Rattrapages de pile ou face

Bonsoir Ltav,

Tu te réfugies dans des considérations fumeuses qui n'ont plus aucun sens mathématique. Je vois que tu évites une nouvelle fois de dire avec quoi tu ne serais pas d'accord dans mon raisonnement pour montrer que le nombre de paris gagnés par  le joueur avisé en N tirages suit une loi binomiale de paramètres N et 1/2.  Je te repose ces questions, qui ont un contenu mathématique entièrement formalisé et précis .

1°) Pour tout n, G_n est une variable de Bernoulli de paramètre 1/2.
Es-tu d'accord ?
2°) Pour tout n, G_n est est indépendante de G_1,...,G_{n-1}.
Es-tu d'accord ?
3°) S_N, la somme des G_n pour n allant de 1 à N, suit une loi binomiale de paramètres N et 1/2.
Es-tu d'accord ?

La loi des grands nombres et la loi binomiales ne s'opposent pas.  C'est ce que je t'ai dit depuis un certain temps ... et tu considères que tu me l'as expliqué. Soit, si ça te plait, c'est toi qui m'a expliqué ça. Passons.
La loi binomiale dit que le joueur peut jouer ou hasard, ou jouer le retard, ça ne modifie absolument pas ses chances de gain.
Et la loi des grands nombres, elle dirait autre chose ? Elle dirait que le joueur a intérêt à jouer le retard ? Contrairement à ce que dit la loi binomiale ?

Soit tu acceptes que la loi des grands nombres et la loi binomiales donnent la même réponse à la même question, ou que l'une des 2 lois n'apporte pas de réponse à la question, et dans ce cas, tu peux affirmer que les 2 lois ne s'opposent pas.
Soit tu continues d'affirmer envers et contre tous que les 2 lois donnent des résultats opposés à une question, et dans ce cas, tu dis que les 2 lois s'opposent.

Et pour l'instant, comme tu dis que la loi binomiale donne un résultat qui est faux, tu dis que la loi binomiale est fausse.  Si tu as raison, c'est quand même un résultat énorme. Un résultat contradictoire à ce que tu as toujours appris en plus !

Bonsoir Gbzm,

Mais...je t'avais répondu clairement il me semble : https://dlz9.forumactif.com/t302p425-rattrapages-de-pile-ou-face#3563

ltav a écrit:Pardon de mon manque de temps. De mon téléphone, je vais d'abord répondre très clairement et sans ambiguïté à Gbzm, que je tiens à remercier pour son engagement et ses efforts de formalisation.

https://dlz9.forumactif.com/t302p400-rattrapages-de-pile-ou-face#3535

Le réponse est OUI. Je suis d'accord avec ta modélisation, tes variables aléatoires, et tes hypothèses. Maintenant tu vas voir que notre différend n'est pas ici.

Puis, sans passer par les espérances conditionnelles : https://dlz9.forumactif.com/t302p425-rattrapages-de-pile-ou-face#3565

ltav a écrit:Je vais te proposer une autre manière de procéder. Entre le tout premier tirage et l'équilibre N0, le joueur B est quasi-sûr d'avoir r face (vu qu'en Nr il avait un excès de r pile). Donc sur l'intervalle [1, N0], il existe r face dont la probabilité d'obtention est de 1 (donc proba 0 pour pile), tandis que le reste des (N0 - r) tirages a une proba de 1/2 classique pour chaque côté de la pièce. On peut donc aussi modéliser les gain G_n de B par une variable de Bernoulli sur chacun des (N0 - r) tirages, ainsi qu'entre N0 et N (où B rejoue par hasard), mais par une variable pseudo-aléatoire de proba 1 pour face et 0 pour pile sur les r tirages restants.

et enfin ici : https://dlz9.forumactif.com/t302p425-rattrapages-de-pile-ou-face#3577

On va y venir. Ce à quoi je fais référence est que l'univers Omega de B va "augmenter" en cours de route en Omega', un univers plus "gros" en informations : au tirage n, il ne tient plus compte uniquement des tirages passé T0, T1,..., Tn-1, mais aussi des lois de probabilités, donc en quelque sorte des tirages futurs Tn+1, Tn+2, Tn+3, etc. Ce qui change tout : le joueur B aura toujours a priori une chance sur deux de gagner à chaque tirage, mais son espérance de gain sur le nouvel univers va également changer (*). Considère donc une intégration de l'espérance sur des espaces différents. [...] (*) en termes techniques, on dit que le joueur passe d'une martingale à une sous-martingale de moyenne supérieure à la moyenne précédente : je réserve le détail technique pour un peu plus tard, on commence par des idées simples à peu près compréhensibles par tout le monde.

Bon, pas grave, tu ne vois pas à quoi je fais allusion mathématiquement (et c'est un formalisme très rigoureux, contrairement à ce que tu crois). Alors je vais te répondre encore une fois, peut-être plus clairement que jamais (sans crier bien sûr, j'insiste simplement) :

Gbzm a écrit:1°) Pour tout n, G_n est une variable de Bernoulli de paramètre 1/2.
Es-tu d'accord ?

