Rattrapages de pile ou face

Bonsoir,

On a un jeu de pile ou face avec une pièce équilibrée. Anatole (A) joue contre Barnabé (B). Chaque joueur parie sur l'un des côtés de la pièce avant chaque tirage : s'il gagne son pari, il a +1 point. S'il le perd, 0 point. Un jeu est constitué de n tirages. Une partie de m jeux.

Le but d'un jeu est pour chaque joueur de gagner plus de points que son adversaire. Une partie est gagnée si l'un des joueurs l'emporte en nombre de jeux sur son adversaire (cette distinction jeu/partie n'est pas absolument nécessaire, on peut raisonner sur un seul jeu de n tirages).

Soit un entier naturel r fixé. Soit P (respectivement F) le nombre de pile (resp. face) sur l'ensemble des tirages passés d'un jeu.

Pour la suite, nous supposerons que A parie toujours au hasard (sans stratégie). Nous cherchons une stratégie gagnante pour B qui utiliserait la connaissance des retards et avances du nombre de l'une des faces sur l'autre au cours d'un jeu. Deux variantes de la martingale de l'excédent sont proposées.

1ère stratégie : B parie comme A, sauf :

- Lorsque P - F > r, alors B parie face jusqu'à obtenir P = F.
- Lorsque F - P > r, alors B parie pile jusqu'à obtenir P = F.

2ème stratégie : B parie au hasard, sauf (comme tout à l'heure) :

- Lorsque P - F > r, alors B parie face jusqu'à obtenir P = F.
- Lorsque F - P > r, alors B parie pile jusqu'à obtenir P = F.

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Résultat : Pour r > 0, n et m assez grands, les deux stratégies de B sont majoritairement gagnantes par rapport à A, aussi bien en nombre de tirages sur un jeu, qu'en nombre de parties. Plus r est grand, plus B est en avance de gains sur A.

Au cours de nos récents et nombreux échanges privés, Dlzlogic a fait un énorme travail, très pointu, pour simuler tout ça : le résultat ci-dessus, qui peut être démontré mathématiquement (cf. nos précédents fils sur la martingale de l'excédent), a été confirmé. Après diverses vérifications de ma part - j'y ai beaucoup insisté - le générateur aléatoire de Borland qu'il utilise semble satisfaisant à simuler le hasard, même si j'aurais aimé lui appliquer certains tests bien plus contraignants. Dlz garde bien sûr les droits d'auteurs sur ses logiciels de jeux, mais libre à chacun de lui en demander une copie pour vérification et à lui de la fournir.

Surtout j'invite tout un chacun à vérifier par lui-même, en simulant de son côté, avec ses propres moyens, les stratégies ci-dessus afin d'apporter soit une confirmation, soit une réfutation du phénomène de "rattrapage de pile par face" ou inversement, et de l'avantage en gains qu'un joueur peut en tirer (*). Nous ne sommes pas à l'abri d'une erreur quelconque. Dlz a parfois manifesté des réticences à faire aboutir ce projet car selon lui, même si ses résultats étaient parfaitement valides, rien ne pourra "convaincre" nos amis contradicteurs. J'espère qu'ils lui donneront tort sur ce point.

Merci et bonne nuit.

(*) J'insiste sur le fait que notre étude a un intérêt purement scientifique, et en aucun cas financier. Toute industrie des jeux d'argent (casino, loterie, etc.), malicieusement faite de telle sorte qu'un joueur a globalement plus de chances de perdre que de gagner, est formellement déconseillée.

Bonjour,

Juste pour prendre des nouvelles de Ltav, j'espère que tu vas bien.
Je sais que Beagle et Dlzlogic vont bien, ils continuent de participer à ce forum, ce qui n'est plus le cas de Ltav.


Bonne journée.

Oui, je me posais aussi la question.
Je m'attendais un peu à ce qui les échanges via les forums soient plus nombreux en ces temps d'isolement, mais apparemment, la fréquentation est toujours la même. Par exemple, j'aurais bien aimé échanger avec le prof qui veut utiliser les décimales de Pi pour expliquer les probabilités. Peut-être que vu les réactions de GBZM, il a renoncé.

