Rattrapages de pile ou face

Dattier, je pourrai répondre sur ton protocole quand tu l'auras formulé clairement. Ce n'est pas le cas pour le moment.

PS. Le protocole formulé par Ltav dans le premier message de ce fil est clair, au moins, contrairement au tien. Et il permet de donner une réponse claire : le nombre de paris gagnés du joueur avisé au bout de N tirages suit une loi binomiale de paramètres N et 1/2.  Sous l'hypothèse de modélisation que j'ai formulée clairement. Attendons voir  si Ltav refuse lui aussi cette hypothèse.

GBZM a écrit:Pourrais-tu être sérieux ?

Pourquoi, ta modélisation serait meilleur que la mienne ?

Merci de justifier par des arguments et non des affirmation peremptoires.

GBZM a écrit:Dattier, je pourrai répondre sur ton protocole quand tu l'auras formulé clairement. Ce n'est pas le cas pour le moment.

Quelle est la partie que tu ne comprends pas ?

Peux-tu spécifier clairement ta modélisation ? Je t'ai posé des questions à son sujet, tu n'as pas daigné répondre.

Je ne comprends rien à ton protocole. Tu dis que D double la mise à chaque fois. G ne fait pas pareil ? Quelle est la différence entre les deux ? Au moins, avec ce qu'écrivait Ltav dans son premier message, on pouvait comprendre. Avec toi, désolé, ce n'est pas le cas.
Mais si tu ne veux pas éclaircir, ce n'est pas grave. Si tu ne veux pas éclaircir ta modélisation, ce n'est pas grave non plus. J'ignorerai dorénavant tes interventions.

Dattier a écrit:Autrement dit je pense qu'un tirage sans remise (TSR) modélise mieux un pile ou face, d'autant avec qu'un TSR on peut simuler Bernouilli, en faisant un nombre de tirage négligeable devant le nombre de boule totale.

Qu'en penses-tu ?

Non mais ça c'est champion du monde.
Le tirage sans remise est celui qu'il faut adopter, surtout si on l'utilise de façon que le sans remise ne joue pas sur les probas.
Ah la vache.

Le mérite de dattier c'est qu'il a compris ce que faisait Pierre (qui s'en défend d'ailleurs)
du sans remise.
sauf que à justifier ensuite c'est assez tordant.

on utilise du sans remise, mais pour ne pas modifier les probas il faut que le sans remise soit comme le avec remise.
Ainsi on ne modifie pas les probas.
Puis on s'en sert plus tard, pour montrer le gain obtenu en jouant le retard,
ce qui prouve qu'on a fait du sans remise qui modifie les probas.

Non mais il y avait l''equipe Bourbaki,
et maintenant on a l'équipe regroupé autour de Pierre le théoricien , avec Dattier l'inventif et Ltav qui rédige mathématiquement pour les publications.

Bonjour,
Je vais essayer de répondre à GBZM.
"T_n est une variable de Bernoulli de paramètre 1/2, indépendante de T_1,...,T_{n-1}, P_1,....,P_n".
Oui, T est une variable de Bernoulli qui peut prendre les valeurs 0 et 1 avec une probabilité de 50%.
Je rappelle qu'une variable aléatoire est une fonction qui renvoie des valeurs conformément à la définition de cette fonction et chaque fois qu'on l'appelle.
Si on nomme T la variable aléatoire, alors les valeurs t1, t2, ... tn sont, par définition, indépendantes entre elles et répondent à la loi de probabilité qui est 1/2. La fonction ainsi définie ne tient pas de comptabilité sur les valeurs qu'elle a produites.
Il y a la loi des grands nombres qui dit que lors d'une expérience aléatoire, la fréquence des résultats tend vers la probabilité.

Lorsqu'on joue à pile ou face, on peut observer l'évolution de l'écart entre pile et face. La probabilité étant 50%-50% à chaque instant, sauf si cet écart est nul, le score P sera supérieur au score F, ou l'inverse. Comme on sait que la fréquence tend vers la probabilité, alors, il est certain que les scores vont tendre chacun vers 50%.

J'ai souvent évoqué cette ambiguïté entre "variable aléatoire" qui est une fonction, et les valeurs renvoyées qui dépendent de la loi de la fonction. Cette distinction est très claire dans certains cours bien écrits. Les valeurs renvoyées sont naturellement (ie par nature) indépendantes les une des autres.  
Je remarque au passage que GBZM nous a produit une très jolie courbe de Gauss. Mais c'est une autre histoire. On pourra en reparles à l'occasion de fichier de températures signalé par Sylviel.

La variable aléatoire T_n est une fonction, oui.
Une fonction de quoi dans quoi ? Une chose est claire : elle arrive dans l'ensemble {0,1}.
D'où part-elle ? De l'espace probabilisé Omega (l'univers) qui est l'ensemble de toutes les suites possibles de paris et de tirages, autrement dit l'ensemble de toutes les histoires possibles.
Soit S une telle suite, un élément de Omega.
La variable aléatoire T_4 associe à S, le résultat du 4ème tirage, qui est entièrement déterminé par S (en gros, S est toute l'histoire et T_4 extrait de cette histoire juste un élément : le résultat du 4-ème tirage)
La variable aléatoire T_7 est une autre fonction : à S, elle associe le résultat du 7-ème tirage dans l'histoire complète racontée par S.

La probabilité de T_7=0, c'est la mesure de probabilité dans l'espace probabilisé Omega de l'ensemble de toutes les suites S telles que T_7(S)=0.

Dlzlogic, si tu veux des explications pour comprendre le formalisme probabiliste que j'utilise et qui est celui que l'on trouve dans tous les cours de proba, tu devrais demander à Ltav. Il a suivi des études doctorales de proba, il est donc parfaitement à l'aise avec ce formalisme et comprend parfaitement la question telle que je l'ai formulée.
Je sais bien que de mon côté, il est parfaitement inutile que je continue de t'expliquer quoi que ce soit.

