Gauss, Cauchy et Lévy

Bonjour,

Dans un fil fermé par Dlzlogic, on avait évoqué les lois de probabilité stables. La loi de probabilité de  X est stable, quand, étant donné deux lois X₁ et X₂ indépendantes de même loi que X, alors pour tous réels A et B il existe des réels C et D tels que AX₁ + BX₂ ait même loi que CX + D. En conséquence, la moyenne de n variables indépendantes ayant la même loi stable a elle aussi cette loi stable, avec un facteur d'échelle dépendant de n (et éventuellement une translation).
Les lois de Gauss, de Cauchy et de Lévy sont des exemples fameux de lois stables. Je vais dans ce fil comparer leurs comportement en ce qui concerne le facteur d'échelle, en faisant des simulations pour comparer la répartition de 1000 nombres tirés suivant la loi et de 1000 moyennes de 100 nombres tirés suivant la loi.
Mes simulations sont faites en utilisant la bibliothèque scipy.stats.

À tout seigneur, tout honneur : la loi de GAUSS. Elle correspond au paramètre α = 2 dans la famille des lois stables.


Les moyennes collent à la loi de Gauss, mais avec un facteur d'échelle 1/10, c'est un résultat bien connu. Le resserrement de la dispersion est une manifestation de la loi des grands nombres.

Ensuite, la loi de CAUCHY. Elle correspond au paramètre α = 1 dans la famille des lois stables.


Les moyennes collent à la loi de Cauchy, et gardent la même dispersion : facteur d'échelle 1. Bien sûr ceci ne contredit ni la loi des grands nombres ni le théorème central limite, puisque la loi de Cauchy (comme toutes les lois stables de paramètre α < 2) n'ont ni espérance ni variance finie.

Il ya là un soucis je trouve qui a pu tromper Pierre,
on parle toujours de LA loi normale.
On va vers LA loi normale.
Ben si c'est LA c'est pas LES, et bingo, ben il y a UNE seule loi normale.
Et Pierre a sauté à pieds joint sur ce LA qui n'est pas LES,
mais ce LA qui est laid?

Exemple ici intro au TCL:
"Le théorème central limite (aussi appelé théorème limite central, théorème de la limite centrale ou théorème de la limite centrée) établit la convergence en loi de la somme d'une suite de variables aléatoires vers la loi normale. Intuitivement, ce résultat affirme qu'une somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend (le plus souvent) vers une variable aléatoire gaussienne.

Ce théorème et ses généralisations offrent une explication de l'omniprésence de la loi normale dans la nature : de nombreux phénomènes sont dus à l'addition d'un grand nombre de petites perturbations aléatoires."

Oui la loi normale, mais différentes lois normales.
ici sur les diagrammes DEUX lois normales, deux écart-types différents.
ce qui ne sera pas le cas dans les diagrammes sur Cauchy,
d'où les explications déjà très démonstratives par le seul dessin de HumHumHum.

C'était déjà très clair dans les fils précédents,
mais bravo, merci de l'avoir resynthétisé en dessins.
En plus que moi je regarde les images dans les livres de maths vu que je comprends pas toujours le texte.

Enfin, la loi de LÉVY. Elle correspond au paramètre α = 1/2 dans la famille des lois stables.


Les moyennes collent bien à la distribution de Lévy, mais la dispersion explose ! Le facteur d'échelle est de 100, égal à l'effectif de l'échantillon.

Ce comportement éclaire une petite phrase à la fin de l'article de 1924 de Paul Lévy :

Bonjour,
Je pose une question simple à ces deux membres qui ont l'air compétents.
On fait une expérience quelconque, répétitive, par exemple le tir sur cible, ou la pêche industrielle. On se sert de ce support réaliste pour rédiger un exercice, à quel moment et sous quelle forme doit-on préciser la loi de probabilité ?

Il s'agit une nouvelle fois d'une diversion.
Ce fil est consacré à des informations sur les lois stables.
Vous avez quelque chose d'intéressant à dire sur ce sujet ?

C'est certainement pas une diversion. Il s'agit de probabilités.
Pourquoi étudier ces lois et pas les autres ?
Qu'est-ce qui distingue une loi stable d'une loi non-stable ?
A quoi correspond la stabilité d'une loi dans le contexte des probabilités ?

La distinction de Beagle entre LA loi normale et LES lois normales mérite qu'on s'y attarde un peu.

Par exemple, la loi exponentielle est particulièrement utile, elle est stable ou pas ?

J'ai donné la définition d'une loi stable dans le premier message. Voulez-vous que je la répète ?