Bon, manifestement GBZM ne croit pas à la loi des grands nombres.
Alors, pas la peine de lui proposer de vérifier la normalité.

Je ne vais pas me prononcer sur les croyances de GBZM, mais je trouve son résultat normal = attendu
et je crois à la loi des grands nombres,
comme on en a largement discuté pendant des semaines ici...

Il n' ya rien dans la loi des grands nombres qui empèche le résultat observé par GBZM

Bon, les croyances, c'est comme les goût et les couleurs, ça ne se discute pas.
J'ai fait l'expérience avec mon fichier. Quand on gagne, c'est '+1', sinon rien.

Code:

Les scores A : 1002 ; B : 982 ; C: 968 ; D : 947

On peut voir le problème autrement : que va expliquer ce prof en relation avec les probabilités ?
Pour mémoire, cela confirme l'expérience de LeJeu.

Si je fais le même comptage que GBZM +9 ou -1, j'obtiens cela :

Code:

Les scores A : 20 ; B : -180 ; C: -320 ; D : -530

l'avantage avec les décimales de pi c'est qu'on a tous les memes.
pas de soucis de générateur.

Donc on se met d'accord.
Tu as testé les décimales de pi qui vont de où à où?

C'est le même fichier que j'utilise depuis quelques semaines. Je crois 10 000 décimales.
Je ne vois vraiment l'intérêt de travailler avec 1 000 000 de décimales.
Je vais faire le même calcul en prenant le générateur.

Réf. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?15,1963556
On a vu que le fonction rand (et ses copines) de Python n'était pas très satisfaisante.
J'attends toujours un test sérieux de contrôle de générateur de nombres aléatoires. Laissons de côté le "pseudo", pour l'instant.

tu utilises les 10 000 premieres décimales de pi,
donc le départ est à 1 ou du prends le 3?

Bon, écoute, c'est pas drôle. L'application de la loi des grands nombres implique que si un chiffre est en retard il va se rattraper.
Il me parait beaucoup plus important de tester si un générateur est satisfaisant ou pas. Pour ça, il faut comprendre un minimum ce que représente la théorie des probabilités.
Le premier point : le postulat de la moyenne. Sylviel m'a encore précisé qu'il ne le connaissait pas, donc que c'est une invention de ma part.
La loi des grands nombres. Tout le monde est d'accord qu'elle existe, mais GBZM vient de "démontrer" avec le plus grand sérieux que c'est pas vrai.
alors la loi normale référencée par le TCL, on est loin d'y arriver. Je rappellerai au passage que Kolmogorov de limite à l'inégalité de Bienaymé, alors pourquoi parle-t-on d'intervalle de confiance ? d'où ça sort si on ne s'intéresse qu'aux axiomes de K. ?

Tien, Gbzm a réagi.
D'une part il y a la loi des grands nombres, parfaitement connue, démontrée etc.
Je précise son libellé : pour un grand nombre d'expériences la répartition tend vers la probabilité.
Donc, si à un instant donné, le décompte d'une des réalisations est inférieur à la probabilité, cette différence va tendre vers zéro, en d'autres termes cette réalisation va rattraper son retard. Ca c'est juste des mathématiques. Etant donné que l'écart entre une valeur observée et sa valeur probable fluctue dans un intervalle de l'ordre de 2%, il est normal que des simulations produisent des résultats qui peuvent paraitre contraire à cette loi.

Habituellement, on estime que le rôle d'un matheux est de comprendre les bases élémentaires, ses démonstrations, et non pas de trouver des pseudo contre-exemples qui, s'ils étaient valables, détruiraient toute le théorie des probabilités et toutes leurs applications.
Il est, certes, très amusant pour certains matheux de contredire des gens qui se contentent poliment d'expliquer les notions de base, lesquelles permettent de justifier les applications.
Par contre, ces mêmes matheux sont incapables de justifier les formules utilisées. Ils les ont apprises, les tiennent pour justes, mais ne se posent la question de leur justification.
Ce n'est qu'une question d'honnêteté intellectuelle.
Pour être plus clair, si les essais de GBZM étaient mathématiquement valables, alors, fini l'étude de la statistique, puisqu'il n'y aurait plus aucune justification mathématique.

