loi normale : on peut calculer la précision du résultat (intervalle de confiance).
Chaque évènement observé (mesure de distance) est indépendant des autres mais concerne les mêmes objets : le GPS et les satellites.

Le contexte de l'exercice de Flight est très comparable à la loi de "durée de vie". On pioche des lettres jusqu'à avoir obtenu les 4 lettres voulues.
Ma question : où intervient la théorie des probabilités ?

Bonjour Dlzlogic,
C'est un petit exercice de base sur la loi géométrique. N'êtes vous pas d'accord avec la réponse de verdurin ? L'espérance du nombre de tirages pour obtenir toutes les lettres de "MATH" est 26 * (3 + 4 + 6 +12) / 12 , environ 54,17.
Petite question subsidiaire pour vous : quelle est la variance ?

Bonjour Humx3
Pour la variance, si on peut calculer l'écart-type parce que cette expérience entre dans le cadre de la loi normale, alors c'est le carré de l'écart-type.
Mais il me semble bien que cet exercice ne relève que du chapitre d'analyse combinatoire.

La variance ( et l'écart-type ou écart moyen quadratique si vous préférez) se calculent pour n'importe quelle variable aléatoire (enfin, pourvu qu'elle satisfasse des propriétés d'intégrabilité), il n'y a aucune obligation qu'elle soit gaussienne.
L'analyse combinatoire est un outil important en théorie des probabilités. D'ailleurs, Jacques Harthong y consacre tout un chapitre de son ouvrage "Probabilités et statistiques", de la page 34 à la page 60, sous le titre "Dénombrement".

Dans "écart-type" il y a "type" c'est type de quoi ?
Pour une expérience aléatoire de même protocole, "écart-type" a un sens. On sait que 2/3 des écarts lui sont inférieurs, si on calcul l'écart probable ep, on sait que la moitié des écarts lui seront supérieurs etc.
Dans le cas de la "loi géométrique", que peut-on faire de cette valeur ? à quoi elle sert ? que représente-elle ? (j'exclue naturellement les exercices scolaires).
Bon, j'avoue que je m'attendais plutôt à une réaction du genre "depuis vingt ans tu dis que toute expérience aléatoire [...] produit un résultat suivant une répartition normale." Là c'est un contre-exemple caractéristique, facile à réaliser et à vérifier, autrement plus que le fameux "contre-exemple" de la loi de Cachy
Donc ma question "tout le monde s'en fiche", ou ça commence à porter ses fruits ?

En tout cas, il y en a un qui ne s'en fiche pas, mais à l'évidence, il n'a rien compris.

À quoi sert l'écart-type ou la variance pour une variable aléatoire qui n'est pas gaussienne ?
Eh bien, c'est toujours une mesure de dispersion de la distribution.
Je citerai juste une utilisation de l'écart type : on la trouve dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, qui dit que la probabilité que la différence entre une variable aléatoire et son espérance soit supérieure ou égale à α est majorée par le carré de l'écart-type divisé par α². Cette inégalité s'applique à toute variable aléatoire qui a une espérance et un écart-type, et fort heureusement pas uniquement à une variable gaussienne ! Cela permet de démontrer la loi des grands nombres pour toute variable aléatoire qui a une espérance et une variance. Avouez que ce serait un peu tristounet si on n'avait la loi des grands nombres que pour des variables gaussiennes !
Il ne faut pas s'accrocher aux mots, ce qui est important, ce sont les concepts. Relisez au besoin votre cours de Levallois. Il y parle d'erreur moyenne quadratique, c'est ce qu'on appelle maintenant écart-type. Si cela vous embête de l'appeler écart-type, continuez de l'appeler erreur moyenne quadratique, ce n'est pas grave. L'important est que vous compreniez bien que cette erreur moyenne quadratique n'existe pas uniquement pour les variables gaussiennes.
Dans le cas d'une variable gaussienne, on a des propriétés spécifiques du genre : il y a à peu près 95% de chances d'être à moins de deux écarts-types de l'espérance. Très bien, c'est fort commode. Ce n'est pas pour cela que la loi exponentielle, par exemple, n'a pas d'écart type. Et si on fait la moyenne de n variables aléatoires indépendantes distribuées selon la loi exponentielle d'écart-type σ, alors on est proche pour n suffisamment grand d'une variable gaussienne d'écart-type σ/n^1/2. Heureusement que la loi exponentielle a bien un écart-type, pour qu'on puisse ainsi formuler le théorème central limite.

