Gauss, Cauchy et Lévy

Décidément, vous avez du mal à lire ce qui est écrit.
Le but, je l'ai annoncé dans mon premier message :

Les lois de Gauss, de Cauchy et de Lévy sont des exemples fameux de lois stables. Je vais dans ce fil comparer leurs comportement en ce qui concerne le facteur d'échelle, en faisant des simulations pour comparer la répartition de 1000 nombres tirés suivant la loi et de 1000 moyennes de 100 nombres tirés suivant la loi.

Bonne nuit.

Bonsoir,
Juste une petite question : comment une expérience est effectuée suivant la loi de Gauss ?
Je précise ma question : vous mettez sur le même plan la loi de Gauss et la loi de Cauchy. Est-ce légitime ?

Bonjour Dlzlogic,

Permettez-moi de retourner votre question sous la forme suivante :
Vous savez tirer un nombre suivant la loi de Cauchy, nous l'avons vu.
Comment faites-vous pour tirer un nombre selon la loi de Gauss, à partir d'un générateur de nombres pseudo-aléatoires qui fournit une distribution uniforme ?

Il y a une méthode connue pour tirer une nombre selon la loi de Gauss standard :
1°) Vous tirez un point (x,y) uniformémément dans le disque unité. Pour cela vous tirez x uniforméméent dans [-1,1], y uniformément dans [-1,1] et vous rejetez si u = x²+y² >1 .
2°) Vous calculez  z = x * ( - 2 ln (u) / u) )^1/2 .
Alors z est distribué selon la loi de Gauss standard.

Pour tirer selon la loi de Cauchy, on peut faire ainsi :
1°) Vous tirez un point (x,y) uniformémément dans le disque. Pour cela vous tirez x uniforméméent dans [-1,1], y uniformément dans [-1,1] et vous rejetez si u = x²+y² >1 .
2°) Vous calculez  z = x / y
Alors z est distribué selon la loi de Cauchy standard

Voila la mise en oeuvre :

Code:

import numpy as np
import random as rd
import matplotlib.pyplot as plt

def point_disque(n) :
    X=[] ; Y=[] ; U=[]
    l=0
    while l < n :
        x = rd.uniform(-1,1) ; y = rd.uniform(-1,1)
        u = x*x + y*y
        if u <= 1 :
            l += 1
            X.append(x) ; Y.append(y) ; U.append(u)
    return (np.array(X), np.array(Y), np.array(U))

def distribution_Gauss(n, t, b) :
    X,Y,U = point_disque(n)
    G =  X * np.sqrt( -2 * np.log(U) / U)  
    _ = plt.hist(G, bins=b, range=(-t,t), alpha=0.3)
    x = np.linspace(-t,t,100)
    plt.plot(x,np.exp(-x*x/2)/(np.sqrt(2*np.pi))*n*2*t/b,
             color="red",lw=5, alpha=0.6)
    plt.title("Histogramme de {} nombres tirés selon \
la distribution de Gauss".format(n))
    plt.show()
    
def distribution_Cauchy(n, t, b) :
    X,Y,U = point_disque(n)
    C =  X / Y  
    _ = plt.hist(C, bins=b, range=(-t,t), alpha=0.3)
    x = np.linspace(-t,t,100)
    plt.plot(x,1/(1+x*x)/(np.pi)*n*2*t/b,
             color="red",lw=5, alpha=0.6)
    plt.title("Histogramme de {} nombres tirés selon \
la distribution de Cauchy".format(n))
    plt.show()      


Et le résultat :

Code:

distribution_Gauss(10000,4,20)

Code:

distribution_Cauchy(10000,4,20)

Ah, la solution de la petite énigme :