Pourquoi étudier les lois stables ? Je vais laisser Paul Lévy répondre :

Je pense que mes petites illustrations ci-dessus dans le fil montrent assez bien à quoi correspond la stabilité d'une loi. Regardez-les plus attentivement, elles vous parleront peut-être.

Enfin, la loi exponentielle n'est pas stable. Vous savez très bien qu'elle est dans le domaine d'attraction de la loi de Gauss : la moyenne de n variables indépendantes obéissant à une même loi exponentielle, convenablement normalisée, converge (en loi) vers la loi de Gauss quand n tend vers l'infini. Répétons-le encore une fois : la stabilité d'une loi, c'est que les moyennes convenablement normalisées ont toujours même loi que la loi de départ, quelle que soit la taille de l'échantillon

Je crois avoir compris, alors je reformule :
Une loi est dite stable si la liste des moyennes satisfait à cette loi. Ceci n'est possible que si l'écart moyen quadratique est infini. De telles lois sont dite exceptionnelles, c'est à dire que ce sont des exceptions à la règle générale.
Question : peut-on rencontrer de telles lois dans le monde réel observable ?

Application à la loi de Cauchy ? Il semble de la loi de Cauchy standard est "stable", elle n'admet pas d'espérance ni de variance.
Si on réalise une expérience, selon la loi de Cauchy, dans le monde réel observable, quitte à éliminer les valeurs infinies, puisque l'infini n'existe pas dans le monde réel, alors cette expérience entre dans le cadre des lois non-exceptionnelles, c'est à dire dans le cadre général où toute expérience menée dans le monde réel observable produit des résultats qui satisfont la répartition de loi normale.
En d'autres termes, la loi de Cauchy est stable sur le papier mais non exceptionnelle dans le monde réel observable.
Pour être plus précis on perd son temps si on étudie quelque chose qui n'existe pas, mais il n'est pas inutile de préciser ces choses dans des notes d'études fondamentales.

Vous pouvez voir ici :
https://dlz9.forumactif.com/t1963-gauss-cauchy-et-levy#23440
une expérience tout à fait observable faite avec mon ordinateur réel, et qui montre qu'une moyenne de variables de Cauchy reste obstinément fidèle à la loi de Cauchy et n'est pas distribuée selon une loi normale.

Une question : avez-vous fait une simulation avec la loi de Cauchy non tronquée, du moins non violemment tronquée ?  Pour cela il vous suffit de prendre la tangente de

Code:

A = (float) (rand() + 1) / (RAND_MAX + 1) * M_PI - M_PI_2

Ceci assure qu'on ne descend jamais à -π/2, qu'on ne monte jamais à π/2 et que la valeur absolue de la tangente ne dépasse pas 10430. Vous ne risquez donc aucun dépassement de capacité.
Faites cette simulation, prenez 1000 moyennes de 300 et regardez leur distribution. Après, on en reparlera.

Oui, effectivement, j'obtiens un truc sans intérêt, c'est le genre de truc qui doit bien plaire au mathématiciens, pour prouver qu'ils ont raison et que les autres ont tort.
Au moins, on sait à quoi servent ces matheux.

Je pense que vous ne verrez pas d'inconvénient à montrer ce que vous obtenez ?

Bien sûr que non :

Code:


Une courbe de Cauchy tronquée à 0.995
Nombre = 300  Moyenne = 0.93  emq=84.90  ep=56.60
Médiane = 0.54 Min = -670.50  Max 863.94
    Rapport EMQ/EMA = 2.75  théorique 1.25
Classe 1  nb=  3  1.00%     théorique 0.35%    |H
Classe 2  nb=  2  0.67%     théorique    2%    |H
Classe 3  nb=  3  1.00%     théorique    7%    |H
Classe 4  nb=  5  1.67%     théorique  16%    |HH
Classe 5  nb= 145  48.33%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 122  40.67%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  13  4.33%     théorique  16%    |HHHHH
Classe 8  nb=  2  0.67%     théorique    7%    |H
Classe 9  nb=  3  1.00%     théorique    2%    |H
Classe 10 nb=  2  0.67%     théorique 0.35%    |H


1000 moyennes de Cauchy tronquée à 0.995
Nombre = 1000  Moyenne = -0.22  emq=5.15  ep=3.43
Médiane = -0.16 Min = -15.11  Max 17.06
    Rapport EMQ/EMA = 1.25  théorique 1.25
Classe 1  nb=  1  0.10%     théorique 0.35%    |H
Classe 2  nb=  21  2.10%     théorique    2%    |HHH
Classe 3  nb=  65  6.50%     théorique    7%    |HHHHHHH
Classe 4  nb= 168  16.80%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 239  23.90%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 264  26.40%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 152  15.20%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  64  6.40%     théorique    7%    |HHHHHHH
Classe 9  nb=  22  2.20%     théorique    2%    |HHH
Classe 10 nb=  4  0.40%     théorique 0.35%    |H