Bonsoir,
J'ai lu soigneusement votre message.
Il y a eu une entourloupe mathématicienne, l'histoire du TCL.
Je m'explique : dans le monde réel observable tout expérience de même procédure (certains préfèrent dire de même loi, mais quand on emplois cette expression, on a la réaction : même loi que quoi ? (sic)) le TCL implique la loi normale, alors ma question : qu'apporte le TCL, sauf une entourloupe mathématique, et je pèse mes mots.

Au risque de me répéter, l'écart moyenne quadratique, c'est la moyenne de second ordre. Concernant l'inégalité fondamentale de Bienaymé, c'est parfaitement démontré, mais ce n'est vrai que pour les expériences de même loi. Le cas de la loi exponentielle et de la loi géométrique est particulier, pour la simple raison que l'élément ayant réussi le test, n'existe plus par définition.

Avant de parler de la loi normale, que Kolmogorov a éludé, il faut parler de la loi des grands nombres. Chacun sait que le résultat d'une expérience dans le cadre qui nous intéresse, est unique et non pas "au choix" comme vous l'avez exposé bizarrement dans votre exercice des 4 Piles.

Si vous voulez continuer à discuter sur ce sujet, commencez par lire mon papier
http://www.dlzlogic.com/aides/Notions_de_probabilite.pdf
et me dire ce que vous ne comprenez pas.

C'est très confus, ce que vous écrivez sur le théorème central limite : "implique la loi normale" ne veut pas dire grand chose. Vous voulez dire qu'une somme de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (ce que vous traduisez semble-t-il par "de même procédure") converge vers la loi normale quand n grandit ?
Sur l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, c'est aussi confus. Faut-il comprendre dans ce que vous écrivez que cette inégalité n'est pas valable pour la loi exponentielle ou la loi géométrique ?
Je constate que vous n'avez toujours pas compris le petit exercice des séries de 4 piles et que vous ne pouvez pas vous passer de raconter des bêtises sur Kolmogorov.
C'est très gentil de me proposer de lire vos écrits pour m'initier à la théorie des probabilités, mais permettez moi de préférer, pour ce qui concerne la théorie des probabilités, lire les écrits des probabilistes, par exemple Jacques Neveu dont j'avais suivi les cours il y a plus de cinquante ans.
Bonne nuit, dormez bien.

C'est très clair.

Bonjour,
J'ai ouvert ce fil pour mettre en évidence la notion "rang du premier succès" après une suite d'échecs, très différente de celle des probabilités, telles qu'on a l'habitude de voir.
Il est clair que la répartition des écarts à la moyenne n'a aucune raison d'être normale, puisque la loi normale ne peut pas être appliquée : l'élément testé ou mesuré ou observé ne peut l'être qu'une seule fois, par définition.
Par contre, si on réalise l'expérience suivante : "sur un nombre limité d'éléments, on calcule la moyenne des rangs du premier succès", alors les moyennes obtenues sont le résultat d'une expérience de même protocole et on pourra constater la répartition normale de ces moyennes.
Pour la variante proposée par Léon avec le mot PROBABILITES, je trouve une moyenne d'environ 75 et une médiane d'environ 70. Dommage qu'il n'y ait pas plus de réponse.
A ma connaissance, ce type d'expérience est le seul où la médiane a vraiment une signification intéressante : chaque "premier succès" a une chance sur deux de survenir avant cette médiane.

Bonjour,
J'ai vu que Gbzm avait donné un résultat, qui est un peu différent du miel.
Moi, j'ai fait une simulation et je suis prêt à donner le code et à le justifier.
Il y a le problème des lettres apparaissant deux fois, le 'B' et le 'I', il n'est pas précisé si le tirage à leur position doit être respectée ou pas. Pour mon calcul, j'ai considéré que c'étaient deux lettre différentes.
J'ai admiré la précision du résultat de Gbzm (4 chiffres significatifs) c'est pas mal.

Bonjour Dlzlogic,
Le calcul théorique que j'ai fait ainsi que la simulation sont d'accord, et d'accord avec le résultat donné par GBZM.
Avez-vous bien fait votre simulation en tenant compte du fait qu'il faut deux B et deux I ? La différence vient peut-être de là.

