A propos de la loi de Cauchy

Illustrons à la fois la stabilité (qui intéresse Paul Lévy) et l'absence de convergence de la loi de Cauchy.
Pour cela, prenons p échantillons de n valeurs tirées selon la loi de Cauchy standard, et faisons la moyenne de chacun de ces échantillons. Ensuite, traçons un histogramme avec ces p moyennes pour voir leur distribution.
Si la loi de Cauchy vérifiait les conclusions de la loi des grands nombres et du théorème central limite,
- ces moyennes devraient converger quand n tend vers l'infini (forcément vers 0, puisque la loi est symétrique) et donc la distribution des moyennes devrait se resserrer autour de 0.
- la distribution des moyennes devrait être de plus en plus proche d'une distribution normale.
Or on constate qu'il n'en est rien. Quelle que soit la taille des échantillons, la distribution des moyennes reste obstinément la distribution de Cauchy standard et ne se resserre nullement autour de 0. La courbe rouge sur les histogrammes représente la fonction de densité de cette distribution de Cauchy standard.


Dlzlogic, ne tombez pas en syncope ! Encore une fois cela n'enlève rien à la validité de la loi des grands nombres ni du théorème central limite. Ces théorèmes fondamentaux s'appliquent à toutes les variables aléatoires qui vérifient les hypothèses d'intégrabilité de ces théorèmes. Les probabilités ne s'écroulent pas, elles sont plus fortes que jamais.
La propriété mise en avant par les simulations dont j'ai donné le résultat ci-dessus se démontre très facilement à l'aide d'un outil que Paul Lévy utilise abondamment : la fonction caractéristique d'une variable aléatoire. La fonction caractéristique détermine entièrement la loi. Paul Lévy trouve commode cette fonction caractéristique parce que la fonction caractéristique d'une somme de variables aléatoires indépendantes est le produit des fonctions caractéristiques. En conséquence, si φ₁(t),...,φ_n(t) sont les fonctions caractéristiques des variables X₁,...,X_n indépendantes, la fonction caractéristique de leurs moyenne est φ₁(t/n)*...*φ_n(t/n). Or la fonction caractéristique d'une variable aléatoire de Cauchy standard est exp(-|t|). La fonction caractéristique d'une moyenne de n est  donc exp(-|t|/n)ⁿ = exp(-|t|). Quel que soit n, on retombe toujours sur la fonction caractéristique de la loi de Cauchy standard !

Bonjour,
Merci à Humx3 pour son étalage de graphiques et surtout pour le lien de la note de Lévy concernant la théorie des erreurs, la loi de Gauss et les lois exceptionnelles.
On peut y lire à quel point Lévy avait besoin de se défendre contre les contradictions venant de la part de ses confrères, probablement mathématiciens mais dont seulement quelques noms ont été retenus par la postérité.
J'ai ouvert ce fil, hors du chapitre "pédagogie" pour donner un exemple de comportement de certains matheux dont la préoccupation se limite à contredire les autres membres, surtout si ils tentent d'exposer paisiblement des notions très importantes mais qu'ils connaissent mal.
Ceci est d'autant plus ennuyeux que les individus, quels qu'ils soient, ont tendance à se rappeler plus facilement les contre-exemples plutôt que les notions générales.
Bien-sûr la loi de Cauchy, comme probablement quelques autres lois exceptionnelles, intéresse certains dans certains contextes bien particuliers, mais ne constitue en aucun cas un point fondamental à enseigner.
Enfin, contrairement à ce que laissent croire certaines images du début des échanges, une expérience réalisée suivant cette loi converge vers sa moyenne, un peu moins rapidement que la loi de Gauss qui constitue le cas général, mais confirme la loi des grands nombre.

Vous rabachez des contre-vérités sans donner aucun argument et sans tenir aucun compte des preuves que l'on vous fournit.  Je parle des simulations juste au-dessus.

Enfin, contrairement à ce que laissent croire certaines images du début des échanges, une expérience réalisée suivant cette loi converge vers sa moyenne, un peu moins rapidement que la loi de Gauss qui constitue le cas général, mais confirme la loi des grands nombre.

1°) Vous prétendez donc que, quand on fait la moyenne d'un échantillon de n valeurs tirées selon la loi de Cauchy, cette moyenne converge vers 0 (à moins que vous ne plaidiez pour une autre valeur) quand n tend vers l'infini.
2°) Si votre affirmation était vraie, quand on regarde la distribution de 10 000 moyennes d'échantillons de n valeurs, cette distribution devrait se resserrer autour de 0 quand n tend vers l'infini. Vous êtes bien d'accord ?
3°) Or on constate sur mon "étalage de graphiques" que ce n'est absolument pas le cas. Aussi grand que soit le nombre de valeurs prises dans l'échantillon, il n'y a toujours environ que la moitié des moyennes dont la valeur absolue est plus petite que 1.  Drôle de convergence vers 0, vous ne trouvez pas ?
4°) La seule conclusion logique à laquelle vous devez arriver en voyant mes simulations est donc qu'elles sont trafiquées. Pensez-vous que j'ai trafiqué mes simulations ?