L'expérience représentée est la suivante : on a tiré à un certain moment 2 piles de plus que de faces. Au bout de combien de tirages supplémentaires arrivera-t-on à avoir exactement autant de piles que de faces ? (on sait que ça finira presque sûrement par arriver). Ce nombre de tirages est un entier pair supérieur ou égal à 2.
Et donc, comme on l'a vu, il n'est pas donné par une loi géométrique.
On aurait pu présenter cette expérience de plusieurs manières différentes : marche aléatoire (marche de l'ivrogne), caissière de cinéma etc.
La loi de ce nombre de tirages est encore plus loin du domaine d'attraction de la loi de Gauss que la loi de Cauchy. Elle est dans le domaine d'attraction de la loi de Lévy. On a pu constater, en prenant les moyennes de 10 temps d'attente, un facteur d'échelle de 10 : c'est bien le comportement de la loi de Lévy, facteur d'échelle n pour la moyenne d'un échantillon de n.
J'en dirai plus plus tard.

Bonjour,
Pour tirer un nombre suivant une loi de Gauss, c'est une bonne question.
D'abord, c'est assez rare d'en avoir besoin. En fait, c'est uniquement pour répondre à des exercices. Bref, un jour où je m'ennuyais, j'ai écrit une petite fonction. Simplement, j'ai pris ma table de répartition, j'ai copié des valeurs dans une table, de façon à pouvoir interpoler. La position dans la table m'était donnée par un générateur de nombre aléatoires. Ca marchait très bien, mais le disque a cramé.
Par curiosité et à l'occasion de je ne sais plus quoi, je me suis refait une petite fonction, même deux, puisque j'ai appliqué la méthode Box-Muller et une autre technique personnelle, simplement, pour essais. Je pense avoir évoqué ces essais dernièrement, mais ça n'a pas passionné grand-monde.

La loi de Cauchy ne m'intéresse en aucune façon.

Je continue sur le même fil, bien qu'il s'agit manifestement d'un hors sujet.
Flight a proposé le jeu suivant :

je vous propose le petit exercice suivant : on part de l'entier n = 0 .
Avec une probabilité de 1/3 cet entier devient "7n+1" soit n=1
et avec une probabilité contraire cet entier devient 2n+3 soit n=3
et on poursuit 8 fois ce processus en réutilisant la nouvelle valeur de n dont on fait le cumul .

Quelle sera la valeur moyenne de ce cumul ?

Les réponses ne sont pas vraiment homogènes.
Candide propose 39220 environ,
Imod propose 28600 environ
moi je trouve à peu près 28000.
Il y a la petite ambiguïté autour de l'expression "cumul", mais c'est pas grave.
Ce qui m'étonne est que je ne trouve pas une répartition normale des résultats.
Merci à celui qui pourra me donner une approche d'explication.

Bien d'accord que le précédent message est un hors-sujet total. On se demande vraiment pourquoi le modérateur de ce forum ne déplace pas ce message dans un autre fil.

La loi de Cauchy ne m'intéresse en aucune façon.

C'est votre droit le plus strict, et il n'y a rien à reprocher à ça tant que vous ne racontez pas des choses fausses sur la loi de Cauchy.

Nous avons vu plus haut que le temps de retour à l'équilibre pile-face parfait en partant d'une situation où on a deux piles de plus que de faces suit une loi qui a l'allure d'une loi de Lévy et qui se comporte comme une loi de Lévy pour ce qui est du facteur d'échelle quand on prend des moyennes.
Rien d'étonnant à cela : on peut vérifier que la probabilité que ce temps de retour soit égal à 2n est, pour n>0 (sauf erreur)
qui décroit en n^-3/2 comme la fonction de densité de la loi de Lévy :
La loi du temps de retour est dans le domaine d'attraction de la loi de Lévy. C'est logique, quand on pense que la marche aléatoire symétrique sur les entiers est une version très simplifiée du mouvement Brownien unidimensionnel, et que le temps d'atteinte d'un point pour ce mouvement Brownien suit la loi de Lévy (voir ici, le point 2 des applications de la loi de Lévy)

Une loi à laquelle Paul Lévy a laissé son nom, cela devrait vous intéresser, Dlzlogic ?