Il y a plusieurs façons d'interpréter les lettres en double.
Pour ma simulation je l'ai refaite avec 1000 épreuves (je confirmé une expérience de 1000 épreuves) j'arrive à 77 de moyenne et 72 de médiane.
Comme j'ai dis, j'ai considéré les lettres en double comme des lettres différentes.
Il y a une autre façon de voir, exemple , on tire un 'B', alors on a trouvé la lettre 'B' qui sera notée 2 fois, idem pour 'I'.
Une autre façon de voir : il faut tirer deux fois un "B".
En fait, comme cela ne représente pas une expérience bien définie dans le monde réel, en l'absence de précision supplémentaire, toutes les options sont possibles.
Mais le résultat m'importe peu, seul le développement m'intéresse, histoire de garder l'entrainement.
Autre point qui m'intéresse dans le cadre de la théorie des probabilités, c'est de dire et répéter que dans ce type d'énoncé, la moyenne et a fortiori l'écart-type n'ont pas vraiment de signification. C'est la médiane, puisqu'il s'agit d'une épreuve binaire.

Pour avoir toutes les lettres du mot "PROBABILITES", il faut tirer un P, un R, un O, deux B, un A, deux I, un L, un T un E et un S.
On peut faire un calcul théorique. La difficulté vient des lettres doubles B et I.
Notons p_j,k où j<k la probabilité que le premier tirage d'une lettre double arrive en position n°j et que le premier tirage de l'autre lettre double arrive en position n°k.
Alors l'espérance du nombre de tirages nécessaires pour avoir toutes les lettres de PROBABILITES est
Reste à déterminer p_j,k, ce qui demande un peu de réflexion. Je donne
p_1,k = (2/10) * (1/10)
p_2,k = (8/10) * (2/9) * (1/9)
Ce début peut vous mettre sur la piste.
Si vous préférez les fractions aux décimales, cette espérance est exactement 12881000561/142884000.

Parfait.

Bonsoir,
Cet énoncé est intéressant, c'est d'ailleurs le titre de ce sujet.
Dans un premier temps il s'agissait de distinguer une expérience du type "durée de vie" par oppositions aux expériences habituellement traitées dans le contexte de la théorie des probabilités, c'est à dire l'application de la loi des grand nombres et de la loi normale. Je ne répète pas ce que j'ai expliqué dans mes précédents messages, sauf que il existe des applications où cette notion est importante. Je citerai par exemple combien un caissière de cinéma doit avoir de billets de 5€ pour pouvoir rendre la monnaie (question déjà évoquée), autre exemple, comment prévoir son stock d'ampoules dans une grand surface etc.
Le sujet a dévié sur un exercice parfaitement théorique mais pas vraiment inintéressant : calculer le nombre d'échecs avant d'avoir trouvé la solution de pouvoir écrire un mot avec des lettre tirées au hasard.
Comme cet exercice est artificiel, il est indispensable de préciser strictement l'énoncé. Bien sûr l’ambiguïté vient de la répétition de la même lettre dans le mot.
J'ai détaillé quelques interprétation possibles.
Apparemment, il semble que les solutions proposées sont assez divergentes, mais c'est normal, puisque chacun peut interpréter l'énoncé différemment.

Bonjour Dlzlogic,
Apparemment tous les résultats donnés concordent, sauf le votre. Sans doute parce que vous n'avez pas interprété l'énoncé comme tout le monde, à moins que ce ne soit une erreur dans votre simulation puisque vous n'avez pas procédé par un calcul mais par une simulation.
Le résultat que j'ai donné (et que les intervenants de l'autre fil ont donné aussi) est bien sûr issu d'un calcul (aucune simulation ne donnerait une telle fraction). Mais j'ai aussi fait une simulation, qui concorde parfaitement avec le calcul théorique. J'en donne le code (désolé, en python, je sais que vous n'aimez pas ça mais c'est commode et ça marche très bien).

Code:

import random as rd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import string
alphabet = list(string.ascii_uppercase)

def tirages_pour_proba() :
    reste = [c for c in "PROBABILITES"]
    tirages = 0
    while len(reste) > 0 :
        lettre = rd.choice(alphabet)
        if lettre in reste : reste.remove(lettre)
        tirages += 1
    return tirages

def moyennes_nb_tirages_proba(n,p) :
    tableau = np.zeros((n,p))
    for i in range(n) :
        for j in range(p) :
            tableau[i,j]=tirages_pour_proba()
    moyennes = tableau.mean(axis=0)
    return moyennes

def statistiques_nb_tirages_proba(n,p) :
    moy = moyennes_nb_tirages_proba(n,p)
    moyenne = np.mean(moy) ; ecty = np.std(moy)
    print('Pour {} moyennes de {} nombres de tirages\n\
pour avoir toutes les lettres de PROBABILITES :\n\
moyenne : {:.2f} ; mediane : {:.2f} ; écart-type : {:.2f}'\
          .format(p,n,moyenne, np.median(moy), ecarttype))
    _ = plt.hist(moy,bins=11,range=(moyenne-4*ecty, moyenne+4*ecty))
    plt.title("Histogramme de {} moyennes de {} nombres de tirages\
 avec remise pour obtenir toutes les lettres du mot PROBABILITES"\
              .format(p,n))
    plt.show()