J'ajoute que j'ai donné une preuve mathématique du défaut de convergence pour la loi de Cauchy, en employant les mathématiques de Paul Lévy. En maintenant votre contre-vérité de la convergence pour la loi de Cauchy, vous contredisez donc les mathématiques de Paul Lévy. De fait, vous vous rangez parmi ses contradicteurs, et parmi les pires : ceux qui rejettent totalement ses mathématiques.

Nous avons vu la "non convergence" de la loi de Cauchy standard.  Si vous le voulez bien on peut regarder ce qui se passe pour des variables aléatoires de Cauchy tronquées à 100 : quand on fait un tirage selon la loi de Cauchy, on rejette toute valeur supérieure à 100. Une telle variable aléatoire tronquée devient bien sûr intégrable, son espérance est 0 et son écart-type est (100/arctan(100) - 1)^1/2, à peu près 7,94.
On procède de la même manière que ci-dessus : on prend p échantillons de n valeurs tirées selon la loi de Cauchy tronquée à 100, et on fait la moyenne de chacun de ces échantillons. Ensuite, on trace un histogramme avec ces p moyennes pour voir leur distribution. On constate bien alors le resserrement autour de 0 et la convergence vers la loi normale quand n augmente de 10 à 100 à 1 000 à 10 000 :


Pour qu'on y voie quelque chose malgré le resserrement autour de 0, la plage de l'axe des abscisses se rétrécit d'un facteur racine(10) à chaque fois : par exemple on a une plage entre -10 et 10 au début et une plage entre -0,3 et 0,3 à la fin.
La courbe verte sur chaque graphique correspond à la fonction de densité de la gaussienne centrée qui a même écart-type que la moyenne des n variables de Cauchy tronquées, pour le n considéré.
Comme vous le voyez, tronquer fait une sacrée différence ! On parle de queue lourde pour la distribution de Cauchy, et quand on coupe la queue le comportement change du tout au tout.

Je tiens à remercier Dlzlogic de me donner l'occasion de faire ces simulations. C'est sincère, ça me permet d'approfondir pas mal de choses.

Bonsoir, j'étais justement entrain de penser à ce type de chose.
Au risque de me faire contredire vertement et sans appel, je répète ce que un étudiant devrait savoir.
Sauf cas particulier, que Lévy a appelé "cas exceptionnel", toute expérience de loi uniforme que j'appelle souvent de même procédure, produit des résultats conforme à la loi normale. Ceci a été démontré.
Passons à la loi de Cauchy. Sa fonction est parfaitement définie dans le catalogue mathématique. Ses éléments ne répondent pas à certains critères de certaines théorie mathématiques. Ca, on l'a bien compris. Les contextes de réalisation sont rares, d'après mes lectures, cela se limite à des expériences d'optique. Cela n'a pas empêché d'autres scientifiques de l'utiliser, non pas comme outil d'expérience, mais comme outil d'argumentation.
Je ne rentrerai dans ce jeu par contre, je dénonce son utilisation pour faire croire que les loi des probabilités ne sont pas toujours vraies.

Bonjour Dlzlogic,

Cela n'a pas empêché d'autres scientifiques de l'utiliser, non pas comme outil d'expérience, mais comme outil d'argumentation.

Vous voulez parler de Paul Lévy, qui consacre la seconde partie de son article de 1924 à la loi de Cauchy et à ses acolytes en dehors du domaine d'attraction de la loi de Gauss ?

Je poursuis avec mon étalage de graphiques que vous appréciez tant (bien que je ne sois pas sûr que vous les lisiez avec l'attention qu'ils méritent). Nous avons vu ci-dessus ce qui se passe pour une loi de Cauchy tronquée à 100, voici ce qui arrive pour une loi de Cauchy tronquée à 10000

   

   

Vous, comme tout autre lectrice ou lecteur, pouvez constater que la convergence vers une distribution gaussienne et le resserrement autour de 0 est beaucoup plus lent que quand on tronque à 100. Pour des moyennes de 10000 valeurs, on est encore à une plage entre -3 et 3 (un écart-type de l'ordre de 3/4).
Plus on tronque loin pour se rapprocher de la vraie loi de Cauchy, plus l'écart-type (ou écart moyen quadratique, si vous préférez) augmente pour devenir infini dans le cas de la vraie loi de Cauchy. Et alors que chacune des tronquées est dans le domaine d'attraction de la loi de Gauss,  la loi de Cauchy n'est plus dans ce domaine d'attraction ; vous avez vu plus haut que les moyennes d'échantillons pour la loi de Cauchy restent désespérément distribuées selon cette même loi de Cauchy, quelle que soit la taille de l'échantillon.