La variable aléatoire T_n est une fonction, oui.
Une fonction de quoi dans quoi ? Une chose est claire : elle arrive dans l'ensemble {0,1}.
D'où part-elle ? De l'espace probabilisé Omega (l'univers) qui est l'ensemble de toutes les suites possibles de paris et de tirages, autrement dit l'ensemble de toutes les histoires possibles.
Soit S une telle suite, un élément de Omega.
La variable aléatoire T_4 associe à S, le résultat du 4ème tirage, qui est entièrement déterminé par S (en gros, S est toute l'histoire et T_4 extrait de cette histoire juste un élément : le résultat du 4-ème tirage)
La variable aléatoire  T_7 est une autre fonction : à S, elle associe le résultat du 7-ème tirage dans l'histoire complète racontée par S.

La probabilité de T_7=0, c'est la  mesure de probabilité dans l'espace probabilisé Omega de l'ensemble de toutes les suites S telles que T_7(S)=0.

Dlzlogic, si tu veux des explications pour comprendre le formalisme probabiliste que j'utilise et qui est celui que l'on trouve dans tous les cours de proba, tu devrais demander à Ltav. Il a suivi des études doctorales de proba, il est donc parfaitement à l'aise avec ce formalisme et comprend parfaitement la question telle que je l'ai formulée. Elle est très simple, il peut y donner une réponse très simple, sauf s'il veut esquiver.
Je sais bien que de mon côté, il est parfaitement inutile que je continue de t'expliquer (à toi, Dlz) quoi que ce soit.

Dlzlogic a écrit:"T_n est une variable de Bernoulli de paramètre 1/2, indépendante de T_1,...,T_{n-1}, P_1,....,P_n".
Oui, T est une variable de Bernoulli qui peut prendre les valeurs 0 et 1 avec une probabilité de 50%.
Je rappelle qu'une variable aléatoire est une fonction qui renvoie des valeurs conformément à la définition de cette fonction et chaque fois qu'on l'appelle.
Si on nomme T la variable aléatoire, alors les valeurs t1, t2, ... tn sont, par définition, indépendantes entre elles et répondent à la loi de probabilité qui est 1/2. La fonction ainsi définie ne tient pas de comptabilité sur les valeurs qu'elle a produites.
Il y a la loi des grands nombres qui dit que lors d'une expérience aléatoire, la fréquence des résultats tend vers la probabilité.

Jusque là  , oui , 100% exact.  La ligne sur le fait que c'est une fonction... peu d'intérêt pour notre histoire, mais laissons là.

A un moment , après 100 tirages,  Pile est en retard, on a 46P contre 54F
On fait 900 tirages supplémentaires, on arrive à 490P contre 510F,   la proportion de P est passé de 46% à 49%   on est donc parfaitement aligné avec ce que tu dis. on tend vers 50%.
Et pourtant, sur cette série de 900 tirages, on a eu plus de F que de P.

La loi des grands nombres dit que la fréquence tend vers la probabilité. OUI. 100 fois OUI. Mais faut pas lui faire dire ce qu'elle ne dit pas. Elle ne dit pas qu'il y aura plus de Piles que de Faces sur les tirages à venir, même si Pile est très en retard. Et toi, tu lui fais dire qu'il y aura plus de P que de F, tout simplement parce que actuellement P est en retard.

Errare humanum est, perseverare diabolicum.

Bon, je comprends bien que tu renonces à expliquer que ce soit et tu n'as comme argument, "moi je sais".
Quand tu utilises Tn, cela signifie qu'il y a plusieurs variables aléatoires, indépendantes ou non. Chacune de ces fonctions vont renvoyer des valeurs. J'avais pris un fois l'exemple du tir sur cible. Il y a un très grand nombre de variables aléatoires, indépendantes ou non, par exemple, le vent, le projectile, la nature du sol, la boisson absorbée par le tireur etc. Ca c'est le cas général.
Dans le cas présent il y a un seul jeu, une seule pièce et une suite de résultats. Donc un seul T et plusieurs ti (t1, t2, ... tn).
De toute façon, quelque soient les termes employés, le résultat est le même. L'expérience consiste en un lancé de pièce à pile ou face. On note au fur et à mesure les résultats et on observe les écarts. Il y a une seule variable aléatoire qui produit plusieurs résultats. La loi sui s'applique est la loi des grands nombres.

mmaarr a écrit:A un moment , après 100 tirages,  Pile est en retard, on a 46P contre 54F
On fait 900 tirages supplémentaires, on arrive à 490P contre 510F,   la proportion de P est passé de 46% à 49%   on est donc parfaitement aligné avec ce que tu dis. on tend vers 50%.
Et pourtant, sur cette série de 900 tirages, on a eu plus de F que de P.

J'ai bien compris que tu cherches des arguments pour "prouver" que j'ai tort. C'est une technique souvent employée : les fameux contre-exemples.
Dans le cas présent, tu cherches à opposer un écart absolu à un écart relatif. Pour moi, c'est sans objet, puisque la seule chose qui nous intéresse, c'est le signe de l'écart. Il est favorable à P ou favorable à F.
L'étude du type, relatif ou absolu, serait intéressant pour étudier la vitesse de convergence, c'est à dire dans le présent la vitesse de retour à l'équilibre.
En fait, c'est là que pourrait intervenir le calcul de l'écart-type. On sait que un écart a une probabilité de 66% d'être inférieur à un écart-type, 95% d'être inférieur à 2 écart-type, mais c'est un autre problème. Pour l'instant, on ne s'intéresse qu'au signe de l'écart.
Donc, tes questions concernant le type absolu ou relatif ne sont qu'une tentative de faire dévier le sujet.