Je donne le résultat de deux passages, d'abord pour n=1 et p=100000 (la distribution des nombres de tirages), l'histogramme montre clairement que c'est ni géométrique, ni gaussien.

Pour 100000 moyennes de 1 nombres de tirages
pour avoir toutes les lettres de PROBABILITES :
moyenne : 90.18 ; mediane : 84.00 ; écart-type : 34.66

ensuite pour n=1000 et p=1000 (la distribution des moyennes de 1000 nombres de tirages). L'histogramme montre clairement une distribution quasi-gaussienne resserrée autour de l'espérance calculée, conformément au théorème central limite.

Pour 1000 moyennes de 1000 nombres de tirages
pour avoir toutes les lettres de PROBABILITES :
moyenne : 90.14 ; mediane : 90.21 ; écart-type : 1.09

@ Humx3,
Je pensais avoir été clair, si vous voulez continuer à inonder ce forum de choses qui n'intéressent que vous, il faut commencer par répondre aux questions que je vous pose et la moindre des choses est de lire les papiers que j'ai écrits.
Que vous arriviez à démontrer que la loi des grands nombre possède deux limites, ça peut peut-être en intéresser certains, mais pas moi.

Pourquoi une telle agressivité ?
Deux remarques :

Ce que j'écris n'intéresse que moi ? Je n'en suis pas convaincu. Mais le problème n'est pas là : est-ce que ce que j'écris est offensant ? Non. Est-ce que ce que j'écris est correct scientifiquement ? Oui.

"Que vous arriviez à démontrer que la loi des grands nombre possède deux limites"
Vous n'avez toujours pas compris l'exercice sur les séries des quatre piles. Je répète une nouvelle fois.
1°) L'espérance de la fréquence d'occurrence des séries de quatre piles dépend de la probabilité secrète p de tirer pile : c'est p⁴ * (1-p)².
2°) La loi des grands nombres permet d'affirmer que si on fait un grand nombres de tirages, la fréquence constatée f est pratiquement égale à cette fréquence théorique p⁴ * (1-p)² ; une seule limite, bien entendu.
3°)  Mais l'équation p⁴ * (1-p)² = f a deux solutions entre 0 et 1 : deux probabilités sont compatibles avec la fréquence constatée.

Je suis très surpris que vous n'arriviez pas à comprendre ce petit raisonnement très simple. Sur quel point bloquez-vous ?

Il me semble que je fais l'effort de répondre précisément et clairement aux questions que vous posez quand elles ne sont pas hors-sujet. Il me semble aussi qu'on ne peut pas dire la même chose en ce qui vous concerne.
Au fait, vous aviez promis de fournir sur demande le code de votre simulation. Je vous le demande, s'il vous plait.

D'abord vous faites l'exercice avec les mots de 7 pile ou face ET vous lisez mon papier "Notions de probabilités" dans l'ordre que vous préférez.
L"opération logique ET est commutative.

Restons dans le sujet du fil, s'il vous plait. Si vous voulez poser des questions en dehors du sujet du fil (cet énoncé intéressant sur le nombre de tirages avec remise nécessaire pour avoir toutes les lettres de PROBABILITES), vous avez toute latitude pour ouvrir un autre fil.

Dlzlogic a écrit:Moi, j'ai fait une simulation et je suis prêt à donner le code et à le justifier.

J'attends que vous teniez votre promesse. Moi aussi j'ai fait une simulation et j'en ai donné le code. Si vous le demandez, je suis bien sûr prêt à le justifier.

Je crois qu'on a tout dit sur ce sujet.

Faites excuse, mais vous n'avez pas donné votre code, contrairement à votre promesse.

J'ai été très clair faites l'exercice et lisez mon papier.
Je rappelle que cet énoncé n'a d'intérêt que parce qu'il s'agit du premier succès après des échecs. Relisez le fil d'origine, en gros il y a deux points évoqués, d'abord la valeur numérique du résultat et les petites allusions à mes capacités.
Arrangez-vous entre complices.