En conclusion, arrêtez de prétendre que "la loi de Cauchy converge" contre toute évidence et contre Paul Lévy lui-même. Plus personne n'aura à vous contredire sur ce point. Il ne suffit pas de se proclamer hérétique pour avoir raison ; il faut avoir de bons arguments que vous n'avez pas.

Sur ce, bon dimanche !

Bonjour Humx3,
Décidément votre seule préoccupation consiste à me contredire.
Je me demande réellement si vous avez lu la note de Lévy pour laquelle vous avez donné un lien.
Quand on regarde vos graphique, on croit comprendre que cela converge vers 0, probablement la moyenne dans vos calculs. Mais bien sûr, c'est forcément qu'on n'a rien compris.
Jacques Harthong, dans son livre "Probabilités et statistiques a écrit en toutes lettres qu'une expérience réalisée dans le contexte de la loi de Cauchy convergeait.
J'en ai assez de vos attaques personnelles, alors à vous de dévider de votre attitude, en ce qui me concerne, elle est prise.

Je me demande réellement si vous avez lu la note de Lévy pour laquelle vous avez donné un lien.

Bien sûr. Mais vous, l'avez-vous comprise ?

Quand on regarde vos graphique, on croit comprendre que cela converge vers 0, probablement la moyenne dans vos calculs. Mais bien sûr, c'est forcément qu'on n'a rien compris.

Pourquoi ? L'espérance d'une variable aléatoire symétrique bornée n'est-elle pas 0 ? La loi des grands nombres n'affirme-t-elle pas que la moyenne converge vers l'espérance ?

Jacques Harthong, dans son livre "Probabilités et statistiques a écrit en toutes lettres qu'une expérience réalisée dans le contexte de la loi de Cauchy convergeait

Où ça ? Quand je cite un auteur comme Paul Lévy, je mets un lien, je dis où tel passage se trouve dans l'article. Je n'en attends pas moins de vous.

Je me demande si on parle le même langage.
1- Une expérience réalisée suivant le schéma (impact lumineux sur un mur) de la loi de Cauchy converge-t-elle ?
2- La loi des grands nombres signifie-t-elle autre-chose que de converger vers la valeur vraie, toujours inconnue et que les matheux appelle "espérance" ?
3- La convergence vers 0 est un cas particulier. Si on fait des observations, c'est à dire des mesures dans n'importe quel domaine, il y a de fortes chances que la valeur attendue n'est pas 0.
4- vous souhaitez que le monde réel corresponde à votre mathématique, moi je considère que les mathématiques de sont utiles que si on en a besoin.

***** Message sans intérêt, donc supprimé. *****

A part certains spécialistes comme les opticiens, la loi de Cauchy est évoquée comme "contre-exemple" par certains matheux, comme argument contre la réalité de la théorie des probabilités.
C'est le sujet du fil et il a été dévié.
La théorie des probabilité n'est pas une théorie abstraite elle se rattache à une observation du monde réel et doit être étudiée comme telle.
Si on réalise une expérience qui satisfait la loi de Cauchy, alors le résultat converge.

Vous censurez un message qui rappelait des faits scientifiques bien établis. Drôle de conception de l'argumentation !

Je rappelle une nouvelle fois ces faits scientifiques établis :

1°) La loi de Cauchy n'est pas dans le domaine d'attraction de la loi de Gauss. La moyenne d'un échantillon de n valeurs tirées selon la loi de Cauchy reste distribuée selon la loi de Cauchy, quelle que soit la taille de l'échantillon. J'en ai rappelé la démonstration utilisant les fonctions caractéristiques (Lévy les introduit et les utilise dans l'article que j'ai mis en lien). J'ai aussi illustré la stabilité de la loi de Cauchy et la non convergence des moyennes par cette expérience :


2°) Les lois de Cauchy tronquées (on exclut les valeurs supérieures à un certain seuil) sont elles dans le domaine d'attraction de la loi de Gauss.

Permettez moi de vous le rappeler : pouvez vous m'indiquer où Jacques Harthong serait censé écrire que la loi de Cauchy converge ? Quand on cite quelqu'un, le minimum est de permettre de lire le texte exact, ne trouvez vous pas ?
Bonne nuit, et j'espère avoir demain matin la référence exacte de Jacques Harthong sur la loi de Cauchy. Merci !