Dlzlogic a écrit:La loi sui s'applique est la loi des grands nombres.

Quand on a découvert la loi des grands nombres, est-ce qu'on a dit : ' La loi binomiale est fausse, la vraie loi, la seule, c'est la loi des grands nombres. "
Non, il me semble qu'aucun mathématicien sérieux n'a dit ça.
Donc Les 2 lois sont tout aussi valides l'une que l'autre.
Je suis joueur, je sais que sur les 100 tirages passés, il y a eu 46P et 54F , je veux jouer, et je sais que je vais jouer 100 parties. 100 parties maximum si tu préfères. Je ne veux pas t'imposer un cadre.
J'ai 2 théories à ma disposition, 2 théories validées et confirmées par les plus grands mathématiciens, la loi binomiale, et la loi des grands nombres.
La loi binomiale me dit ce qui se passe si on fait un nombre limité de tirages.
La loi des grands nombres me dit ce qui se passe si on fait un nombre très grand de tirages, elle me dit la limite de la loi binomiale quand on a énormément de tirages. Je peux appliquer l'une ou l'autre, elles vont forcément me dire la même chose. La loi binomiale, elle me dit que jouer P ou F, c'est strictement équivalent. La loi binomiale, toi et moi, on arrive à la comprendre, et on comprend la même chose. Elle nous dit que pour un nombre limité de tirages ( 100, 1000 , 10000 ...), jouer P ou F, c'est identique.
Je ne vois pas pourquoi ni comment la loi des grands nombres dirait le contraire de la loi binomiale.

La loi des Grands nombres dit qu'en proportion, P et F vont se rééquilibrer. Effectivement, si je fais les calculs avec la loi binomiale, ça me confirme que les proportions entre P et F vont se rapprocher de 50%.
La loi des Grands nombres ne dit pas qu'on aura plus de P que de F, la loi binomiale non plus ... Ce que tu appliques n'est conforme à aucune des 2 lois connues.
Alors que ce que je dis est conforme à ces 2 lois.

Errare humanum ... ...

La loi binomiale et la loi des grands nombres ne s'opposent. Si elles s'opposaient, alors ce serait ce que les matheux aiment bien : "ça dépend" ou "c'est comme on veut" ou "il manque une information".
La loi binomiale décrit comment on fait, la loi des grands décrit une caractéristique du résultat obtenu.
Exemple : tu lances un bâton en l'air selon les paramètres "force, direction, vent etc.". Il retombe selon la loi de la gravité, suivant une certaine direction définie en particulier par l'équation de la parabole etc.

La loi binomiale et la loi des grands nombres ne s'opposent pas. Bien. On est 100% d'accord.
J'ai une situation, il y a eu moins de Pile que de Face. Pile est en retard. Je veux parier sur les 100 lancers à venir.
Et la loi binomiale, elle dit : Tu peux parier sur Pile ou sur Face, ça ne changera rien, parie au hasard.
Il me semble qu'on est d'accord là-dessus , la loi binomiale dit qu'on peut parier au hasard, et que parier sur le retard n'apporte rien. Pour une série de 100 lancers, il y a 2^100 chaines possibles, et ces 2^100 chaines sont équiprobables.

Pourquoi la loi des grands nombres dirait-elle le contraire, alors qu'on sait que ces 2 lois ne s'opposent pas ?

Pour les personnes qui trouvent qu'un histogramme n'apporte pas une information suffisante.

J'ai fait jouer 1000 parties à 5000 tirages au jouer avisé suivant la 2ème stratégie (voir premier message de ce fil)  avec r=20. Voici les résultats (chacun des 1000 nombres est le nombre de paris gagnés par le joueur avisé sur les 5000 tirages :

Code:

[2511, 2503, 2485, 2518, 2513, 2562, 2481, 2568, 2562, 2495, 2459, 2504, 2529, 2532, 2483, 2484, 2464, 2554, 2429, 2554, 2553, 2537, 2477, 2543, 2440, 2480, 2537, 2486, 2515, 2441, 2463, 2450, 2526, 2475, 2499, 2486, 2438, 2483, 2492, 2450, 2456, 2541, 2510, 2446, 2510, 2492, 2507, 2517, 2508, 2504, 2510, 2474, 2495, 2479, 2491, 2444, 2456, 2457, 2481, 2528, 2485, 2556, 2444, 2526, 2557, 2478, 2464, 2549, 2437, 2550, 2547, 2470, 2496, 2459, 2519, 2403, 2482, 2491, 2395, 2567, 2468, 2524, 2481, 2526, 2515, 2479, 2524, 2505, 2520, 2512, 2551, 2430, 2491, 2469, 2476, 2448, 2453, 2477, 2488, 2498, 2496, 2599, 2460, 2548, 2503, 2415, 2547, 2482, 2497, 2520, 2481, 2424, 2479, 2483, 2548, 2488, 2478, 2583, 2493, 2522, 2480, 2473, 2593, 2563, 2489, 2500, 2493, 2543, 2529, 2474, 2571, 2448, 2513, 2516, 2457, 2463, 2502, 2487, 2468, 2480, 2543, 2543, 2472, 2536, 2443, 2495, 2517, 2510, 2484, 2443, 2537, 2489, 2466, 2468, 2522, 2524, 2480, 2517, 2451, 2514, 2482, 2510, 2560, 2543, 2495, 2472, 2471, 2518, 2452, 2505, 2508, 2446, 2486, 2492, 2532, 2496, 2504, 2526, 2538, 2485, 2472, 2484, 2529, 2479, 2577, 2522, 2475, 2528, 2472, 2444, 2563, 2489, 2504, 2497, 2466, 2463, 2468, 2510, 2530, 2581, 2533, 2566, 2490, 2490, 2515, 2557, 2488, 2451, 2535, 2500, 2569, 2512, 2478, 2477, 2520, 2537, 2527, 2466, 2613, 2552, 2491, 2469, 2550, 2547, 2501, 2499, 2459, 2472, 2540, 2501, 2447, 2493, 2514, 2489, 2475, 2510, 2508, 2479, 2485, 2497, 2475, 2490, 2475, 2481, 2549, 2499, 2494, 2485, 2478, 2476, 2463, 2554, 2490, 2428, 2447, 2493, 2455, 2468, 2523, 2483, 2510, 2497, 2486, 2454, 2540, 2461, 2540, 2515, 2430, 2529, 2584, 2457, 2501, 2525, 2473, 2473, 2480, 2545, 2430, 2480, 2546, 2540, 2455, 2483, 2504, 2480, 2489, 2544, 2517, 2506, 2529, 2459, 2509, 2474, 2491, 2508, 2560, 2502, 2510, 2552, 2494, 2531, 2479, 2483, 2505, 2434, 2554, 2522, 2497, 2452, 2496, 2509, 2486, 2472, 2508, 2471, 2500, 2466, 2555, 2498, 2473, 2496, 2488, 2588, 2475, 2524, 2480, 2524, 2553, 2449, 2517, 2544, 2532, 2489, 2478, 2486, 2563, 2524, 2495, 2498, 2539, 2519, 2441, 2502, 2459, 2480, 2454, 2515, 2495, 2496, 2499, 2508, 2483, 2503, 2550, 2416, 2484, 2532, 2486, 2467, 2564, 2469, 2535, 2566, 2495, 2566, 2496, 2551, 2513, 2541, 2457, 2493, 2487, 2468, 2452, 2525, 2534, 2504, 2495, 2474, 2458, 2459, 2452, 2506, 2448, 2530, 2571, 2541, 2521, 2566, 2490, 2522, 2494, 2461, 2490, 2526, 2545, 2507, 2483, 2485, 2475, 2479, 2492, 2515, 2518, 2489, 2535, 2434, 2512, 2495, 2527, 2460, 2468, 2509, 2542, 2458, 2547, 2547, 2478, 2463, 2510, 2530, 2524, 2501, 2491, 2462, 2489, 2535, 2547, 2517, 2508, 2463, 2514, 2447, 2547, 2487, 2477, 2559, 2474, 2536, 2451, 2492, 2504, 2440, 2486, 2423, 2481, 2567, 2524, 2468, 2457, 2521, 2533, 2524, 2436, 2480, 2541, 2485, 2512, 2502, 2445, 2480, 2494, 2503, 2487, 2569, 2411, 2464, 2500, 2505, 2520, 2484, 2468, 2499, 2458, 2473, 2449, 2550, 2448, 2524, 2480, 2552, 2470, 2510, 2519, 2528, 2491, 2481, 2542, 2497, 2500, 2469, 2501, 2520, 2473, 2528, 2494, 2576, 2560, 2512, 2514, 2504, 2513, 2541, 2547, 2505, 2471, 2489, 2466, 2501, 2501, 2513, 2438, 2550, 2564, 2501, 2511, 2568, 2532, 2517, 2473, 2468, 2570, 2554, 2522, 2469, 2505, 2443, 2521, 2553, 2516, 2537, 2580, 2470, 2436, 2529, 2513, 2481, 2510, 2486, 2520, 2513, 2546, 2521, 2508, 2504, 2445, 2548, 2519, 2472, 2480, 2416, 2474, 2479, 2511, 2499, 2518, 2504, 2495, 2517, 2501, 2570, 2510, 2522, 2530, 2459, 2443, 2538, 2576, 2477, 2504, 2492, 2549, 2487, 2497, 2524, 2523, 2457, 2533, 2460, 2518, 2491, 2486, 2507, 2434, 2448, 2489, 2524, 2555, 2518, 2507, 2483, 2575, 2494, 2469, 2405, 2513, 2530, 2429, 2550, 2465, 2518, 2464, 2472, 2518, 2526, 2488, 2501, 2479, 2577, 2489, 2502, 2504, 2472, 2576, 2517, 2527, 2500, 2472, 2525, 2495, 2481, 2469, 2463, 2540, 2458, 2438, 2459, 2476, 2529, 2501, 2532, 2415, 2514, 2539, 2481, 2550, 2509, 2437, 2487, 2525, 2525, 2478, 2538, 2485, 2503, 2504, 2512, 2528, 2470, 2468, 2509, 2400, 2487, 2506, 2429, 2499, 2469, 2522, 2511, 2528, 2498, 2510, 2476, 2565, 2512, 2492, 2565, 2500, 2501, 2460, 2424, 2518, 2485, 2457, 2491, 2428, 2543, 2528, 2439, 2525, 2500, 2530, 2430, 2521, 2482, 2480, 2486, 2492, 2491, 2430, 2527, 2432, 2507, 2555, 2458, 2488, 2524, 2516, 2429, 2489, 2413, 2578, 2403, 2528, 2503, 2425, 2507, 2554, 2530, 2504, 2494, 2487, 2483, 2454, 2497, 2543, 2464, 2487, 2509, 2515, 2488, 2488, 2523, 2483, 2518, 2470, 2387, 2488, 2493, 2586, 2560, 2546, 2519, 2428, 2487, 2472, 2495, 2503, 2499, 2473, 2508, 2445, 2531, 2471, 2549, 2488, 2460, 2594, 2475, 2471, 2459, 2534, 2515, 2565, 2512, 2537, 2520, 2479, 2428, 2490, 2471, 2531, 2504, 2531, 2519, 2565, 2519, 2513, 2474, 2517, 2475, 2539, 2455, 2503, 2457, 2450, 2496, 2458, 2487, 2547, 2480, 2493, 2502, 2488, 2412, 2467, 2464, 2490, 2535, 2469, 2520, 2505, 2596, 2512, 2467, 2421, 2406, 2523, 2562, 2542, 2490, 2542, 2473, 2488, 2576, 2505, 2522, 2526, 2484, 2517, 2532, 2510, 2571, 2520, 2514, 2479, 2450, 2481, 2574, 2449, 2490, 2508, 2480, 2550, 2485, 2489, 2439, 2450, 2525, 2539, 2403, 2522, 2486, 2513, 2559, 2485, 2496, 2503, 2504, 2527, 2506, 2547, 2479, 2480, 2455, 2504, 2501, 2514, 2496, 2470, 2515, 2523, 2504, 2523, 2475, 2489, 2509, 2537, 2493, 2493, 2478, 2513, 2471, 2513, 2515, 2505, 2506, 2511, 2485, 2493, 2515, 2458, 2461, 2515, 2516, 2463, 2428, 2492, 2487, 2441, 2490, 2475, 2520, 2466, 2513, 2489, 2481, 2420, 2474, 2451, 2510, 2450, 2471, 2496, 2532, 2515, 2519, 2564, 2509, 2517, 2459, 2534, 2464, 2527, 2440, 2515, 2444, 2472, 2557, 2487, 2530, 2439, 2472, 2458, 2476, 2438, 2432, 2480, 2585, 2514, 2496, 2505, 2447, 2445, 2468, 2450, 2508, 2467, 2483, 2541, 2518, 2498, 2475, 2505, 2470, 2498, 2491, 2530, 2460, 2536, 2496, 2481, 2449, 2448, 2499, 2483, 2501, 2513, 2538, 2529, 2428, 2447, 2457, 2480, 2520, 2442, 2562, 2515, 2480, 2487, 2459, 2544, 2504, 2549, 2486, 2512, 2435, 2482, 2527, 2484, 2519, 2477, 2510, 2479, 2474, 2448, 2535, 2523, 2529, 2475, 2498, 2485, 2486, 2492, 2488, 2536, 2470, 2449, 2501, 2499, 2474, 2498, 2445, 2501, 2432, 2538, 2512, 2529, 2524]

