Tir sur cible

Bonjour,
réf. : https://www.ilemaths.net/sujet-valeur-moyenne-854461.html
J'ai mis un titre qui évoque un problème assez voisin.
Cette question a déjà été évoquée. De mémoire, on en été à discuter sur la définition du hasard, et c'est ça qui est important.
Les calculs théoriques et par simulation ne donnent pas le même résultat, apparemment. Il y a des gens compétents qui s'expriment, les réactions seront intéressantes.
Au passage, un membre a observé que l'écart entre la "valeur exacte" et la valeur obtenue par simulation avaient une différence de 2%. Est-ce une coïncidence, mais c'est aussi la valeur obtenue par le joueur avisé dans le cas de "rattrapage du retard". autrement dit, c'est l'écart entre un résultat provenant du hasard et un résultat mathématiquement exact. Lequel parait le plus réaliste ?

Bonjour

Dlzlogic a écrit:Les calculs théoriques et par simulation ne donnent pas le même résultat, apparemment.

ben si, les deux correspondent... lis bien la discussion avant de poster ! C'est juste une personne qui s'est trompée dans son calcul théorique, mais après tout rentre dans l'ordre, évidemment. Non, rassure toi, il n'y a pas de contradiction entre la théorie et les simulations... sinon, la théorie des probabilités seraient vidée de son intérêt.
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Oui, sauf que je n'ai pas vu XY19 écrire quelque-chose du genre "Ah, oui, je me suis trompé".

Bonjour,

Il faut croire que tu as du mal à lire ce qui est écrit :
https://www.ilemaths.net/sujet-valeur-moyenne-854461.html#msg7730441
Tout le monde est d'accord que la valeur moyenne de la distance à O est (2/3) * (racine(2) + ln(1+racine(2))), ce qui fait peu près 1,53.

Tu ressors ton délire du 2% ?

Le problème n'a rien à voir avec une histoire de tir sur cible.

@ Gbzm,
Ca t'arrive de temps en temps d'être poli ?
Oui, je sais lire. XY19 a bien précisé un facteur de pi/12 et bien indiqué "après vérification".
Le point est pris aléatoirement dans le carré. C'est un contexte dont on a parlé il n'y a pas très longtemps.
La solution qui vient à l'esprit dans ce type de simulation est de prendre un X aléatoire et un Y aléatoire dans le carré.
Si on prend cette valeur aléatoirement, alors il y a une concentration plus forte vers le centre. Cela me parait inévitable, sauf si on fait un tirage de telle sorte qu'il soit identique sur toute la surface.
On peut bien sûr faire un calcul théorique, comme tu le suggères. Dans ce cas quelle formule trouves-tu ?

XY19 a écrit:calcul à faire en distinguant a<2 et a>2. Je trouve un résultat P(Z<a) cohérent. Mais je fais le calcul de la moyenne avec un calcul formel... et j'obtiens pas le bon résultat.
Il faudrait donc faire le calcul à la main...

En lisant cela, j'ai pas vraiment l'impression que le problème est résolu pour tout le monde.
Au passage, ce que tu appelles "délire de 2%" est le résultat d'un très grand nombre d'expériences, tant avec un générateur de nombre, qu'avec la lectures de décimales de nombres irrationnels faits par toi, qu'avec l'exploitation de résultats réels.
J'ai d'ailleurs ouvert un sujet pour évoquer cela, apparemment cela ne t'a pas intéressé.
Alors, concernant la contradiction systématique, il serait bon que ça cesse.

@Dlzlogic
Ça t'arrive de temps en temps d'écrire des choses qui tiennent debout ?

Oui, je sais lire. XY19 a bien précisé un facteur de pi/12 et bien indiqué "après vérification".

Dans le message que j'ai mis en lien et que tu cites, il a rectifié et donné le résultat correct : (2/3) * (racine(2) + ln(1+racine(2))), ce qui fait peu près 1,53. C'est le résultat sur lequel tout le monde est d'accord, tant sur le calcul théorique que sur les simulations.