Oui

2°) Pour tout n, G_n est est indépendante de G_1,...,G_{n-1}.
Es-tu d'accord ?

Oui

3°) S_N, la somme des G_n pour n allant de 1 à N, suit une loi binomiale de paramètres N et 1/2.
Es-tu d'accord ?

- Oui, si N est déterministe et classiquement fixé à l'avance

- Non pour le N aléatoire tel que défini dans la stratégie de B

En effet, pour un N fixé à l'avance et constant, évidemment que 3°) serait correct, très facile à démontrer d'ailleurs, et j'aurais répondu oui. Mais, pour le temps d'arrêt N, aléatoire, fini presque sûrement mais non borné, tel que défini par la stratégie de B, je te mets au défi de démontrer 3°).

Allons-y. Tu vas voir que les choses ne sont pas aussi simples. A nouveau le problème est que tu vois N comme le banal N déterministe et fixe dans la loi binomiale classique, et qui n'a...plus rien à voir avec ici.

Déjà, à défaut d'être d'accord avec moi, ai-je été clair pour toi ?

Merci et bonne soirée.

@ mmarr,
La loi binomiale décrit la façon dont la pièce est lancée, la loi des grands nombres la façon dont elle retombe.
Et, toi, tu réponds à mes questions ?
Apparemment non, d'ailleurs tu n'as pas lu ou pas compris mon pdf. Ca c'est une attitude de matheux qui sait tout. Bravo.

Jolie expression Dlzlogic, bravo.

Excellent : une loi pour décrire comment la pièce est lancée, et une autre pour décrire comment elle retombe.

Et si la pièce a de la mémoire, ça a un impact ?
Très drôle. Tu es 1000 fois plus doué pour l'humour que pour les maths.
Bon, c'est pas très difficile non plus. 1000 fois 0, ça fait encore 0.

Ltav; oui, tu as écrit plein de trucs, je ne le nie pas. Des trucs qui disent que la loi binomiale donne certains résultats, et des trucs qui disent que pour la même question, la loi des grands nombres donne d'autres résultats. Tu en as même fait une pseudo-démonstration.
Tu sais parfaitement que cette pseudo-démonstration n'est qu'une mascarade, mais c'est d'écrire n'importe quoi qui t'amuse.

Il suffit de lire tes messages ici pour voir ta personnalité, si on avait le moindre doute.

Bon, en tant qu'administrateur de ce forum, j'aimerais bien que mmaarr dise de façon précise ce qu'il cherche.

Mmaarr, comme tu le dis si bien, je ne suis pas le porte-parole de Dzl, ni le tien auprès de lui, mais je souhaiterais amicalement qu'il ne t'arrive pas d'embrouilles administratives sur ce forum, qu'il ne serait pas faute de ta part de les avoir cherchées. Tu peux parler à mon sujet de mascarade ou ce que tu veux - et même les mascarades ne dispensent pas de les réfuter, tu peux faire ressurgir mon passé de "sale gosse" - comme si on ne pouvait s'assagir avec le temps - mais...respecte les autres, toi qui parlais en particulier du respect dû à l'hôte de ce forum et ta soi-disant défense de lui contre notre cynisme.

Au lieu de passer à l'ad hominem par dépit, présente donc tes nouveaux contrarguments scientifiques, s'il y a lieu. Je m'attends à largement mieux de ta part.

mmaarr a écrit:La loi des grands nombres et la loi binomiales ne s'opposent pas.  C'est ce que je t'ai dit depuis un certain temps ... et tu considères que tu me l'as expliqué. Soit, si ça te plait, c'est toi qui m'a expliqué ça. Passons.
La loi binomiale dit que le joueur peut jouer ou hasard, ou jouer le retard, ça ne modifie absolument pas ses chances de gain.
Et la loi des grands nombres, elle dirait autre chose ? Elle dirait que le joueur a intérêt à jouer le retard ? Contrairement à ce que dit la loi binomiale ?

Soit tu acceptes que la loi des grands nombres et la loi binomiales donnent la même réponse à la même question, ou que l'une des 2 lois n'apporte pas de réponse à la question, et dans ce cas, tu peux affirmer que les 2 lois ne s'opposent pas.
Soit tu continues d'affirmer envers et contre tous que les 2 lois donnent des résultats opposés à une question, et dans ce cas, tu dis que les 2 lois s'opposent.

Et pour l'instant, comme tu dis que la loi binomiale donne un résultat qui est faux, tu dis que la loi binomiale est fausse.  Si tu as raison, c'est quand même un résultat énorme. Un résultat contradictoire à ce que tu as toujours appris en plus !