Puis, toujours 1000 parties à 5000 tirages avec cette fois r=5

Code:

[2550, 2487, 2554, 2500, 2511, 2480, 2489, 2552, 2478, 2507, 2468, 2536, 2480, 2521, 2541, 2489, 2522, 2518, 2454, 2468, 2436, 2542, 2529, 2495, 2507, 2543, 2531, 2504, 2491, 2514, 2519, 2485, 2444, 2506, 2467, 2563, 2481, 2459, 2536, 2502, 2523, 2464, 2560, 2491, 2514, 2510, 2509, 2557, 2506, 2465, 2477, 2454, 2514, 2541, 2529, 2499, 2532, 2546, 2507, 2540, 2515, 2546, 2513, 2447, 2489, 2494, 2464, 2544, 2432, 2477, 2613, 2564, 2484, 2537, 2458, 2542, 2510, 2519, 2495, 2526, 2484, 2478, 2518, 2520, 2476, 2539, 2465, 2466, 2503, 2452, 2534, 2506, 2520, 2490, 2521, 2550, 2515, 2515, 2486, 2543, 2489, 2489, 2483, 2527, 2510, 2500, 2427, 2495, 2482, 2531, 2446, 2497, 2473, 2570, 2475, 2520, 2590, 2508, 2449, 2536, 2478, 2510, 2532, 2505, 2534, 2515, 2529, 2480, 2482, 2522, 2524, 2467, 2503, 2488, 2462, 2507, 2472, 2510, 2462, 2472, 2497, 2515, 2473, 2440, 2491, 2496, 2526, 2484, 2542, 2548, 2550, 2487, 2520, 2431, 2503, 2492, 2538, 2525, 2553, 2459, 2445, 2427, 2479, 2516, 2507, 2489, 2534, 2486, 2465, 2487, 2433, 2430, 2550, 2528, 2454, 2546, 2516, 2573, 2508, 2427, 2507, 2442, 2531, 2478, 2503, 2466, 2542, 2536, 2484, 2518, 2492, 2493, 2515, 2494, 2548, 2419, 2467, 2484, 2567, 2571, 2501, 2500, 2541, 2505, 2519, 2508, 2467, 2537, 2476, 2472, 2491, 2535, 2530, 2527, 2444, 2538, 2479, 2546, 2460, 2499, 2498, 2529, 2486, 2567, 2446, 2544, 2447, 2497, 2485, 2467, 2450, 2497, 2490, 2383, 2452, 2494, 2524, 2520, 2440, 2548, 2485, 2440, 2510, 2441, 2498, 2454, 2466, 2520, 2462, 2541, 2555, 2552, 2493, 2465, 2543, 2489, 2479, 2496, 2456, 2491, 2471, 2455, 2464, 2543, 2499, 2500, 2542, 2525, 2464, 2507, 2443, 2513, 2495, 2530, 2513, 2420, 2521, 2501, 2420, 2448, 2454, 2514, 2492, 2546, 2517, 2520, 2560, 2511, 2483, 2470, 2507, 2460, 2496, 2511, 2481, 2518, 2456, 2525, 2481, 2525, 2439, 2496, 2449, 2467, 2497, 2492, 2500, 2606, 2471, 2452, 2536, 2494, 2584, 2472, 2484, 2508, 2500, 2506, 2460, 2490, 2551, 2483, 2459, 2564, 2542, 2469, 2538, 2401, 2485, 2546, 2460, 2489, 2492, 2542, 2519, 2538, 2453, 2481, 2502, 2566, 2552, 2512, 2511, 2522, 2525, 2500, 2510, 2488, 2507, 2461, 2497, 2521, 2483, 2498, 2510, 2487, 2539, 2525, 2482, 2521, 2521, 2512, 2480, 2518, 2538, 2489, 2522, 2502, 2547, 2500, 2513, 2551, 2538, 2509, 2540, 2502, 2492, 2494, 2495, 2461, 2512, 2502, 2498, 2573, 2481, 2575, 2579, 2424, 2484, 2476, 2507, 2495, 2524, 2503, 2532, 2488, 2549, 2543, 2523, 2564, 2592, 2510, 2475, 2526, 2475, 2511, 2519, 2454, 2503, 2544, 2415, 2463, 2498, 2490, 2556, 2451, 2455, 2513, 2491, 2462, 2475, 2488, 2488, 2490, 2540, 2525, 2500, 2510, 2505, 2505, 2502, 2508, 2533, 2457, 2497, 2537, 2472, 2453, 2478, 2516, 2576, 2484, 2505, 2485, 2532, 2407, 2478, 2433, 2430, 2491, 2507, 2515, 2538, 2447, 2460, 2525, 2524, 2516, 2524, 2570, 2491, 2451, 2450, 2484, 2548, 2550, 2535, 2461, 2524, 2474, 2465, 2498, 2536, 2476, 2474, 2502, 2502, 2521, 2529, 2489, 2524, 2543, 2494, 2484, 2550, 2546, 2506, 2517, 2477, 2512, 2528, 2540, 2473, 2531, 2483, 2496, 2557, 2452, 2461, 2493, 