La solution qui vient à l'esprit dans ce type de simulation est de prendre un X aléatoire et un Y aléatoire dans le carré.
Si on prend cette valeur aléatoirement, alors il y a une concentration plus forte vers le centre. Cela me parait inévitable, sauf si on fait un tirage de telle sorte qu'il soit identique sur toute la surface.

Et encore une bêtise d'ajoutée ! Pourtant, toi qui as lu Harthong, tu devrais savoir que "au hasard dans le carré" veut dire "selon une distribution uniforme dans le carré" : aucune région du carré n'est privilégiée. Comme dans la distribution des droites dans l'expérience des fétus de paille : aucune région n'est privilégiée.

Au passage, ce que tu appelles "délire de 2%" est le résultat d'un très grand nombre d'expériences, tant avec un générateur de nombre, qu'avec la lectures de décimales de nombres irrationnels faits par toi, qu'avec l'exploitation de résultats réels.

Le délire continue !

Quand tu n'écris pas de bêtises, je suis d'accord avec toi. Mais ça n'arrive presque jamais, la preuve dans ce fil.

@ Gbzm,
Je voudrais bien savoir à quel titre tu te permet de rétablir des phrases que j'ai supprimées.
J'ai observé que le sujet sur ile-math n'avait pas eu d'autre intervention après la tienne. Ce genre d'attitude est très caractéristique, ça veut dire "pas la peine d'essayer de discuter avec lui".
J'ai fait la simulation et je trouve 1.44.
Alors, je veux bien que tu démontres que c'est pas vrai.
J'ai choisi le point A au hasard, comme le dit l'énoncé.

Dlzlogic a écrit:
J'ai fait la simulation et je trouve 1.44.
Alors, je veux bien que tu démontres que c'est pas vrai.
J'ai choisi le point A au hasard, comme le dit l'énoncé.

Eh bien, c'est que ta simulation est vraiment mauvaise.
Je peux, si tu veux, te donner la démonstration du résultat (2/3) * (racine(2) + ln(1+racine(2))) avec lequel tout le monde (y compris XZ19) est d'accord. Mais tu n'y comprendras rien, donc ce n'est pas la peine, n'est-ce pas ?
Une simulation sérieuse : 10 essais en prenant à chaque fois 100000 points distribués uniformément dans le carré.

Code:

import random as rd
import numpy as np

for j in range(10) :
    L=[]
    for i in range(100000) :
        L.append(np.sqrt(rd.uniform(-2,2)**2+rd.uniform(-2,2)**2))
    print(round(np.mean(L),3))

1.53
1.531
1.533
1.531
1.531
1.531
1.531
1.528
1.53
1.53

​

Oui, bien-sûr.
D'abord, ça ne sert à rien de calculer 100000 points.
Ensuite, qu'est-ce qui prouve que la fonction random.uniform donne effectivement une distribution uniforme.
Pour le vérifier, on peut par exemple compter le nombre de valeurs pour chaque tranche de 0.20 dans l'intervalle -2.0 +2.0.

Dlzlogic a écrit:D'abord, ça ne sert à rien de calculer 100 000 points.

Si, c'est utile pour avoir une erreur négligeable par rapport à ce que l'on recherche.

Quand tu annonces ton résultat 1.44 avec 3 chiffres, sais-tu quelle est ta précision réelle ? tout dépend du nombre de points que tu as utilisés : c'est le b.a.ba de la statistique.

Si tu as pris un échantillon de taille n = 100 comme d'habitude, ben, tu as uniquement 1 chiffre significatif dans ton résultat. Donc c'est illusoire d'écrire 1.44.

En revanche, en prenant n = 100 000 points, la précision est bien meilleure , même si elle n'est pas transcendante non plus, car la convergence est assez lente, en 1/n^0.5 .

