D900 : la grosse surprise linéaire

Salut,


https://artofproblemsolving.com/community/c7h3354241_d900__the_big_surprise_


Bonne recherche.

Bonjour Dattier,

Un petit conseil : évitez les titres grandiloquents.
En effet :
1°) Ce qui est une surprise pour vous ne l'est pas pour les personnes qui connaissent bien l'algèbre linéaire.
2°) Les conditions inutiles que vous imposez (dimension paire, endomorphisme non inversible) montrent que vous ne prenez pas les choses par le bon bout.
Vous avez déjà eu une réponse. Une autre.
Par dualité, il suffit de montrer que tout endomorphisme d'espace vectoriel réel de dimension finie au moins 2 a un plan stable. Si l'endomorphisme u n'est pas une homothétie (auquel cas tout sous-espace est stable), son polynôme minimal a un diviseur P de degré 2, puisqu'on est sur R. Soit x un vecteur dont le polynôme minimal est P, alors < x, u(x) > est un plan stable.