2467, 2514, 2477, 2455, 2466, 2501, 2468, 2509, 2504, 2501, 2482, 2445, 2488, 2446, 2476, 2508, 2519, 2499, 2523, 2516, 2497, 2452, 2472, 2564, 2450, 2472, 2441, 2490, 2492, 2423, 2457, 2532, 2535, 2475, 2483, 2508, 2495, 2520, 2513, 2529, 2535, 2492, 2468, 2510, 2498, 2447, 2488, 2550, 2506, 2420, 2524, 2506, 2536, 2548, 2454, 2512, 2493, 2478, 2503, 2480, 2445, 2493, 2464, 2518, 2452, 2514, 2479, 2558, 2461, 2499, 2469, 2512, 2494, 2560, 2475, 2509, 2513, 2548, 2542, 2487, 2503, 2497, 2472, 2509, 2498, 2498, 2479, 2453, 2467, 2465, 2484, 2449, 2478, 2460, 2501, 2499, 2536, 2462, 2492, 2501, 2457, 2479, 2481, 2508, 2532, 2515, 2512, 2462, 2540, 2491, 2452, 2528, 2542, 2460, 2437, 2424, 2515, 2490, 2538, 2509, 2539, 2490, 2533, 2552, 2583, 2508, 2444, 2489, 2529, 2512, 2490, 2497, 2492, 2485, 2496, 2476, 2479, 2515, 2477, 2512, 2473, 2522, 2526, 2522, 2551, 2522, 2490, 2517, 2501, 2503, 2553, 2512, 2450, 2516, 2456, 2506, 2496, 2536, 2516, 2544, 2542, 2510, 2491, 2543, 2517, 2513, 2473, 2496, 2500, 2457, 2487, 2509, 2495, 2553, 2461, 2479, 2518, 2503, 2461, 2546, 2450, 2459, 2524, 2492, 2516, 2474, 2527, 2488, 2521, 2533, 2579, 2501, 2510, 2556, 2510, 2531, 2507, 2535, 2481, 2490, 2542, 2476, 2511, 2450, 2510, 2460, 2493, 2565, 2532, 2470, 2578, 2531, 2474, 2526, 2462, 2496, 2514, 2533, 2461, 2452, 2414, 2470, 2499, 2513, 2519, 2510, 2487, 2471, 2492, 2532, 2433, 2525, 2531, 2394, 2542, 2444, 2538, 2592, 2491, 2545, 2507, 2536, 2501, 2498, 2511, 2526, 2508, 2530, 2489, 2412, 2496, 2520, 2561, 2490, 2518, 2470, 2435, 2394, 2509, 2567, 2538, 2460, 2467, 2438, 2496, 2519, 2507, 2504, 2443, 2494, 2513, 2429, 2500, 2505, 2524, 2496, 2534, 2537, 2549, 2520, 2526, 2494, 2458, 2518, 2551, 2556, 2501, 2444, 2430, 2501, 2462, 2502, 2513, 2452, 2459, 2466, 2531, 2491, 2513, 2474, 2511, 2508, 2472, 2539, 2515, 2511, 2465, 2585, 2446, 2494, 2537, 2470, 2501, 2495, 2498, 2528, 2462, 2502, 2534, 2510, 2445, 2465, 2573, 2510, 2492, 2500, 2591, 2514, 2550, 2476, 2504, 2480, 2522, 2483, 2495, 2493, 2445, 2500, 2506, 2530, 2440, 2468, 2546, 2485, 2441, 2432, 2491, 2550, 2489, 2457, 2512, 2605, 2515, 2449, 2503, 2586, 2507, 2562, 2504, 2451, 2522, 2484, 2513, 2528, 2505, 2518, 2497, 2481, 2494, 2501, 2533, 2505, 2520, 2444, 2484, 2522, 2517, 2504, 2512, 2479, 2472, 2466, 2484, 2504, 2523, 2552, 2522, 2456, 2485, 2460, 2538, 2486, 2518, 2513, 2498, 2479, 2473, 2522, 2504, 2480, 2519, 2538, 2517, 2498, 2512, 2480, 2515, 2453, 2483, 2504, 2502, 2521, 2501, 2469, 2509, 2516, 2560, 2514, 2515, 2527, 2504, 2453, 2485, 2439, 2558, 2433, 2502, 2537, 2531, 2537, 2473, 2534, 2524, 2477, 2602, 2508, 2500, 2530, 2444, 2524, 2475, 2526, 2538, 2415, 2507, 2440, 2554, 2514, 2484, 2518, 2505, 2545, 2479, 2453, 2452, 2505, 2460, 2545, 2428, 2512, 2594, 2521, 2487, 2509, 2499, 2431, 2537, 2506, 2474, 2498, 2531, 2556, 2527, 2463, 2476, 2494, 2470, 2438, 2480, 2511, 2442, 2519, 2507, 2511, 2479, 2474, 2477, 2529, 2520, 2441, 2513, 2500, 2433, 2472, 2490, 2542, 2503, 2496, 2496, 2513]

Le code python qui produit ces listes est celui que j'ai donné plus haut.