Dlzlogic, tu n'as pas donné le code de ta simulation. Ton affirmation ne vaut donc rien.

Code:

import random as rd
import matplotlib.pyplot as plt

L=[rd.uniform(-2,2) for i in range(100000)]
_=plt.hist(L,bins=20)
plt.show()

@ Gbzm,
Il me semble que j'ai une erreur dans mon calcul.
Désolé, on verra demain.

La seule façon de vérifier que la répartition est uniforme est de compter et d'afficher le nombre de valeurs dans chaque tranche.
J'ai trouvé ma faute.
Demain, je donne tous les détails.

Bonjour,
J'ai fait le calcul suivant : je divise le carré de base en 100x100 petits carrés.
Je prend un point au centre de chaque carre, je calcule la distance OA moyenne les résultat 1.530.
Le prends les points au bord de chaque carré, j'ai donc 10201 mesure, la moyenne vaut 1.546.
Ce n'est pas le résultat qui m'intéresse, c'est l'approche.
Ceci dit, il faut oublier la valeur de 1.44 que j'ai écrite bêtement.

@ Fan,
Concernant le nombre d'essais pour avoir une bonne moyenne.
Tu n'as pas tout à fait tort, mais j'ai mis longtemps à comprendre.
En fait le problème est que les distances obtenus avec des points uniformément répartis n'ont pas une répartition très normale. Cela tient, à mon avis, à la formule racine(x² + y²). En tout cas, elle n'est pas symétrique. Probablement le très grand nombre minimise cela.
En fait, j'ai un peu de mal à le comprendre réellement. Cette explication n'est que mon explication personnelle, je n'en suis pas du tout sûr.
Pour-être c'est dû au fait qu'il y a aussi des points dans le coins du carré. Pour moi, le problème reste posé.

Eh bien voila. Avec une discrétisation du carré, tu aboutis à une moyenne de 1.530 tout à fait conforme au résultat théorique (2/3)(racine(2) + ln(1+racine(2))) - 1.53039. Et si tu discrétises pour un carré plus grand dans un rapport  101/100, il est normal de trouver à peu près 1.545.
Où sont tes fameux 2% ? Nulle part, à part dans ton imagination.
Et non, la loi de la distance à O n'est pas une loi normale. Et ça n'a rien de surprenant.
La densité pour la loi de la distance r à O est donnée par
f(r) = 2*pi*r/16 si  0 <= r <=2
        (2*pi -8*arccos(2/r))*r/16 si 2 <= r <= racine(2).
Pour illustrer la répartition de r  : en bleu l'histogramme pour un tirage de 100000 points dans le carré, en rouge la courbe donnée par la densité explicitée ci-dessus :


Et si tu préfères voir les effectifs des 100 classes plutôt que l'histogramme, les voici :
[ 36., 50., 100., 125., 152., 191., 222., 254., 290.,
309., 319., 365., 393., 422., 473., 538., 549., 536.,
582., 602., 649., 661., 686., 718., 767., 819., 830.,
844., 886., 916., 984., 978., 1061., 1084., 1043., 1110.,
1135., 1126., 1232., 1294., 1290., 1263., 1361., 1376., 1426.,
1463., 1471., 1443., 1584., 1517., 1529., 1668., 1591., 1715.,
1720., 1666., 1744., 1761., 1932., 1823., 1890., 1913., 1976.,
1958., 1998., 2124., 2117., 2064., 2195., 2133., 2142., 1849.,
1594., 1502., 1391., 1260., 1150., 1110., 1036., 990., 962.,
867., 811., 778., 665., 653., 634., 539., 458., 453.,
423., 373., 298., 275., 225., 182., 142., 111., 64.,
21.]