Tout a fait d'accord avec mmaarr,
et on remarquera que Dattier qui comprend cela très bien oriente les débats sur une serie de pile ou face  ce n'est pas épreuve de Bernouilli répétée ce n'est pas la loi binomiale obligatoirement.
Bon il ne définit jamais les conditions dans lesquelles cela se passerait autrement, mais Dattier sait depuis le début que c'est intenable avec la loi binomiale.
Et Ltav ne signe pas non plus pour la loi binomiale lorsque GBZM lui demande.

Donc que Pierre , Dattier et Ltav définissent leur lancer de pile ou face à eux, leur définition d'une serie de pile ou face.
Ce n'est pas la définition classique proba pile ou face de 1/2 sur chaque lancer.
C'est autre chose,
tres bien mais dites quoi alors.

Bonsoir Beagle,
Je te connais depuis bien longtemps. Tu as un bon-sens à toute épreuve, ça je le reconnais volontiers.
Je me permets de te préciser le problème dont il s'agit :
On lance une pièce en l'air, ou on génère un nombre aléatoirement entre 0 et 1, ce qui permet des calculs. Selon la loi binomiale, c'est à dire selon la probabilité de l'équivalence des chances Pile ou Face, la probabilité de l'expérience est 1/2.
Donc, on a lancé la pièce ou sorti un nombre 0 ou 1.
Tout le monde est d'accord pour dire que la probabilité du résultat, sur un grand nombre est 1/2 pour chaque face. Ce n'est plus la loi binomiale, puisque c'est un résultat d'expérience. En d'autres termes, le rôle de la loi binomiale est terminé, puisque la pièce est lancée. Ce résultat, égalité des chances 1/2 est l'application du postulat de la moyenne.
Maintenant, que la pièce est lancé, elle retombe. Intuitivement, on comprend bien que elle a une chance sur deux de tomber sur Pile.
L'expérience montre que l'égalité pile-face n'est pas toujours respectée, or il était prévu que l'égalité devait être respectée, conséquence intuitive de la loi binomiale.
Donc, toi, Beagle, tu suis attentivement les différents scores de la pièce. A un moment, tu constates que pile est en avance, c'est à dire que face est en retard. Comme tu sais que le loi binomiale donne l'égalité entre pile et face, ne penses-tu pas qu'il est très probable que face rattrape son retard, ne serait-ce que pour faire respecter la loi binomiale ?

Ce que je cherche ?
Je crois l'avoir déjà expliqué, mais je peux recommencer.


***** Supprimé par la modération *****


Donc je me suis inscrit sur ce site pour t'ouvrir les yeux.

***** Supprimé par la modération *****

Réfléchis bien, et tu comprendras que celui qui te veut du bien, ce n'est pas le gentil Ltav, c'est moi.

Ltav, rappelons ce que tu as écrit dans ton premier message :

On a un jeu de pile ou face avec une pièce équilibrée. Anatole (A) joue contre Barnabé (B). Chaque joueur parie sur l'un des côtés de la pièce avant chaque tirage : s'il gagne son pari, il a +1 point. S'il le perd, 0 point. Un jeu est constitué de n tirages. Une partie de m jeux.

Je ne vois aucun N aléatoire défini dans la stratégie de B.
Donc maintenant, tu as changé la règle du jeu, le nombre de tirages n'est pas fixé à l'avance ? Tu tomberais donc dans ce que Mmaarr te reprochait : on arrête le jeu quand on est revenu à l'équilibre, c.-à-d. quand ça arrange B ?

Ou peut-être je suis responsable de ta confusion, parce que que je n'ai pas employé les mêmes lettres ? Alors je reprends mes questions, en essayant de coller avec les notations que tu as employées. Je mets en gros et en rouge la question qu'il me semble important de clarifier à ce point.

On est toujours bien d'accord que le jeu comprend un nombre n de tirages fixé à l'avance, et que ce n n'a rien d'aléatoire ?
J'ajoute que d'après ce que j'ai pu voir dans la simulation de Dlzlogic, le nombre de tirages est bien fixé à l'avance et ne dépend en aucune façon du déroulement du jeu.

Je rappelle mes notations de variables aléatoires : pour k allant de 1 à n
P_k est le pari de B pour le k-ème tirage (0 ou 1)
T_k est le résultat du k-ème tirage (0 ou 1)
G_k vaut 1 si P_k=T_k, 0 sinon.

Je suppose que tu es toujours d'accord avec l'hypothèse de modélisation :
Pour tout k inférieur ou égal à n, T_k est une variable de Bernoulli de paramètre 1/2, indépendante de T_1,...,T_{n-1}, P_1,....,P_n  

1) Pour tout k inférieur ou égal à n, G_k est une variable de Bernoulli de paramètre 1/2.
Tu as dit que tu étais d'accord, tu confirmes ?

2°) Pour tout k inférieur ou égal à n , G_k est est indépendante de G_1,...,G_{k-1}.
Tu as dit que tu étais d'accord, tu confirmes ?

3°) S_n, la somme des G_k pour k allant de 1 à n, suit une loi binomiale de paramètres k et 1/2.
Puisque n est le nombre de tirages du jeu, fixé à l'avance, et qu'il n'a rien d'aléatoire, tu confirmes ton accord ?