Je répondrais quand j aurais un moment.

Bonsoir,

Pardon de mon manque de temps. De mon téléphone, je vais d'abord répondre très clairement et sans ambiguïté à Gbzm, que je tiens à remercier pour son engagement et ses efforts de formalisation.

https://dlz9.forumactif.com/t302p400-rattrapages-de-pile-ou-face#3535

Le réponse est OUI. Je suis d'accord avec ta modélisation, tes variables aléatoires, et tes hypothèses. Maintenant tu vas voir que notre différend n'est pas ici.

A et B jouent chacun un processus aléatoire de type S_N. Jusque là, OK. On devrait donc avoir pour l'espérance de gain total : E[S_N] = N/2.

OK pour cette espérance (correspondant entre autres à celle E_A d'un joueur A jouant au hasard) mais...ce n'est pas l'espérance correspondant à la stratégie de B! C'est la clé pour comprendre tous ces débats. L'espérance de B est conditionnelle et s'écrit, en simplifiant sur un cas particulier :

E_B = E[S_N | {Nr < N0 < N}]

où l'on définit les variables aléatoires :

- Nr : le premier tirage tel que S_Nr = P - F = r et à partir duquel P_{Nr+1} = P_{Nr+2} = ... = P_N0 (à savoir que B parie face dès qu'il y a r pile en "excès" et jusqu'à atteindre le prochain équilibre)

- N0 le premier tirage après Nr tel que S_N0 = P-F = 0.

On a alors en supposant que N ne permette qu'un seul retour à l'équilibre :

E_A = N/2

E_B = (N + r)/2

D'où : E_A < E_B.

On me dira : "mais, le théorème de Doob...?". Sans compliquer les choses avec des histoires de tribus d'événements, de filtrations naturelles, de temps d'arrêt, etc. disons simplement que les variables aléatoires dans la condition de E_B dépendent de la connaissance d'événements futurs quasi-certains et non pas seulement de l'information des tirages passés. Le résultat que l'espérance de gain d'un processus aléatoire reste la même quelque soit la connaissance du passé, ne s'applique plus si intervient une information sur le futur.

La modélisation proposée par Mmaar est donc fausse, il n'y a aucune complicité avec l'arbitre. B ne triche pas, pas plus que A, et le jeu n'est pas truqué : B utilise simplement sa connaissance des lois probabilistes d'événements futurs.

Je détaillerai plus dès que possible. Ce n'est qu'un jet rapide de mon interprétation. Merci de votre indulgence.

Bonne soirée.

Désolé Ltav, mais à partir du moment où tu es d'accord avec mon hypothèse de modélisation, tu ne peux pas faire autrement que de reconnaître que le nombre de paris gagnés pour ton joueur "avisé" en N tirages suit une loi binomiale de paramètres N et 1/2.
Avec les notations que j'ai explicitées :

1°) G_n est une variable de Bernoulli de paramètre 1/2. Tu n'es pas d'accord ???
2°) G_n est est indépendante de G_1,...,G_{n-1} Tu n'es pas d'accord ???
3°) Par conséquent S_N, la somme des G_n pour n allant de 1 à N, suit une loi binomiale de paramètres N et 1/2.Tu n'es pas d'accord ???

Franchement, je m'étonne que quelqu'un qui dit avoir fait une formation doctorale en probas ne voie pas ceci. Punaise, tu as dû oublier beaucoup de choses !

Gbzm, j'ai sûrement oublié des choses, ça c'est certain, mais je t'invite à réfléchir plus profondément sur mon explication ci-dessus, ainsi que sur le point suivant : deux processus aléatoires de même loi peuvent avoir des espérances différentes suivant l'espace sur lequel on les intègre.

Je vais te proposer une autre manière de procéder. Entre le tout premier tirage et l'équilibre N0, le joueur B est quasi-sûr d'avoir r face (vu qu'en Nr il avait un excès de r pile). Donc sur l'intervalle [1, N0], il existe r face dont la probabilité d'obtention est de 1 (donc proba 0 pour pile), tandis que le reste des (N0 - r) tirages a une proba de 1/2 classique pour chaque côté de la pièce. On peut donc aussi modéliser les gain G_n de B par une variable de Bernoulli sur chacun des (N0 - r) tirages, ainsi qu'entre N0 et N (où B rejoue par hasard), mais par une variable pseudo-aléatoire de proba 1 pour face et 0 pour pile sur les r tirages restants.

Bon dimanche, Ltav. As-tu bien dormi ?

Rassure-toi, j'ai bien réfléchi à tes arguments, et il y a une faille irrémédiable dedans. Je t'expliquerai laquelle, mais j'aimerais auparavant qu'on clarifie la situation et que tu répondes aux questions précises que je t'ai posées.

deux processus aléatoires de même loi peuvent avoir des espérances différentes suivant l'espace sur lequel on les intègre.

Ça c'est flou, et si on cherche à préciser en "deux variables aléatoires de même loi peuvent avoir des espérances différentes", c'est manifestement faux !
Une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres N et 1/2 a une espérance N/2. Point barre.