Bonsoir,
D'abord, je tiens à préciser formellement que mon intervention n'a qu'un but : la précision scientifique. Donc toute remarque personnelle est sans objet.
Par ailleurs, je me fiche complètement du résultat numérique, pour la bonne raison que l'exercice concerné est tout à fait théorique.
Donc la question posée peut être résumée ainsi :
On fait une expérience qui ne correspond pas à une mesure directe. Cette expérience est le résultat de l'expression de la valeur numérique d'une formule quelconque. En probabilité, on appelle cela l'application d'une loi de probabilité 'L'.
Le but est de trouver une valeur numérique proche de la valeur vraie, éventuellement calculable exactement.
La méthode employée est de faire un grand nombre de simulations de cette fonction, qu'on pourra appeler "loi de probabilité".
Ce schéma est exactement celui de la méthode connue sous le nom de "méthode de Monte-Carlo".
On en calcule la moyenne arithmétique.
Ma question : pour quel motif mathématique cette moyenne arithmétique est-elle proche de la valeur espérée ?

Dlzlogic, pourquoi tenir ce discours nébuleux ?

mon intervention n'a qu'un but : la précision scientifique

C'est une blague ?

Les choses sont simples, non ?

On a un problème mathématique bien posé qui est de calculer l'espérance de la distance au centre du carré pour une répartition uniforme des points dans le carré. Ça se calcule très bien par une intégrale pas trop compliquée. J'ai donné des indications assez précises ici : https://www.ilemaths.net/sujet-valeur-moyenne-854461.html#msg7731875
La loi forte des grands nombres nous dit que quand on tire n points suivant la loi uniforme dans le carré, la moyenne des distances tend presque sûrement vers l'espérance quand n tend vers l'infini. C'est confirmé par les simulations faites.

Puisque c'est un problème mathématique, il ne t'intéresse pas. Mais alors, pourquoi as-tu ouvert un fil sur ce problème qui ne t'intéresse pas ?

Tes insultes sont inacceptables.
Où as-tu vu ?

Gbzm a écrit:La loi forte des grands nombres nous dit que quand on tire un points suivant la loi uniforme dans le carré, la moyenne des distances tend presque sûrement vers l'espérance quand n tend vers l'infini.

Comme dirait Sylviel, sois précis, donne des références.
J'ai posé de façon précise la question "pourquoi la moyenne" tu réponds "je l'ai démontré par calcul intégral".
Ta mauvaise foi te rend de plus en plus non crédible et de plus en plus désagréable.

Dlzlogic,,

Dans ma phrase c'est bien "quand on tire n points" et pas quand on tire un points" comme tu l'as recopié. Sois plus soigneux quand tu recopies.

Je n'ai fait qu'appliquer de façon immédiate la loi forte des grands nombres. Tu as donc l'air d'ignorer ce théorème.

Si (X_n)_{n>0} est une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées, on a équivalence entre :
1) E(|X_1|) < +infini
2) la suite (X_1 + ... + X_n)/n converge presque sûrement.
De plus, si l'une de ces deux conditions équivalentes est remplie, alors la suite  (X_1 + ... + X_n)/n  converge presque sûrement vers la constante  E(X_1).

J'ai posé de façon précise la question "pourquoi la moyenne" tu réponds "je l'ai démontré par calcul intégral".

Une fois de plus, tu n'as pas compris ce qui était écrit. Le calcul de l'espérance se fait au moyen d'une intégrale, comme il se doit.
Le résultat de la simulation est donné par la moyenne arithmétique (comme dans la loi des grands nombres) des distances observées pour un grand nombre de tirages de points.

Vraiment, tu racontes n'importe quoi. Tu devrais occuper ton dimanche de façon plus intelligente et plus agréable.

Oui, très jolie cette nouvelle "loi des grands nombres".
Je te pose la question concernant l'expression "moyenne arithmétique" et sa justification dans le cas présent, et tu réponds "loi forte des grands nombres" calcul numérique etc. puis :

Le résultat de la simulation est donné par la moyenne arithmétique (comme dans la loi des grands nombres) des distances observées pour un grand nombre de tirages de points.