Donc tu es d'accord que l'espérance du nombre de paris gagnés sur un jeu de n tirages par le joueur avisé est n/2, et que le joueur avisé n'a donc aucun avantage par rapport au joueur qui joue au hasard.?

Franchement, je ne comprends pas qui est ce N aléatoire "tel que défini dans la stratégie de B". C'est la stratégie de B qui décide du nombre de tirages du jeu ? Il n'est pas fixé à l'avance, c'est B qui décide d'arrêter le jeu quand c'est censé l'avantager ?  Là Ltav, tu nous laisses en plein brouillard.
Si N n'est pas le nombre de tirages du jeu, qu'est-ce que c'est ? Et en quoi ce N infirmerait-il le raisonnement (très simple, très basique) démontrant que le nombre de paris gagnés par le joueur avisé à l'issue des n tirages impartis suit une loi binomiale de paramètres n et 1/2 ?

@Dlzlogic,
Il y a eu 10 lancers : FFPFPFFPFF  ; P est en retard, on a eu 3 P contre 7 F.
On s'intéresse aux 10 lancers à venir. On aura donc 20 lancers à la fin de l'expérience.
La loi binomiale dit que FFPFPFFPFF.FFFFFFFFFF et FFPFPFFPFF.PPPPPPPPPP et toutes les autres suites de 20 P ou F commençant par FFPFPFFPFF ont toutes la même probabilité. Et comme il y a 1024 chaines de 20 P ou F commençant par FFPFPFFPFF , toutes ces chaines ont une probabilité de 1/1024.
On est d'accord, toi, moi, Ltav, Beagle, Gbzm, tout le monde est d'accord avec ça.
Donc quand on part de cette situation où on a eu 7F et 3P, la probabilité d'avoir 10F dans les 10 prochains tirages ou la probabilité d'avoir 10P, c'est la même.
De même la probabilité d'avoir 7P sur les 10 tirages à venir ou la probabilité d'avoir 7F sur les 10 tirages à venir , c'est la même.
De même, le résultat le plus probable pour les 10 prochains lancers, c'est d'avoir 5 Piles et 5 faces. C'est la loi binomiale qui le dit. Fais le recensement de toutes les combinaisons si tu as un doute.
Mais tu n'as pas le moindre doute là dessus, parce que tout ça, tu l'as déjà soutenu.

La probabilité de rattraper le retard, ou la probabilité de doubler le retard, c'est la même.

Ceci c'est clair, c'est net, c'est acquis. 'Les chemins sont symétriques'.
Tout ça, tous ces résultats qui prouvent qu'il n'y a aucun bénéfice à jouer le retard , c'est prouvé par la loi binomiale et personne ne conteste la loi binomiale. Au passage, petit rappel, la loi binomiale, elle regarde ce qui se passe quand la pièce retombe, pas quand la pièce est en l'air.
Et une autre loi, une loi qui est sensée parler de ce qui se passe au bout d'un nombre très élevé de lancers permettrait de dire que ces résultats en appliquant à la lettre la loi binomiale sont faux ?
Et donc que la loi binomiale est fausse ?

Si la loi binomiale était fausse, ça se saurait.

@Gbzm, oula je crois qu'on s'est embrouillé réciproquement. Bon, alors je reprends tout à zéro en gardant tes définitions (les miennes de départ).  

Gbzm a écrit:On est toujours bien d'accord que le jeu comprend un nombre n de tirages fixé à l'avance, et que ce n n'a rien d'aléatoire ?

Oui, le nombre de tirages total n est fixé avant le jeu . On demande juste au nombre de tirages n d'être assez grand pour que P-F puisse atteindre au moins une fois r en Nr puis l'équilibre en N0, ce qui est facile à réaliser en termes de probabilités. De ce fait, Nr et N0 sont des variables aléatoires.  

Gbzm a écrit:Je suppose que tu es toujours d'accord avec l'hypothèse de modélisation :
Pour tout k inférieur ou égal à n, T_k est une variable de Bernoulli de paramètre 1/2, indépendante de T_1,...,T_{n-1}, P_1,....,P_n

Oui, parfaitement.

Mais du coup, j'avais mal compris et mal répondu à tes questions, même si mon idée principale reste la même. Ma réponse aux trois questions bien comprises est non, avec les justifications suivantes :

1°) Pour tout k inférieur ou égal à n, G_k est une variable de Bernoulli de paramètre 1/2 ?

Non, entre G_Nr et G_N0, avec proba 1, il existe au moins r variables pseudo-aléatoires G_k telles que G_k=1.

2°) Pour tout k inférieur ou égal à n , G_k est indépendante de G_1,...,G_{k-1} ?

Non, d'après 1°) les G_k ne sont pas indépendants des G_i passés : à supposer par exemple que les r variables pseudo-aléatoires G_k=1 ne soient pas parmi les (N0 - r) premières à partir de G_Nr, alors elles sont obligatoirement dans les r dernières.