Pour produire un échantillon de nombres tirés suivant la loi de Lévy, on peut suivre la même démarche que pour les lois de Gauss et de Cauchy :
1°) Vous tirez un point (x,y) uniformémément dans le disque unité. Pour cela vous tirez x uniforméméent dans [-1,1], y uniformément dans [-1,1] et vous rejetez si u = x²+y² >1 .
2°) Vous calculez  z =  - u / (2 ln(u) * x²) .
Alors z est distribué selon la loi de Lévy standard.

Code:

def distribution_Levy(n, t, b) :
    X,Y,U = point_disque(n)
    C =   - U / (2*np.log(U) * X*X)
    _ = plt.hist(C, bins=b, range=(0,t), alpha=0.3)
    x = np.linspace(1/1000,t,100)
    plt.plot(x,1/np.sqrt(2*np.pi) * np.exp(-1/(2*x)) * x**(-3/2)*n*t/b,
             color="red",lw=5, alpha=0.6)
    plt.title("Histogramme de {} nombres tirés selon \
la distribution

Code:

distribution_Levy(10000,4,20)

Bonsoir,
"On se demande vraiment pourquoi le modérateur de ce forum ne déplace pas ce message dans un autre fil."
Tout simplement parce que le modérateur est très paresseux.

Humx3 a écrit:Pour produire un échantillon de nombres tirés suivant la loi de Lévy, on peut suivre la même démarche que pour les lois de Gauss et de Cauchy :

Je ne comprends pas cette phrase.
Que veut dire "produire un échantillon ...", il y a deux façons de le comprendre
1- ce qui est je le crains ce que vous pensez, c'est à dire, on a une loi, sous forme d'une formule, qui vous appelez probablement "modèle" et vous utilisez un ordinateur pour faire comme si cet échantillon correspondait à une expérience réelle.
2- décrire une expérience réelle ou réalisable que l'on pourra modéliser par une certaine loi.
J'ai vraiment l'impression que pour vous "mathématiques" n'a de sens que dans un univers théorique et que dans cet univers, tout est possible, même les expériences impossibles.
Pour moi, les mathématiques ne sont qu'un outil utilisable par toute sorte de gens qui travaillent et agissent dans le concret.
J'aimerais bien que vous explicitez ce point fondamental.

Réf. : https://www.ilemaths.net/sujet-cumul-891240.html
Ceci entre tout à fait dans le contexte du fil actuel.
Nous savons très bien que le modérateur est très paresseux mais surtout, il aime bien comprendre.
En gros, la répartition, au moins la courbe représentative, ressemble un peu à la courbe de Lévy.

Vous vous êtes donné le mot pour polluer ce fil, ou quoi ?

Dlzlogic, qu'est-ce qui vous gêne tant dans ce fil que vous vouliez à tout prix le polluer par vos diversions ?

Si vous cherchez une expérience dont les résultats soit du type loi de Lévy, j'en ai décrit une. Je recommence.
Une caissière de cinéma à un billet de 5€ en caisse. Le prix de l'entrée est 5 €, les spectateurs ont avec proba 1/2 un billet de 10 € et avec proba 1/2 un billet de 5 €. Quel est le n° du spectateur pour lequel la caissière ne pourra pas rendre la monnaie ?
Ces n° sont distribués selon une version discrète de la loi de Lévy.

J'ai aussi indiqué une expérience qui donne exactement la loi de Lévy : le temps d'atteindre le point 1 à partir du point  0 dans un mouvement Brownien sur une droite.

Ben non, l'expérience de la caissière produit une répartition normale.
Par ailleurs le terme "exactement" est parfaitement incompatible avec la théorie des probabilités.
Je crois qu'avant de parler d'exceptions de lois exceptionnelles, de simulations exceptionnelles, de statistiques exceptionnelles, bref de toute sorte de contre-exemples difficilement réalisables, il vaut mieux parler de choses qui marchent.
Par exemple, soit l'expérience d'un spot lumineux rotatif, intermittent et aléatoirement sur un mur de longueur finie, quelle est la répartition des écarts à la moyenne, c'est à dire par rapport à la projection de l'émission du rayon lumineux sur le mur ? En première analyse, il s'agit naturellement d'une loi de Cauchy tronquée. Si on prend la liste des moyennes, quelle répartition obtient-on ?