Une courbe de Cauchy non tronquée
Nombre = 300  Moyenne = -7.74  emq=111.03  ep=74.02
Médiane = 1.00 Min = -1556.75  Max 290.43
    Rapport EMQ/EMA = 3.10  théorique 1.25
Classe 1  nb=  5  1.67%     théorique 0.35%    |HH
Classe 2  nb=  1  0.33%     théorique    2%    |H
Classe 3  nb=  2  0.67%     théorique    7%    |H
Classe 4  nb=  4  1.33%     théorique  16%    |HH
Classe 5  nb=  77  25.67%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 199  66.33%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  6  2.00%     théorique  16%    |HH
Classe 8  nb=  4  1.33%     théorique    7%    |HH
Classe 9  nb=  1  0.33%     théorique    2%    |H
Classe 10 nb=  1  0.33%     théorique 0.35%    |H


1000 moyennes de Cauchy non tronquée
Nombre = 1000  Moyenne = 5337.53  emq=63613.71  ep=42409.14
Médiane = -0.14 Min = -363.07  Max 762913.06
    Rapport EMQ/EMA = 6.00  théorique 1.25
Classe 1  nb=  0  0.00%     théorique 0.35%    |
Classe 2  nb=  0  0.00%     théorique    2%    |
Classe 3  nb=  0  0.00%     théorique    7%    |
Classe 4  nb=  0  0.00%     théorique  16%    |
Classe 5  nb= 993  99.30%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  0  0.00%     théorique  25%    |
Classe 7  nb=  0  0.00%     théorique  16%    |
Classe 8  nb=  0  0.00%     théorique    7%    |
Classe 9  nb=  0  0.00%     théorique    2%    |
Classe 10 nb=  7  0.70%     théorique 0.35%    |H


Ce qui est intéressant c'est que la même loi dans le monde du réel observable (tronquée à 0.995) donne quelque-chose d'utile, alors que la même fonction, dans l'abstrait donne quelque-chose qui ne présente aucun intérêt.

Vous savez que la loi de Cauchy n'a pas une variance finie. Ça se traduit par le fait que sur une réalisation d'un échantillon de loi de Cauchy, l'écart moyen quadratique est complètement erratique. Cela se manifeste clairement avec le emq=63613.71 que vous trouvez. En conséquence, votre "AfficheNormale", qui est fait pour afficher une distribution normale, est complètement déboussolé et produit effectivement un histogramme sans aucun intérêt.

Les histogrammes que j'ai produit plus haut sont, eux, tout à fait intéressants :
Pour les produire, j'ai simplement sélectionné [-5, 5] comme intervalle de valeurs

Vous aviez produit un histogramme très intéressant en sélectionnant l'intervalle de valeurs [-30,30],  montrant le comportement caractéristique d'une loi de Cauchy sur les moyennes  :

Code:

1000 moyennes de Cauchy Selon Hum
Nombre = 1000  Moyenne = -0.01  emq=5.10  ep=3.40
Médiane = 0.00 Min = -29.38  Max 29.97
    Rapport EMQ/EMA = 2.00  théorique 1.25
Classe 1  nb=  18  1.80%     théorique 0.35%    |HH
Classe 2  nb=  10  1.00%     théorique    2%    |H
Classe 3  nb=  17  1.70%     théorique    7%    |HH
Classe 4  nb=  49  4.90%     théorique  16%    |HHHHH
Classe 5  nb= 387  38.70%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 433  43.30%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  41  4.10%     théorique  16%    |HHHHH
Classe 8  nb=  11  1.10%     théorique    7%    |HH
Classe 9  nb=  11  1.10%     théorique    2%    |HH
Classe 10 nb=  23  2.30%     théorique 0.35%    |HHH

Malheureusement, vous avez fermé le fil en refusant de montrer l'histogramme similaire sur la première liste de nombres que je vous avais fournie. Mais il n'est pas trop tard pour bien faire.

Je crois qu'on se trompe de sujet.
La question posée est : est-ce le TCL est général et toujours applicable, ou pas.
Dans le monde du réel observable, la réponse est OUI. Dans un monde abstrait n'existant que sur le papier, la réponse est NON.
Le problème est, quand je dis que toute expérience aléatoire répétitive dans le monde réel observable, on m'oppose une "loi de probabilité" dans un monde abstrait réalisable seulement sur le papier. En d'autre termes, on m'oppose une exception impossible. Si on parlait de mathématiques théoriques, cette contradiction serait recevable, mais le domaine des probabilités est par définition parfaitement concret.