3°) S_n, la somme des G_k pour k allant de 1 à n, suit une loi binomiale de paramètres n et 1/2 ?

Non, d'après 1°) et 2°), même si le nombre de tirages n du jeu, fixé à l'avance, n'a rien d'aléatoire, S_n ne suit plus une loi binomiale de paramètre n et 1/2.

Es-tu d'accord déjà avec ces points là ?

On va y arriver.

Bonne nuit.

@ mmaarr,
A te lire, tu es le "gentil matheux désirant me rendre service". Je sais très bien que c'est le contraire, tu me fais plutôt pense à un film "Un ami qui vous veut du bien".
Tes petites pseudo-démonstrations, tes affirmations, tes certitudes n'ont aucun intérêt. Si tu veux prouver ta bonne foi, répond aux questions que je t'ai posées.

Dlzlogic a écrit:Bonsoir Beagle,
Je te connais depuis bien longtemps. Tu as un bon-sens à toute épreuve, ça je le reconnais volontiers.
Je me permets de te préciser le problème dont il s'agit :
On lance une pièce en l'air, ou on génère un nombre aléatoirement entre 0 et 1, ce qui permet des calculs. Selon la loi binomiale, c'est à dire selon la probabilité de l'équivalence des chances Pile ou Face, la probabilité de l'expérience est 1/2.
Donc, on a lancé la pièce ou sorti un nombre 0 ou 1.
Tout le monde est d'accord pour dire que la probabilité du résultat, sur un grand nombre est 1/2 pour chaque face. Ce n'est plus la loi binomiale, puisque c'est un résultat d'expérience. En d'autres termes, le rôle de la loi binomiale est terminé, puisque la pièce est lancée. Ce résultat, égalité des chances 1/2 est l'application du postulat de la moyenne.
Maintenant, que la pièce est lancé, elle retombe. Intuitivement, on comprend bien que elle a une chance sur deux de tomber sur Pile.
L'expérience montre que l'égalité pile-face n'est pas toujours respectée, or il était prévu que l'égalité devait être respectée, conséquence intuitive de la loi binomiale.
Donc, toi, Beagle, tu suis attentivement les différents scores de la pièce. A un moment, tu constates que pile est en avance, c'est à dire que face est en retard. Comme tu sais que le loi binomiale donne l'égalité entre pile et face, ne penses-tu pas qu'il est très probable que face rattrape son retard, ne serait-ce que pour faire respecter la loi binomiale ?

Bonjour Pierre,
pourquoi la loi des grands nombres va fonctionner alors qu'à un bout A d'une serie de pile ou face je rajoute N'IMPORTE quel autre bout B de serie pile ou face, on l'a expliqué de nombreuse fois sous différentes formes, l'ajout de series ne fait que moyenner, et la moyenne étant 1/2, dès que l'on commence à moyenner on va se rapprocher du théorique, e plus on va moyenner plus on arrive au théorique.
Pour le rePRESENTER encore une fois, sous un nouveau jour qui est le meme que déjà fait mais varaition sur un thème.

Je prends une série de n pile face .
On me donne une deuxième serie de n pile ou face venant d'ailleurs.
Première série ne n pile face j'ai un retard de pile avec pile à 0,475.
Avec N'IMPORTE quelle série de également n pile face
je vais avoir dans cette serie une chance sur 2 d'ètre cette fois ci en exces de pile, donc je vais ramener le tout vers  la moyenne théorique de 1/2
et j'ai en plus une proba p, dètre une serie qui possède un retard de pile compris pour frequence entre le 0,475 et le 1/2
En rajoutant à n tirages n'importe quelle serie de n tirage j'ai PLUS que 1/2 de moyenner au dessus des 0,475
Admettons à 2n je suis passé à 0,48.
Idem je prends n'IMPORTE quelle série de 2n , je vais avoir une chance sur deux d'ètre en excès de pile, et je vais avoir une proba p que la deuxième serie de 2n soit de frequence observée entre 0,48 et 1/2.Je vais donc avoir une proba supérieure à 1/2 (le 1/2+ p) d'avoir amélioré ma série 4 n.
De 0,48 en frequence observée, en moyenne je vais passer à 0, 485 …
Voilà sans rien faire en mettant bout à bout du n'IMPORTE quoi serie de n pile face repétition épreuve de Bernouilli .

Bonjour Beagle,
Oui, tous tes arguments intuitifs sont valables, mais c'est pas comme ça que ça se passe. D'ailleurs, si ça avait été le cas, la statistique n'existerait pas. Il n'y aurait aucune raison d'interroger 1000 personne pour estimer la tendance générale. D'ailleurs, le terme d'estimateur serait banni des cours de maths. En fait je crois que les matheux ne comprennent que Vrai ou Faux, Blanc ou Noir. Il a fallu inventer des mots nouveaux pour leur éviter des malaises cardiaques, "estimateur", "empirique", "espérance", "biais". En fait ces termes permettent de faire passer la pilule. Je tiens à préciser que tous ces termes qui représentent quelque chose de relativement approché, ont en fait une définition très précise, par exemple "biais", c'est l'écart systématique. C'est une valeur généralement inconnue. Si ça t'intéresse, je peux détailler.

la loi binomiale ce n'est pas de l'intuition c'est du calcul.
Tu peux tout calculer toi meme et verifier que la loi des grands nombres marche toute seule, elle n'a pas besoin de rattrapage avec probas qui augmentent pour rattraper.