Deux réponses :
D'où sort cette loi de Cauchy ?
Les probabilités concernent le domaine du réel observable. Une expérience réalisée par les opticiens satisfait une certaine formule. Cette formule n'est valable que dans un certain intervalle (la fonction trigonométrique tangente). En dehors de ces bornes cette fonction n'est pas utilisable dans le monde réel, mais naturellement comme toute fonction qui numérise quelque-chose d'abstrait, pourquoi pas s'en servir comme argument pour contrer quelqu'un ?

Le livre de Jacques Harthong est long. La version dont je dispose ne permet pas une recherche. J'ai déjà cherché, à la demande de Léon, un contradicteur bien connu, maintenant, j'ai renoncé.

Il est intéressant que la déclaration comme axiome de choses établies par démonstration ne vous tracasse pas plus que cela.
La théorie des probabilités est très mal connue des matheux, votre acharnement en est une preuve, s'il en fallait.
Je vous rappelle, pour mémoire, deux expériences très intéressantes que vous semblez oublier :
Les résultats qu'un très grand nombre de tirages d'un dé à 1000 faces et étant donné le nombre de supports utilisés, seul le hasard est une constante.
L'exploitation du fichier de températures sur 54 ans et le corollaire qu'il a été indiqué pour qu'un professeur montre à ses élèves que la théorie des probabilités était du bidon, ou une légende urbaine.
Ma seule conclusion : vous êtes complètement à côté de la plaque.

Merci à GBZM pour ces images qui parlent mieux qu'un beau discours.
J'ai adoré !

Merci Beagle !

Dlzlogic, j'ai retrouvé le passage où Harthong parle de la loi de Cauchy. C'est page 227 de son texte, dans le chapitre IX "Lois de probabilités asymptotiques", la section IX.1.
Jacques Harthong écrit "Dans ce chapitre nous nous proposons d'étudier quelques lois de probabilité asymptotiques, que l'on rencontre souvent et qu'il faut connaître". Et donc parmi celles que l'on rencontre souvent et qu'il faut connaître selon Harthong, la loi de Cauchy. Un discours sensiblement différent du votre, n'est-ce pas ?
Que fait Harthong dans la section IX.1 ? Essentiellement, il établit la formule de la densité de la loi de Cauchy, en partant du quotient de deux variables gaussiennes centrées. Dans le cas de variables gaussiennes standard, il retrouve la formule bien connue (1/π)* 1/(1+t²). Il constate bien sûr que l'espérance est donnée par une intégrale divergente et que la variance est infinie.
Harthong parle de lois asymptotiques car il les considère comme limite de lois de variables aléatoires discrètes prenant un nombre fini de valeurs. Il prend comme exemple le quotient X_2N+1/Y_2N+1 de deux marches aléatoires symétriques sur les entiers, avec N tendant vers l'infini. De telles lois, comme les lois de Cauchy tronquées que j'ai évoquées plus haut, appartiennent au domaine d'attraction de la loi de Gauss. Mais la loi asymptotique, la loi de Cauchy, n'y appartient pas.
En tout cas, votre affirmation

Dlzlogic a écrit:Jacques Harthong, dans son livre "Probabilités et statistiques a écrit en toutes lettres qu'une expérience réalisée dans le contexte de la loi de Cauchy convergeait.

est factuellement fausse. Jacques Harthong connaît les mathématiques et les probabilités, il se garderait bien d'écrire une telle contre-vérité.
Je rappelle les faits :

La moyenne d'un échantillon de n valeurs tirées selon la loi de Cauchy reste distribuée selon la loi de Cauchy, quelle que soit la taille de l'échantillon. J'en ai rappelé la démonstration utilisant les fonctions caractéristiques. J'ai aussi illustré la stabilité de la loi de Cauchy et la non convergence des moyennes par l'expérience dont les résultats figurent dans les graphiques plus haut

Oui, vous avez complètement raison, d'ailleurs sur vos nombreux graphiques on voit bien que vous avez raison.

***** La politesse est une condition indispensable pour continuer *****

Désolé, qu'ai-je écrit d'impoli ? Merci de me le préciser, pour que je ne commette plus d'impair.
Je vous remerciais de reconnaître que j'avais raison, et j'expliquais que j'avais fait les graphiques parce que cela m'intéressait et que je savais que vous ne seriez pas convaincu par une démonstration mathématique comme celle que j'ai faite avec les fonctions caractéristiques de Paul Lévy.
Me serais-je trompé, en fait vous étiez bien convaincu par cette démonstration ?