Pour mémoire, la fonction VérifieNormale ne fait que compter et afficher. Elle marche aussi bien pour des lois du type exponentielle, simplement les valeurs théoriques ne correspondent à rien et la courbe a une toute autre allure.

Les courbes qui correspondent à vos fichiers ont tout à fait l'allure de celle que j'obtiens avec mon calcul. J'avoue que j'ai un peu de mal à imaginer que vous en ayez qui a une forme de cloche.

Je vous ai expliqué pourquoi votre simulation avec la loi de Cauchy non tronquée ne donne pas une courbe en cloche avec votre méthode d'affichage. Et je vous ai expliqué comment obtenir un affichage correct : avant de passer la liste dans votre commande "AfficheNormale", ne conservez dans la liste que les valeurs dans l'intervalle [-30,30]. Vous verrez, vous obtiendrez quelque chose comme cela :

Code:

    Rapport EMQ/EMA = 2.00  théorique 1.25
Classe 1  nb=  18  1.80%    théorique 0.35%    |HH
Classe 2  nb=  10  1.00%    théorique    2%    |H
Classe 3  nb=  17  1.70%    théorique    7%    |HH
Classe 4  nb=  49  4.90%    théorique  16%    |HHHHH
Classe 5  nb= 387  38.70%    théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 433  43.30%    théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  41  4.10%    théorique  16%    |HHHHH
Classe 8  nb=  11  1.10%    théorique    7%    |HH
Classe 9  nb=  11  1.10%    théorique    2%    |HH
Classe 10 nb=  23  2.30%    théorique 0.35%    |HHH

que ce soit pour vos 1000 nombres tirés selon la loi de Cauchy non tronquée ou pour vos 1000 moyennes de 300 nombres tirés selon la loi de Cauchy non tronquée.

Je reviens au sujet de ce fil : les lois stables, pour poser une petite énigme.

Nous avons vu plus haut la loi de Lévy.



Voici maintenant les résultats d'une expérience :


Une certaine parenté, n'est-ce pas ? Avec ici un facteur d'échelle de 10 quand on prend des moyennes de 10.
La question de l'énigme : quelle est l'expérience ?

Bon, si le problème concerné réside dans la représentation des valeurs résultantes d'une expérience impossible, alors il vaut mieux ouvrir in nouveau sujet, de préférence dans le sous-forum "Informatique".
Là, on est complètement hors-sujet.
J'ai bien compris que la loi de Cauchy, dite "loi de probabilité" est exceptionnelle, c'est à dire que c'est une exception, normal, puisque c'est une loi qui n'existe que dans un monde abstrait.
Par exemple, vous pourriez me donner le code permettant de représenter cette jolie courbe, avec histogramme en toile de fond..

Puisqu'on joue aux devinettes, je dirais que c'est une loi exponentielle.

Perdu pour la devinette. La loi exponentielle n'est pas stable, et surtout ce facteur d'échelle de 10 quand on prend une moyenne de 10 est totalement incompatible avec une loi exponentielle. Avez-vous bien regardé l'axe des abscisses ? À gauche, de 0 à 14 ; à droite, de 0 à 140. Quand on prend une moyenne de 10 variables exponentielles, l'espérance ne change pas et l'écart-type est divisé par à peu près 3,2 (la racine carrée de 10).

Là, on est complètement hors-sujet.

Je vous rappelle que le sujet de ce fil est l'étude des lois de probabilité stables. Avec la loi de Cauchy, on est en plein dedans.

Mon code python pour produire les beaux histogrammes avec la cloche de Cauchy (qui n'est pas la cloche de Gauss).

Code:

import numpy as np
import random as rd
import matplotlib.pyplot as plt

def unifangle() :
    return rd.uniform(-np.pi/2, np.pi/2)

def moyenne_tirage_Cauchy(n) :
    x = np.array([unifangle() for _ in range(n)])
    return np.mean(np.tan(x))

def distr_moyenne(n,p) :
    m = [moyenne_tirage_Cauchy(n) for _ in range(p)]
    _ = plt.hist(m,bins=11,range=(-4,4))
    x = np.linspace(-4,4,100)
    plt.plot(x,p/(1+x**2)/np.pi*8/11,color="red")
    plt.title("Histogramme de {} moyennes de {} variables de Cauchy"\
             .format(p,n))
    plt.show()

Le résultat pour 1000 nombres tirés selon Cauchy :

Code:

distr_moyenne(1,1000)

Le résultat pour 1000 moyennes de 300 nombres tirés selon Cauchy :

Code:

distr_moyenne(300,1000)

Bon, vous avez raison.
De toute façon, j'y comprends rien à vos nombreux messages et vous ne voulez pas me d'en dire le but.
Donc continuez comme vous voulez.