Salut Pierre, je vais un jour arréter de te répondre puisque cela ne sert à rien.
On a débattu longuement de ce sujet donc je ne vais pas recommencer

Ce que montre GBZM est fort heureusement le résultat attendu,
et ne remet absolument pas en cause la loi des grands nombres.
Pourquoi cela ne marche pas comme tu le racontes toi, ben c'est que des fréquences observées sont des fractions et qu'une fraction elle tend vers son théorique en bougeant le numérateur et le dénominateur.
On l'a déjà montré cinquante mille fois:
pile face 50 -50
j'ai un face 47/100 puis re-pas de bol 46/100 puis toujours pas de dépassement des piles avec 49/100
frequence observée =(47+46+49)/300 = 0,473
je me suis rapproché du théorique 0,5 alors meme que je n'avais pas eu de tirage favorables avec plus de face que de pile
bien sur dans la réalité cela sera en moyenne encore plus facile:
47/100 puis 51/100 puis 55/100 puis 48/100 etc...

Pierre commence déjà à raisonner sur les moyennes de fraction et tout ira bien mieux tu verras...

Bonjour Beagle,
Non, je ne souhaite pas reprendre la discussion sur le rattrapage de pile ou face. Je m'intéresse juste à la question de ce prof de seconde et aux réponses qu'il a eues.

Ce prof veut illustrer les lois des probabilités à partir des décimales de pi. Pourquoi pas, ce n'est pas une mauvaise idée sur le principe, mais on ne sait pas les détails de son argumentation.
Là intervient GBZM, fin connaisseur en probabilités, et annonce sans détours que d'abord on ne sait pas si les décimales de pi sont réparties au hasard et uniformément, autrement dit, le support d'expérience n'a aucune valeur, puis il montre avec calculs et courbes que tout ce qu'on dit sur les proba sont faux.
Donc, pour résumer, l'idée de ce prof est mauvaise, et surtout les lois des probabilités ne se vérifient pas.

Alors, je pose personnellement la question : pourquoi on étudie les probabilités (plusieurs réponses sont possibles) ?
A- parce que c'est au programme.
B- parce que les pubs en toute sorte n'arrêtent pas de parler de pourcentage de satisfaction.
C- parce qu'on en avait assez de faire des maths, de la géométrie en particulier et que les probabilités, c'est l'aubaine, soit on étudie des proportions suivant les axiomes de K., soit on applique des formules et ça entraine la mémoire, tous les autre moyens pour l'entrainer ont été supprimés
D-parce qu'on est démocratie, donc on vote et il faut savoir lire les résultats.
E- pour faire le tri entre les professeurs (ceux qui comprennent et les autres).
F- aucune de ces raisons.

Alors je pose la question complémentaire : que doit-on apprendre aux élèves en matière de probabilité ?

PS J'ai oublié de te dire que naturellement tu pouvais te faire aider.

Je continue à lire avec intérêt le sujet sur pi.
GBZM y parle de "stratégie", pourtant, il me semble que M.F. est un forum de mathématiques et non d'apprentissage des jeux. Je ne vois pas très bien ce que vient faire cela quant on parle de maths.
J'ai noté aussi cette phrase amusante : "Pi fait vraiment tout ce qu'il faut pour faire croire qu'il est normal."
M.F. serait-il aussi un forum de sciences occultes ?

