Ben314 et PFF

Bonjour Beagle,
Comme d'habitude, tu affirme sans rien démontrer ni rien prouver.
La loi des grands nombres est très claire : le résultat tend vers la probabilité. C'est très facile à vérifier.
La démonstration est écrite très clairement dans le cours de JJ Levallois (je peux te redonner un lien).
A te lire, on peut avoir l'impression que tu es téléguidé par certains. Tu adoptes leurs méthodes, c'est à dire, ne pas répondre aux questions, ne pas faire les tests simples, rappeler que les matheux ne connaissent pas ces notions que tu traduit par "savent que c'est pas vrai" etc.

Beagle a écrit:reprenons la logique du si A alors B.
Si tu tombes sur du B faux, existence du retard
il n' y a pas photo c'est que ton A était faux.
Donc depuis le départ il ya plusieurs années où on a dit que ce sont tes conditions intiales d'études qui sont fausses,
tu aurais du dire je dois revoir mon A(le protocole) car mon B (les résultats) délire.

Bon, là la balle est dans ton camps : propose un protocole, définis les conditions, les tests etc., avant de tirer des conclusions.

encore une fois la fréquence observée va se caler vers la proba 1/2 si pieces équilibrées
tout le monde est d'accord.

le F-P par contre vit sa vie, et c'est écrit dans l'article wikipedia article loi des grands nombres

donc pourquoi ressors-tu ce :
"La loi des grands nombres est très claire : le résultat tend vers la probabilité"
qui ne dit absolument pas ta traduction : le retard se rattrape

Pour le protocole, je te l'ai mis 15 000 fois, prends des données aléatoires
je ne t'ai pas mis les liens pour rien

"Pour le protocole, je te l'ai mis 15 000 fois, prends des données aléatoires
je ne t'ai pas mis les liens pour rien"
Il y a plusieurs façon d'avoir des données aléatoires
Le plus facile et c'est confirmé par un théorème que j'ai cité dernièrement, c'est la fonction random de base.
Il y a aussi les décimales d'un nombre transcendant, mais comme Gérard a dit que c'était pas iid, alors ?
Il y aussi la lecture de fichiers. J'en ai un qui contient des informations sur 1000 individus. Bien sûr il ferait l'affaire, mais il est pas certifié.
J'ai demandé à Sylviel qu'il choisisse un fichier qui contienne des données aléatoires "officielles" ce qui permettrait de faire des tests incontestables, mais il n'a pas répondu.

J'ai regardé tes liens, j'espérais qu'il y ait un moyen de tester, de faire une simulation, ben non, pas trouvé. Par contre, très nettement ces générateurs sont destinés au cryptage, rien à voir avec notre préoccupation.

La question principale reste entière : comment tester si une liste résulte de l'aléatoire ?

"J'ai demandé à Sylviel qu'il choisisse un fichier qui contienne des données aléatoires "officielles" ce qui permettrait de faire des tests incontestables, mais il n'a pas répondu."

oui , un truc de ce genre serait bien
Je n'ai pas trouvé de site vendant des CD de données aléatoires comme cela existait auparavant, on ne trouve que des appareils pour générer.
Ensuite faut voir, il ya peut-être des random d'ordi qui échappent au biais que tu avais sans doute été confronté, y compris Le jeu à l'époque?

"Le plus facile et c'est confirmé par un théorème que j'ai cité dernièrement, c'est la fonction random de base."
je ne comprends pas comment un théorème permet un random aléatoire

ici par exemple le lien vers CD n'existe plus
http://robertnz.net/true_rng.html

creuser ici?:
https://www.random.org/

Non, il faudrait un vrai fichier contenant des vraies données. Je sais qu'il y a des sites gouvernementaux qui en contiennent. Je sais aussi que Sylviel connait ces sites. Comment interpréter qu'il ne donne pas de lien ?
Houpi, GBZM a découvert que l'apparition de PFF et PFP suivent une loi exponentielle.
S'il va plus loin dans sa démarche, c'est à dire faire 100 fois cette simulation et garder les 100 moyennes obtenues, il aura une jolie répartition normale qu'il pourra visualiser et observera que c'est une jolie courbe de Gauss.

quel random ici?
https://onlinerandomtools.com/generate-random-binary-numbers

bof logiciel on dirait

Je pense que n'importe que rand honnête génère des 0-1 corrects. C'est la raison pour laquelle j'ai fait ce protocole qui vérifie les lois des probabilités sans pouvoir mettre en cause le générateur. C'est pour être de la même façon indépendant d'un générateur que j'ai demandé un fichier officiel et incontestable.
Ce qui m'intéresse et cela fait partie des notions prévues au programme, ce sont les lois de probabilité. Je constate que rétorquer "ton générateur n'est pas bon" est très efficace, d'autant que personne ne donne un moyen de le vérifier. Le théorème cité il y a quelques jours n'est pas pris au sérieux. Gérard écrit que les décimales de pi ne sont pas iid, donc pi ne convient pas pour prouver les lois des probabilités. Alors qu'est-ce qui pourrait le prouver, que Sylviel admette qu'il s'est planté, que GBZM crée la liste de 100 moyenne et qu'on puisse la vérifier. Désolé, je suis à cours d'idée.