Bien sûr que je te veux du bien.

***** message supprimé *****

Ltav a écrit:On va y arriver.

Bonjour,,

Oui, je crois effectivement qu'on est proche du dénouement. Mais pas forcément dans le sens que tu souhaites. Je vais faire deux messages à la suite. Un premier où je démonte tes arguments. Je montrerai en particulier où se situe le passage délicat dans ton analyse, qui fiche toute ta conclusion par terre. Dans le deuxième message, je ferai la démonstration (très élémentaire) des affirmations que tu nies à partir de l'hypothèse que tu acceptes.

Commençons donc par ton argument pour réfuter ce que j'avance.

1°) Pour tout k inférieur ou égal à n, G_k est une variable de Bernoulli de paramètre 1/2 ?
Non, entre G_Nr et G_N0, avec proba 1, il existe au moins r variables pseudo-aléatoires G_k telles que G_k=1.

Cet argument est complètement vide. Regardons ce qui se passe pour une suite infinie de tirages à pile ou face. Soit E_1 la variable aléatoire qui donne le nombre de tirages au bout desquels on constate le premier retour à l'équilibre. Cette variable aléatoire est presque sûrement bien définie, puisqu'il y a presque sûrement retour à l'équilibre.
Considérons les résultats des tirages T_k pour k allant de 1 à E_1. Avec probabilité 1, il y a (E_1)/2 variables aléatoires T_k telles que T_k=0 et il y a (E_1)/2 variables aléatoires T_k telles que Tk=1. Oui. Et alors ? Ça n'empêche pas que la suite de variables aléatoires T_k est une suite de variables aléatoires de Bernoulli de paramètre 1/2 indépendantes.  Tu n'es pas d'accord non plus avec cette dernière affirmation ?

On vient de voir que ton contre-argument à mes affirmations ne vaut rien.  Passons maintenant à l'analyse qui fait que tu penses que le joueur "avisé" a une espérance de nombre de paris gagnés plus importante que celle du joueur qui joue au hasard.

Je vais comme toi introduire des variables aléatoires. Ce sont, je crois, ce que tu désignes par N_0, N_r ...  mais par souci de clarté je vais les définir très précisément en leur donnant un nom différent. Je te prie donc de lire très attentivement ce qui suit pour qu'il n'y ait pas d'ambiguïté sur les notations.
Pour bien définir les variables aléatoires ci-dessous, je me place dans l'univers Omega  de toutes les histoires infinies possibles de tirages successifs à pile ou face et de paris successifs du joueur (autrement dit, Omega est {0,1}^{IN} x {0,1}^{IN}). Le joueur avisé s'est donné un entier r>0 pour définir sa stratégie.

Je commence avec R_0=0, c'est l'équilibre initial.
Ensuite la variable aléatoire D_1 est le plus petit entier k tel que l'on constate au bout de k tirages une différence en valeur absolue  de r entre le nombre de  1 (pile) et le nombre de 0 (face).
Les autres variables aléatoires se définissent par récurrence.
D_i étant défini, je définis R_i (R pour "retour") comme le plus petit entier k > D_i tel que l'on constate au bout de k tirages une égalité entre le nombre de 1 et le nombre de 0.
R_i étant défini, je définis D_{i+1} (D pour "dépassement") comme le plus petit entier k > R_i tel que l'on constate au bout de k tirages une différence en valeur absolue  de r entre le nombre de  1 (pile) et le nombre de 0 (face).
Puisque les scores dans une suite infinie de tirages à pile ou face passent presque sûrement une infinité de fois par chaque valeur, les variables aléatoires ci-dessus sont presque sûrement bien définies.

La stratégie du joueur avisé est :
- parier au hasard pour chaque  k  avec R_i < k <= D_{i+1}
- pour chaque k avec D_i < k <= R_i, parier systématiquement sur 1 si c'est 1 qui est en retard, sur 0 si c'est 0 qui est en retard.
Ceci bien sûr tant que k <= n, puisque le jeu s'arrête et qu'on comptabilise les paris gagnés au bout de n tirages.
Question pour Ltav : tu es bien d'accord sur cette formalisation de la stratégie 2 du joueur avisé, telle que tu l'as exposée dans ton premier message ?

Passons maintenant à ton analyse sur l'espérance du nombre de paris gagnés par le joueur avisé.

1°) Sur un intervalle entre R_i (exclu) et  le minimum de n et de D_{i+1} (inclus), le joueur avisé joue au hasard. L'espérance du nombre de paris gagnés sur cette période est donc égale à l'espérance du nombre de paris perdus sur cette période. Je suis parfaitement d'accord avec toi sur ce point.