Bonjour,
GBZM a fait une nouvelle expérience.
J'aime bien son expression "suite de 3 chiffres". Cela me rappelle un long sujet où il était question [aussi] de stratégie pour gagner.
Bon, moi je me limite aux mathématiques.
J'ai décrit une argumentation concernant la normalité de pi. Comme il n'y a pas eu de réaction je peux supposer qu'elle est acceptable.
Par ailleurs, si on veut démontrer cette normalité, il faudrait commencer par définir ce qu'est la normalité d'une liste. Et là, je ne me souviens pas l'avoir lue dans les très nombreux échanges sur les forums.
Mais en fait, je suis entrain de réaliser que les contradicteurs sur ce sujet n'ont pas une idée très précise de cette notion, ou pas d'idée du tout.

Que GBZM cherche-t-il à montrer ? a mon avis, à part les formules qu'il faut apprendre, tout simplement que la théorie des probabilités n'est qu'une théorie parmi d'autres et qu'elle ne repose sur rien.

Revenons à cette "suite de 3 chiffres". En bon langage mathématique, ça s'appelle "numération en base 1000". Moi, je me suis limité à la base 100, c'est déjà pas mal.
Je ne sais pas ce qu'il mijote avec cette phrase " Le nombre d'occurrences ne suit donc pas une loi binomiale, et la loi suivie par le nombre d'occurrences dépend de la forme de la chaîne : il faut distinguer les cas , et les autres cas. Je reviendrai plus en détail sur ce point.", mais ça ne me fait présager rien de bon.

Moi je ne peux pas agir sur M.F., mais j'ai le droit de réagir sur ce forum.

GBZM a écrit:Voyons maintenant la moyenne et la variance :

Code: Tout sélectionner

Code:

moyenne=sum(occ for occ in Lbase3)/len(Lbase3)
print("la moyenne est {:0,.1f}".format(moyenne))
variance=sum((occ-333.333)**2 for occ in Lbase3)/len(Lbase3)
print("la variance est {:0,.1f}".format(variance))

la moyenne est 333.3
la variance est 332.7

Waouh !

PS. Si vous vous ennuyez en ces temps de confinement, vous pouvez toujours jeter un oeil sur ce fil. Ça vaut son pesant de moutarde. Dommage, Dlzlogic a effacé sa "démonstration" du fait que pi est normal.

Il aurait été intéressant que l'auteur de cette simulation soit plus détaillé. Il semble que la moyenne soit effectivement la valeur attendue. La variance est notée 332.7, c'est un nombre au carré. Il est beaucoup plus pratique d'observer des nombres comparable, en l'occurrence l'écart-type.
... en relisant le premier paragraphe, les valeur prévisibles sont effectivement données.
Donc, la conclusion qu'on croit comprendre est celle-ci : les valeurs de moyenne et de variance obtenues sont conformes aux valeurs prévisibles avec la loi binomiale, donc les décimales de pi suivent la loi binomiale et non la loi normale.
C'est la conclusion de GBZM que je crois comprendre. Merci de m'indiquer si je me suis trompé dans mon interprétation.

Pour mémoire, je n'ai pas effacé ma "démonstration" de la normalité des décimales de pi, c'est peut-être dans un autre fil.

Bonjour,
Réf. : https://www.maths-forum.com/superieur/probabilite-statistique-t218303.html
Ce coup ci, c'est Ben314 qui nous fait une belle démonstration.
La loi des grands nombres attend un grand nombre, en l'occurrence 1 000 000 000 pour agir. Mais elle se garderait bien de "rattraper" le retard qu'elle a mis bien longtemps à constater. Bon évidemment c'est comique, mais il semble que les matheux, actuellement, préfèrent ce genre d'argument plutôt que le rigueur mathématique.
Pour mémoire, je rappelle un autre argument "solide et incontestable" : comme le nombre de tirage peut être impair, c'est faux de dire que la proportions de P/F tend vers 50%-50%. Un autre argument : "d'accord P tend vers F, on peut dire aussi que P/F tend vers 1, mais il est faux que |P/F| tende vers 0". Bref, on s'amuse.
Comme le jeu de pile ou face peut avoir un sous-entendu "jeu d'argent", des profs astucieux ont imaginé la "marche aléatoire", c'est "politiquement correct", ça permet d'oublier que c'est Bernoulli qui a établi cette théorie, c'est dans 4 directions, mais les "petits matheux" n'ont rien compris.