Je persiste à dire que :
soit une série de P ou F
je prends , j'examine une partie de cette série et alors je sais dire des choses sur les données non examinées (comme ton retard qui se comble)
c'est un bon test pour dire que mauvais aléatoire.

Maintenant le biais qui était responsable de l'analyse de leJeu et par toi vérifié,
peut-ètre que d'autres random logiciel ne le retrouvent pas de nos jours.

Donc tu as refais ces fameux tests de " je gagne en jouant le retard versus le hasard"
avec d'autres générateurs de random?

J'ai l'impression que je mal expliqué le test avec Le_Jeu.
Avec mon générateur, ou celui de Le_Jeu, on vérifie que je joueur B gagne, parce qu'il connait les lois des probabilités.
Nuage est arrivé avec un programme qui est bricolé par des gens qui connaissent ces lois, c'est un générateur qui triche.
Les générateurs des logiciels matheux ne produisent pas vraiment de liste aléatoire. On a pu le vérifier dernièrement quand on a eu les détails de l'opération effectuée.

J'en conclue qu'on laisse tomber les expériences avec générateur, puisque de toute façon, l'argument "le générateur est faux" peut toujours être opposé.
Si on admet que n'importe quel générateur produit une liste 0-1 acceptable par tout le monde, alors, j'ai décrit un protocole qui vérifie ces lois de probabilités.

Pour ton P=F, bien sûr j'ai fait des essais. Pour le dernier sur ma machine j'ai cela :
Pour 1000 tirages, le denier où P=F vaut 289. Au bout des 100 tirages, P=494 et F=506, soit une différence de 12. Or la plus grande différence observée est 27.
Je n'ai eu aucun contre exemple. Ce test est très facile à faire.    

Je me répète, la question posée n'est pas de savoir si tel ou tel générateur est bon, mais si les lois résultant des théorèmes de Bernoulli (loi des grands nombre et TCL) sont bonnes ou pas. Tu dis que non, alors prouve-le.

Petit détail, pour des questions de sécurité, je n'ai pas l'intention de charger un générateur extérieur.

PS, Rapidement voila comment fonctionne un générateur de nombres aléatoires.
On part d'un nombre, on lui additionne un nombre m et on prend le modulo n. Si m et n sont bien choisis, et si ce n'était pas le cas je m'en serais aperçu, le générateur produit un nombre aléatoire entre 0 et 4 milliards. Le danger d'un générateur d'un éditeur inconnu est qu'il peut avoir accès à la mémoire sans qu'on le sache. J'avais regardé à la loupe celui de Nuage avant de l'utiliser.

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salut Pierre,
je vais te fournir divers aléatoires de provenance diverse.
Il te faut une serie de combien de P et F pour mettre en évidence le gain à jouer le retard?
j'essaierai de te les donner sous une forme plus compacte qu'une seule verticale.
Mais déjà des données comme celles-là tu peux les reprendre et les travailler?

Here are your random numbers:
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1
0
1
1
1
0

Salut Beagle,
Oui je peux donner les résultats pour toutes les listes de quelque caractère, chiffre ou lettre que tu veux.
Je te tiens au courant.

PS
Par rigueur scientifique je vais dire ce que je vais faire avant de commencer. Je vais m'intéresser d'abord à la seconde liste qui comporte beaucoup plus d'éléments.
1- vérifier que cette liste a bien été faite par des méthodes "naturelles" et non dans un environnement quantique, sinon je ne pourrai rien vérifier, puisque le lois des probabilités ne s'appliquent que dans un univers observable.
2- vérifier la loi des grands nombres, pour cela je lirai séquentiellement la liste avec comptage des P et des F, je ferai un impression du comptage à l'égalité. Je suivrai la différence entre P et F. Je prévois que j'imprimerai cette différence, c'est à dire P-F à étapes régulières, par exemple tous les 50, avec l'indication du max.
3- vérifier le TCL. Telle que je l'ai vue, cette liste est une liste de mots de 01. Ces mots peuvent définir des nombres en binaire. Je ferai la transformation en décimal et j'obtiendrai ainsi une liste de nombres décimaux de 0 à 63 ou de 0 à 127 suivant la longueur des mots. Là j'utiliserai mes outils habituels pour vérifier la normalité.

ma question est combien de données par séries à examiner.
Il y aura plusieurs series issues de données différentes.
j'ai fait des tests pour voir le copier coller, bon c'est pénible en colonne,
je vais virer ça un peu plus tard

J'ai décrit ma manière de procéder dans mon message précédent. Evidemment les listes avec une seul colonne, ca prend plus de place : pour une valeur affichée (0 ou 1) il y a 2 valeurs en plus CL-RF (retour charriot, saut de ligne).

salut Pierre,
les 0 et 1 sont les P ou F d'un lancer de pièce
je souhaite le protocole qui permet de montrer qu'en jouant le retard on gagne sur jouer le hasard voir sur l'avance
donc on a ici 1000 lancers de piece
il te faut combien dans une série pour observer correctement l'effet.
On fera bien sur plusieurs séries ici du meme donneur de random (mais différentes series bien sur)

je peux probablement remplir dans une matrice qui sera plus manipulable
en colonne c'était un essai de copier coller

Bon, voila le première étape.
Le second fichier comporte 100 lignes de 10 caractères 0 ou 1.