Clarifions. On est d'accord sur l'hypothèse que je rappelle :
Pour tout n, T_n est une variable de Bernoulli de paramètre 1/2, indépendante de T_1,...,T_{n-1}, P_1,....,P_n  (*)
J'affirme que pour toute mesure de probabilité sur Omega (l'univers de toutes les histoires possibles de paris et de tirages), si l'hypothèse ci-dessus est vérifiée pour tout n, alors la variable aléatoire S_N (nombre de paris gagnés par le joueur en N tirages) suit une loi binomiale de paramètres N et 1/2. En conséquence, l'espérance de S_N est N/2.
La stratégie du joueur "avisé" que tu décris donne une mesure de probabilité sur Omega. Tu es d'accord pour dire qu'elle satisfait l'hypothèse (*). Donc tu dois admettre que l'espérance du nombre de paris gagnés par le joueur avisé en N tirages est N/2. Si tu ne l'admets pas, c'est que tu nies une des étapes suivantes du raisonnement (très simple) :

1°) Pour tout n, G_n est une variable de Bernoulli de paramètre 1/2.
2°) Pour tout n, G_n est est indépendante de G_1,...,G_{n-1}.
3°) S_N, la somme des G_n pour n allant de 1 à N, suit une loi binomiale de paramètres N et 1/2.

Dis moi avec laquelle des affirmation ci-dessus tu n'es pas d'accord. Je t'en donnerai alors une preuve complète.
Et, promis, je t'expliquerai où ton argument cloche.

@Dlzlogic :
Tu disais que la loi des grands nombres AFFIRME qu'il y a rattrapage du retard. Pas la peine d'invoquer d'autres théorèmes selon toi.
Ltav dit que l'argument qui permet de conclure, c'est : deux processus aléatoires de même loi peuvent avoir des espérances différentes suivant l'espace sur lequel on les intègre.

Il dit donc que la loi des grands nombres ne suffit pas, il faut en plus ajouter d'autres théorèmes de son cru.

@Dlzlogic, tu confirmes ? Toi aussi, tu penses que c'est cet argument supplémentaire qui justifie que le retard se rattrape ?
Dommage que tu n'aies pas donné cet argument plus tôt ; ça fait 15 ans que tu te bats pour défendre cette théorie, et je ne t'avais jamais vu donner cet argument, qui semble essentiel.

Et donc, à cause de cette propriété que Ltav vient d'exhiber, finalement, la loi des grands nombres et la loi binomiale s'opposent. Et ça avait échappé à Bernoulli.

Bonjour,

Gbzm, merci bon dimanche de même.

On va y venir. Ce à quoi je fais référence est que l'univers Omega de B va "augmenter" en cours de route en Omega', un univers plus "gros" en informations : au tirage n, il ne tient plus compte uniquement des tirages passé T0, T1,..., Tn-1, mais aussi des lois de probabilités, donc en quelque sorte des tirages futurs Tn+1, Tn+2, Tn+3, etc. Ce qui change tout : le joueur B aura toujours a priori une chance sur deux de gagner à chaque tirage, mais son espérance de gain sur le nouvel univers va également changer (*). Considère donc une intégration de l'espérance sur des espaces différents.

Par ailleurs, merci pour tes histogrammes, regroupant beaucoup plus de résultats. Le tout est d'observer si la cloche de Gauss convergée se centre en n/2 ou au moins (n+r)/2 - ce qui pour r=20 et n=5000 fait une différence d'environ 0.4% minimum (si bien sûr n a été pris suffisamment grand par rapport à r).

@Mmmarr: hum non, un coup d'épée dans l'eau. Réfléchis bien, je n'apporte aucun théorème en plus à l'idée que défend Dzl. Lui, pense que la connaissance des lois de probabilités peut donner lieu à des rattrapages, des retours à l'équilibre, etc. donc un avantage au joueur avisé. C'est exactement ce que je dis mais d'une autre manière, en évoquant progressivement, puisque Gbzm fait appel à des détails techniques, la théorie des martingales (il y a aussi les sur/sous martingales...), les filtrations naturelles, l'espérance conditionnelle, les temps d'arrêt, le théorème de Doob, etc. (qui sont des outils élaborés pour comprendre l'effet de l'information du joueur sur sa stratégie de jeu). Puisque l'on parle ici de martingale, je fais le lien avec leur théorie. Mais l'idée que la connaissance des lois de probabilités influence les gains et le formalisme des rattrapages/équilibres/limites de P/F ou P-F sur lequel on s'était centré dernièrement avec toi, suffisent amplement à comprendre l'idée principale que nous défendons ou que vous contestez, ainsi que les différents débats.

(*) en termes techniques, on dit que le joueur passe d'une martingale à une sous-martingale de moyenne supérieure à la moyenne précédente : je réserve le détail technique pour un peu plus tard, on commence par des idées simples à peu près compréhensibles par tout le monde.

Bonne journée à tous.

@Ltav,
Léa réponse était posée à Dlzlogic. Tu penses qu'il n'est pas apte à répondre ? Il t'a désigné comme son porte parole ? Tu sais mieux que lui ce qu'il pense ?
Non.
A ma connaissance, la réponse à ces 3 questions est non.
Je lirai donc ta réponse quand Dlzlogic m'aura donné une bonne raison pour la lire.

@ mmaarr,
La loi des grands nombres suffit. Mais un grand nombre de matheux savent qu'il y plusieurs moyens de démontrer la même chose.
Je t'ai expliqué que le loi des grands nombres et la loi binomiales ne s'opposent pas. Tu n'as pas lu ou tu n'as pas compris.
Je suppose que comme d'habitude tu ne répondras pas à cette question. Tant pis.