Apparemment ce que Ben314 ne sait pas, c'est que sur 1 000 000 000, le nombre de fois ou P=F est très grand. Son "noyée dans la masse" tient de la méthode Coué.

Bah Ben314 a raison c'est noyé et le fait que des retours au zéro se soient déjà produits plusieurs fois ne fait pas tendre le F-P vers zero,
donc oui il ya une différence entre le F/(P+F) qui tend réellement vers 1/2 et on voit tres bien avec les fractions ce que veut dire noyer:
6 face pour 4 piles en 10 lancers
F/(F+P) = 6/10=0,6
versus arrivé à 10 000 tirages F-P= 200 ; F=5100 P=4900
F/(F+P)= 5100/10 000 = 0,51 voilà 200 est bien noyé versus 10 000

alors que le F-P ne tend absolument pas vers zero il se ballade dans la zone du zéro avec des forces qui le maintiennent plutôt là où on l'a déjà vu passer  (qs les coefs binomiaux plus nombreux à la moyenne…), puisque chaque visite du F-P est un nouveau zero ...

Bonjour Beagle,
Ce que l'élève comprend en lisant le message de Ben314, c'est que cette différence P-F gardera le même signe tout au long de l'expérience et qu'au bout de 1 000 000 000 de jets, cette différence sera imperceptible, puisque noyée dans l'ensemble, ce qui est faux.
Il y a eu un énoncé intéressant. En gros "démontrer que si p n'est pas égale à 1/2, alors la différence P-F diverge". Cela sous-entend que si p=1/2 alors la différence P-F ne diverge pas, donc converge. Ce qui est tout à fait exacte. Et si c'était faux, l'étude des statistiques n'aurait aucun sens.

sinus x c'est un truc qui soit diverge soit converge?
vers quelle valeur?

En maths, il ne suffit pas d'affirmer, il vaut mieux démontrer, voire vérifier.
La démonstration, c'est la loi des grands nombres. Il ne suffit pas d'interpréter à sa façon le résultat, il faut en comprendre la démonstration.
Si tu ne veux pas aller jusque là, la vérification est aussi un bon moyen de s'en persuader. Là, pour se mettre d'accord, je ne pense pas qu'on puisse faire autrement que demander à celui qui n'est pas d'accord de proposer un protocole de simulation.
Là, c'est vrai qu'il y a aussi des problèmes. J'ai souvent demandé à Sylviel de proposer un protocole. Il m'a répondu que je n'avais qu'à lui indiquer quelle loi de probabilité il devait utiliser. Pas de réponse.
Il y a quelques temps, un prof cherchait un fichier de statistique pour montrer à ses élèves une jolie courbe de Gauss. Alors Sylviel lui a indiqué un fichier en ajoutant qu'il était important de montrer aux élèves qu'il n'y avait pas que la loi normale. Manque de chance pour Sylviel, ce fichier permet de vérifier le bien-fondé des probabilités et des lois qui sont à utiliser. Pas eu de suite. D'ailleurs au passage, sous réserve que ce fichier est authentique, et il semble que c'est vrai, en 54 ans, la température, à cet endroit, a augment de 2°F soit à peu près de 1.2° Celsius.

Je connais une application de sinus : les vagues, marées etc. Il me semble que le niveau des mers, en tout cas sur une période assez courte, est assez stable. On s'en est même servi pour fixer le niveau zéro de référence pour le nivellement général de la France.
Evidemment, si tu es un petit insecte qu'on appelle un éphémère, alors tu ne peux pas savoir. 
Cette réponse te convient-elle ?

le F-P , ben sa courbe c'est un peu comme une sinusoide ouverte, tout point sur lequel on tombe est un nouveau zero et a partir duquel on pourra voir une oscillation,
bref le zero de départ n'a pas plus d'importance que n'importe quel point acquis,...
si tu ne veux pas le comprendre il n' ya aucune obligation.