Code:

P = F 1
P = F 2
P = F 3
P = F 4
P = F 6
diff actuelle = -4
diff actuelle = -14
diff actuelle = -26
diff actuelle = -14
diff actuelle = -10
diff actuelle = -4
P = F 146
P = F 150
P = F 151
P = F 159
P = F 160
diff actuelle = 0
P = F 161
P = F 174
P = F 175
P = F 177
P = F 178
P = F 182
P = F 183
diff actuelle = -4
diff actuelle = -14
diff actuelle = -14
diff actuelle = -32
diff actuelle = -32
diff actuelle = -28
diff actuelle = -24
diff actuelle = -22
diff actuelle = -28
diff actuelle = -28
diff actuelle = -22
diff actuelle = -10
diff actuelle = -16

après 1000 lecture de 0 1 P= 495  F=505  Difféence max=34

Cela vérifie la loi des grands nombres, la différence observée tend vers la différence théorique.
Je pense que si le fichier était plus long, la différence obtenue vers le premier tiers ne sera plus jamais atteinte.
Ca faisait longtemps que je n'avais pas développé un peu, ça fait du bien.

Pour mémoire, une matrice est une représentation sous forme de tableau des paramètres d'une application linéaire. Dans le cas présent, il n'y a pas d'application linéaire.
J'ai montré la première étape : la loi des grands nombres, maintenant, au tour du TCL de se dévoiler.

ce générateur te convient donc.
10 000
Random Integer Generator

Here are your random numbers:
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0
0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1
1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1
1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0
1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1
1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0
1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1
1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1
1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0
0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1
0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1
0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1
1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0
1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1
0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0
1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1
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0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0
1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0
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0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0
0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0
1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1
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1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0
0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0
0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0
1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0
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1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1
0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1
1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1
0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1
0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0
0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0
1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1
0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1
0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0
1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0
1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1
1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1
1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1
1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0
0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0
1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0


Timestamp: 2019-12-13 13:54:23 UTC

"Pour mémoire, une matrice est une représentation sous forme de tableau des paramètres d'une application linéaire. Dans le cas présent, il n'y a pas d'application linéaire."

une matrice est un meuble, les rangées sont les tiroirs, et on peut ouvrir le meuble verticalement pour voir les colonnes
tu as pris pour étudier la matrice 10x100 plus pratique que la matrice un seul vecteur colonne des autres exemples , matrices 100x1

et dernierement je t'ai rangé 10 000 données dans une matrice 500 x20

meuble , tableau, enfin tu choisis le terme que tu veux, ça fait pas mal une matrice , faut pas avoir peur !

je vais mettre plus de colonnes pour les autres exemples car cela s'étire trop comme ça et toi tu fais retour charriot trop souvent.

Ps: tu peux ranger des chaussettes dans une matrice, et je sais pas si les chaussettes sont des applications linéaires!!!!!

Bon, voila la répartition de 200 nombre décimaux de 0 à 31.

Code:

Nombre = 32  Moyenne = 6.25  emq=2.20  ep=1.47
Médiane = 6   min= 2  max=11
Rapport Emq/Ema = 1.31 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=   0  0.00%   théorique 0.35%   |
Classe 2  nb=   0  0.00%   théorique    2%     |
Classe 3  nb=   4  12.50%   théorique    7%   |HHHHHHHHHHHHH
Classe 4  nb=   1  3.12%   théorique   16%    |HHHH
Classe 5  nb=  13  40.62%   théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=   7  21.88%   théorique   25%  |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=   5  15.62%   théorique   16%  |HHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=   0  0.00%   théorique    7%     |
Classe 9  nb=   2  6.25%   théorique    2%     |HHHHHHH
Classe 10 nb=   0  0.00%   théorique 0.35% |


La courbe n'est pas très jolie, mais je suppose qu'avec la nouvelle liste ce sera plus beau.

Voila pour les 10000 0 et 1

Code:

après 10000 lecture de 0 1 P= 5025  F=4975  Difféence max=126

 10000 Tirages 0 et 1  soit 2000 nombres de 0 à 31

Nombre = 32  Moyenne = 62.50  emq=7.39  ep=4.93
Médiane = 62  min= 50  max=76
Rapport Emq/Ema = 1.18 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=  0  0.00%     théorique 0.35%    |
Classe 2  nb=  0  0.00%     théorique    2%    |
Classe 3  nb=  4  12.50%     théorique    7%    |HHHHHHHHHHHHH
Classe 4  nb=  6  18.75%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  6  18.75%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  9  28.12%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  3  9.38%     théorique  16%    |HHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  4  12.50%     théorique    7%    |HHHHHHHHHHHHH
Classe 9  nb=  0  0.00%     théorique    2%    |
Classe 10 nb=  0  0.00%     théorique 0.35%    |


Qu'en penses-tu ?