Dans le cas de la caissière, le calcul est justifié, puisque à l'ouverture de sa caisse, la caissière doit bien prévoir un nombre limité de billets de 5€.

La loi de Cauchy ne vous intéresse pas. Laissez là donc tranquille et ne vous obstinez pas à la tronquer. Je vous ai par ailleurs indiqué une autre expérience : on tire au hasard un point dans un disque, on mesure l'écart horizontal x et l'écart vertical y par rapport au centre, et on note le rapport x/y.

Ben non, l'expérience de la caissière produit une répartition normale.

Vous affirmez sans preuve, bien sûr puisque c'est faux. Pour prévenir votre manie du tronquage, le cinéma est un cinéma permanent  et la caissière est une machine automatique qui n'accepte que les billets de 10 et 5 € et rend la monnaie tant qu'elle a des billets de 5 €. Au départ, la machine a 1 billet de 5 €.

Le mouvement brownien ne fait sans doute pas non plus partie de votre "monde réel" ?

Je vous ai déjà posé la question, je la repose ce soir : que cherchez-vous à prouver ?

Bonjour Dlzlogic,
J'ai annoncé mon but dans ce fil dès le premier message, vous m'avez déjà posé cette question et j'ai déjà répondu, vous me posez de nouveau cette question. Je répète donc :

Les lois de Gauss, de Cauchy et de Lévy sont des exemples fameux de lois stables. Je vais dans ce fil comparer leurs comportement en ce qui concerne le facteur d'échelle, en faisant des simulations pour comparer la répartition de 1000 nombres tirés suivant la loi et de 1000 moyennes de 100 nombres tirés suivant la loi.

J'ai essayé de maintenir ce cap malgré vos diversions (et celles de Dattier), ce n'est pas facile..
Quel but poursuivez vous de votre côté avec ces diversions ? Cela vous gène que je présente un peu de la théorie des probabilités telle que l'on faite les grands probabilistes, et en particulier Paul Lévy pour ce sujet des lois stables ?

Bonjour,
Vous êtes intervenu avec un pseudo qui en disait long sur vos intentions : me contredire.
Maintenant vous évoquez des exceptions dans la théorie générale des probabilités. Je pense que ça n'intéresse personne. C'est peut-être là l'origine de ce que vous appelez des diversions.
Sauf vérification, je crois que ces lois stables ne sont stables qu'en théorie. Au moins, je peux le confirmer pour la loi de Cauchy.

Bonjour,

Dlzlogic a écrit:Sauf vérification, je crois que ces lois stables ne sont stables qu'en théorie.

Oui, ces lois stables sont stables en théorie des probabilités. Et ça se vérifie dans toutes les simulations faites correctement.

Au moins, je peux le confirmer pour la loi de Cauchy.

Non, vous ne pouvez pas : vous n'avez fait dans vos simulations (celles traitées correctement, je ne parle pas des autres) qu'utiliser des lois de Cauchy tronquées. La loi de Cauchy tronquée n'est pas stable, elle appartient au domaine d'attraction de la loi de Gauss.

"La loi de Cauchy tronquée n'est pas stable, elle appartient au domaine d'attraction de la loi de Gauss."
C'est justement la raison pour laquelle il n'y a pas lieu de la considérer comme une exception. Dans le monde réelle observable, celui qui nous concerne en matière de probabilité, la loi de Cauchy non tronquée est impossible.

Qu'est-ce que ça veut dire, qu'elle est impossible ?
Il est impossible de tirer un point au hasard dans un disque et de noter le rapport entre l'écart horizontal par rapport au centre et l'écart vertical par rapport au centre ?

L'étude des probabilités concerne le monde réel.
C'est votre calcul Y/X qui n'est possible que dans un certain domaine de définition.