2°) Sur un intervalle entre D_i (exclu) et R_i, pourvu que R_i <= n, le joueur avisé joue toujours ce qui est en retard. Le nombre de paris gagnés sur cette période est donc égal au nombre de paris perdus plus r. Tout à fait d'accord avec toi sur ce point, Le joueur avisé engrange un avantage sur une telle période.

3°) Mais que se passe-t-il  sur l'intervalle entre D_i (exclu, supposé <n) et n dans le cas où R_i >n ? C'est un cas de figure que tu n'as absolument pas considéré. Pendant cette période, le joueur avisé parie obstinément sur ce qui est en retard, mais le retard qui était de r au moment D_i ne se comble jamais jusqu'à l'instant fatidique n où le gong de fin de partie résonne.
Vu qu'une telle période a de bonnes chances de durer fort longtemps (tu sais, avec la loi de l'arcsinus, que la probabilité pour que le dernier retour à l'équilibre avant n se produise avant n/2 est égale à 1/2) et sachant qu'au cours de cette période le retard de r n'a à aucun moment été rattrapé, il est très probable qu'il ait au contraire assez fortement augmenté. Conclusion : une telle période est désavantageuse pour le joueur avisé.

Ton analyse est donc incomplète, et ce que tu as oublié fiche par terre ta conclusion qu'à la fin du jeu, l'espérance du nombre de paris gagnés par le joueur avisé l'emportera sur le nombre de paris perdus.
Question pour Ltav : as-tu quelque chose à répondre à mon objection (le point 3° ci-dessus) ?

Compléter l'étude pour tenir compte de ce que tu as oublié me paraît très difficile. Mais ce n'est pas grave, puisque l'approche ultra-simple que j'ai développée aboutit sans peine à la conclusion qu'à la fin du jeu, l'espérance des paris gagnés par le joueur avisé est exactement égale à l'espérance des paris perdus.
Je ferai, comme promis, la démonstration des affirmations que tu nies dans le prochain message. Mais j'attendrai sans doute l'après-midi.

@ GBZM

GBZM a écrit: Ça n'empêche pas que la suite de variables aléatoires T_k est une suite de variables aléatoires de Bernoulli de paramètre 1/2 indépendantes.  Tu n'es pas d'accord non plus avec cette dernière affirmation ?

Une variable aléatoire est une fonction.
Une suite de variables aléatoire est une suite de fonctions.
Or, ici on a une seule fonction : le tirage pile ou face.
Donc il faut comprendre "une suite de résultats" d'une variable aléatoire.
Les choses sont pourtant claires, Ltav les expose clairement. Je sais bien que c'est le terme "retard" qui te donne des boutons, puisqu'il ne figure pas dans la liste des mots inventés à l'usage des matheux.
Beagle réagit par intuition : la pièce sait qu'elle doit réussir une fois sur deux, mais elle n'a pas de mémoire.
Toi tu manies parfaitement le vocabulaire et comme "retard" n'en fait pas partie, ça ne peut pas être vrai.

Bonjour,

Gbzm, merci de ta réponse. J'ai peu de temps mais pour ne pas te faire attendre, voici une réponse rapide et claire.

- OK pour ta formalisation.

- OK pour tes points 1) et 2).

- Non pour ton point 3) que j'avais parfaitement envisagé  : lors du dernier intervalle sans retour R_i, le joueur avisé aura au plus un gain total quasi-certain de r, comme il peut ne rien gagner du tout (de plus que la moyenne), certes. On peut même au pire (c'est ce que j'ai fait pour simplifier) modéliser son gain sur cet intervalle par une variable classique de Bernoulli de proba 1/2. Mais cela n'annule pas les gains quasi-certains qu'il aura obtenu à chaque retour R_k précédent. Si tu ajoutes les gains quasi-certains r de tous les intervalles [Dk, Rk] (pour k < i) au dernier "gain" variant de 0 à r du dernier intervalle [R_i, n], tu n'obtiendras jamais un gain total quasi-certain nul. C'est comme si tu me disais que la somme : 1 + 1 + 1 + x, avec x = 0 ou 1, pouvait faire...0. Non le résultat serait bien sûr compris entre 3 et 4.

Médite bien mon objection. A tout à l'heure j'espère.

Bonne journée.

Ltav a écrit: Si tu ajoutes les gains quasi-certains r de tous les intervalles [Dk, Rk] (pour k < i) au dernier "gain" variant de 0 à r du dernier intervalle [R_i, n], tu n'obtiendras jamais un gain total quasi-certain nul. C'est comme si tu me disais que la somme : 1 + 1 + 1 + x, avec x = 0 ou 1, pouvait faire...0. Non le résultat serait bien sûr compris entre 3 et 4.