Ben oui, c'est justement la question que je pose : POURQUOI ? quel est l'argument mathématique ? En tout cas rien à voir avec le loi des grands nombres.
Manifestement, tu ne sais pas, alors au lieu de la dire tout simplement tu préfères écrire n'importe quoi.

Eh bien si : tout à voir avec la loi des grands nombres, qu'on peut formuler de manière raccourcie comme "la moyenne empirique tend vers l'espérance".

Dlzlogic, quand auras-tu fini d'empiler ânerie sur ânerie ?

@ Gbzm
"la moyenne empirique tend vers l'espérance".
Tu ne te rends pas compte que c'est toi qui ne dis que des âneries.
D'abord tu parles de moyenne empirique, alors que moi, je te pose la question de moyenne arithmétique.
Tu parles de l'espérance. Outre le fait que ce terme a un sens mathématique bien précis (produit du gain par la probabilité) et qu'il a été piraté. Quelle est la définition de l'espérance ? La définition de Wikipédia : "En théorie des probabilités, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire réelle est, intuitivement, la valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. Elle se note E ( X ) {\displaystyle \mathbb {E} (X)} {\displaystyle \mathbb {E} (X)} et se lit « espérance de X ». " La suite est intéressant aussi.
Bon, tu calcule l'"espérance" par des méthodes mathématiques exactes.
Il y a un terme que l'on n'a pas employé : probabilité.
La loi des grands nombres dit que "la fréquence tend vers la probabilité".
On peut assimiler la fréquence à la moyenne arithmétique. Donc, on en est revenu à ta "moyenne empirique".
On en est revenu à la question : quelle est la loi de probabilité de cette mesure de distance OA ?

PS. D'ailleurs, ma question était plutôt posée à FanDeDlz, puisque c'est lui qui était intervenu concernant le nombre de points étudiés.

Dlzlogic ne se rend même pas compte que "la fréquence tend vers la probabilité" n'est qu'un cas particulier de "la moyenne empirique tend vers l'espérance", cas particulier pour le cas où la variable aléatoire est l'indicatrice d'un événement.
Ça fait des années qu'il ne comprend pas grand chose (voire rien) aux probas, ça ne va certainement pas s'arranger tout d'un coup.

Dlzlogic ne comprend pas les probas, et de manière générale il ne comprend pas ce qui est écrit. Par exemple il n'a pas compris que j'avais déjà donne la loi de probabilité de la variable aléatoire "distance au centre du carré".

Je le remets en un peu plus gros. Le verra-t-il cette fois ci ? Et surtout, comprendra-t-il ce qui est écrit ? J'en doute.

Et non, la loi de la distance à O n'est pas une loi normale. Et ça n'a rien de surprenant.
La densité pour la loi de la distance r à O est donnée par
f(r) = 2*pi*r/16 si  0 <= r <=2
         (2*pi -8*arccos(2/r))*r/16 si 2 <= r <= racine(2).

J'avais même joint un joli dessin :

Et, toi, Gbzm, grand mathématicien, quand on te pose une question, tu changes la question et tu réponds à ta question.
Tu répètes "la moyenne empirique tend vers l'espérance", alors que ces termes ne sont définis qu'après de longues explications plus ou moins justifiées dans une théorie que tu appelles "probas" et qui n'est qu'une conséquence de la théorie des ensembles.
Tu utilises des méthodes assez grossières pour masquer ton incompétence. Cette technique marche toujours avec les élèves, mais on a vu les résultats avec des interlocuteurs compétents.

Dlzlogic est profondément vexé qu'on montre à quel point il ne comprend rien aux probas.

Alors que fait-il ? Répondre scientifiquement ? Non bien sûr, il bannit l' "incompétent" qui ose démonter ses billevesées. Sans le dire.

Vraiment minable.