C'est une très grossière erreur. Je ne parle pas du lapsus qui te fais écrire [R_i,n] au lieu de ]D_i,n], mais du fond. Supposons r=5. Supposons que la période ]D_i,n] a une durée de 200 tirages.  On peut alors faire le calcul de l'espérance de la différence (nombre de paris gagnés - nombre de paris perdus) pour le joueur avisé sur cette période. Le calcul se fait par application du principe de réflexion.

On a un chemin qui part de 0 et qui monte ou descend de 1 à chaque étape, en 200 étapes (vers le haut :  dans le sens du rattrapage ;  vers le bas : sens contraire). Puisqu'on n'arrive jamais au retour à l'équilibre jusqu'à la fin de la période, le chemin reste toujours strictement en-dessous du niveau 5. Comptons les chemins qui arrivent au niveau 2g avec -100 <= g <= 2. Par le principe de réflexion, c'est binomial(200, 100+g) - binomial(200,90+g). Le nombre total de chemins est donc

tot = somme _{g=-2}^{g=2} binomial(200,100+g)

Un chemin qui arrive au niveau 2g, ça veut dire que la différence paris gagnés moins paris perdus vaut 2g. L'espérance de paris gagnés - paris perdus sur cette période finale est donc :

(somme_{g = -100}^{g=2}  (2g x (binomial(200, 100+g) - binomial(200,90+g)))) / tot

Ça fait environ -18, ce qui n'est pas peu ! Tu peux contester si tu veux les nombres que j'ai choisis, mais en tout cas ça montre que prétendre que l'espérance de gain sur cette dernière période est positive ou nulle est une erreur.

Donc, je le maintiens, ton argument a une faille fatale.

@Latv

Bon, comme promis, je fais la démonstration, sous l'hypothèse que tu acceptes :

Pour tout k inférieur ou égal à n, T_k est une variable de Bernoulli de paramètre 1/2, indépendante de T_1,...,T_{k-1}, P_1,....,P_k (*)

des affirmations que tu nies :

1°) Pour tout k inférieur ou égal à n, G_k est une variable de Bernoulli de paramètre 1/2
2°) Pour tout k inférieur ou égal à n , G_k est indépendante de G_1,...,G_{k-1}

Je vais en fait démontrer les deux en même temps.
Que faut-il démontrer ? Que pour tous h_1,...,h_{k-1} dans {0,1}, la probabilité de G_k=1 sachant que G_i=h_i pour i=1,...,k-1 est égale à 1/2.
Question 1, Ltav, es-tu d'accord que ceci établit 1° et 2° ?

Je commence par remarquer que pour tout j, G_j = (P_j+T_j+1) mod2. C'est juste la définition de G_j.

La probabilité de G_k=1 sachant que G_i=h_i pour i=1,...,k-1 et que P_k=1 est égale à :
la probabilité de T_k=1 sachant que (P_j+T_j+1) mod2 = h_i pour i=1,...,k-1 et que P_k=1.
D'après l'hypothèse (*), cette probabilité est égale à 1/2.
Question 2 : Ltav, est-tu d'accord avec cette déduction ?

La probabilité de G_k=1 sachant que G_i=h_i pour i=1,...,k-1 et que P_k=0 est égale à :
la probabilité de T_k=0 sachant que (P_j+T_j+1) mod2 = h_i pour i=1,...,k-1 et que P_k=0.
D'après l'hypothèse (*), cette probabilité est égale à 1/2.
Je ne repose pas de question sur ta compréhension, c'est la même chose que précédemment, mutatis mutandis.

D'après les probabilités totales, la probabilité de G_k=1 sachant que G_i=h_i pour i=1,...,k-1 est 1/2. CQFD.

Je ne te fais pas l'injure de te demander si tu es d'accord que ce qu'on vient de démontrer entraîne bien que S_n soit une loi binomiale de paramètres n et 1/2.

Ce qui est extraordinaire avec les mathématiques, c'est qu'on peu démontrer quelque-chose de faux.
Il est absolument certain qu'il y a un phénomène de rattrapage de retard dans une expérience du type aléatoire. Ce terme d'expérience est à prendre au sens le plus large, par exemple un sondage et bien-sûr aussi, le tirage à pile ou face, le tirage du loto, les accidents de voiture, la température (Sylvien connait) et je ne sais quoi d'autre.
Si ce phénomène de rattrapage n'existait pas, la notion de probabilité n'aurait aucun sens et toutes les applications qui en découlent n'existeraient pas. Je rappelle que le sens que je donne à "probabilités" est peut-être différents pour certains. En effet, il ne s'agit pas de "proportion d'un ensemble" mais d'une notion incontournable du monde réel.  
J'ai bien compris que les matheux se sont emparés de ce chapitre. On peut lire dans certains ouvrages que une série aléatoire uniformément répartie peut vivre. Je défie quiconque de me donner une série aléatoire uniformément répartie.  
Oui, je sais bien que j'ai écrit un très grand nombre de fois ce genre de chose. Vu la tournure des réactions, je suis persuadé que ce n'est pas la dernière fois.