Moyenne arithmétique et géométrique de 2 valeurs

Salut,

Prenons x<y 2 nombres strictement positifs, on renomme  y en x+h avec h strictement positif.

La moyenne arithmétique de x et y est : (x+y) /2=x+h/2=Ma
La moyenne géométrique de x et y est : racine(x*y) =x*racine(1+h/x)=Mg

On a pour z>0 : |racine(1+z) +1+z/2|>=2
Donc en multipliant l'inégalité à gauche et à droite par |racine(1+z)-1-z/2| on obtient :

2*|racine(1+z)-1-z/2|<= z^2/4

Donc | Ma-Mg|<=h^2/(8*x)


Bonne journée.

Salut,
proposition de majoration très fine car,
sans valeur absolue (car Ma > Mg), on a
Ma - Mg équivalent à h² / 8x quand h tend vers 0.

@Fun : Peux tu maintenant m'expliquer, simplement ton point de vue ?

Merci.

quel point de vue sur quoi ??

Je disais que quand deux valeurs sont proche (de 1) alors leurs moyenne arithmétique et géométrique sont proches. ( ici je donne un argument mathématiques à ce que j'affirme)

Ce avec quoi tu n'étais pas du tout d'accord. T'en souviens tu ?

Oui, tout dépend ce que "proche" signifie.

Il y autant de réels entre 1 et 100 qu'entre 1 et 1.01 .

1^n et 1.01^n  n'ont pas le même comportement.

On parle de limite (dans ton premier message, lorsque h tend vers 0) ou d'équivalent (dans mon message ci-dessus).

C'est sûr si on ne s'entend pas sur le sens à donner aux mots...

Disons que nous prenons le sens commun de proche.

Alors, selon toi 0.98 est-il proche de 1 ?

mais "proche" n'a pas de définition "classique".

100 m et 98 m , c'est proche ? pour deux nageurs de 100 m, non c'est distant (une longueur d'homme)

OK, trace la droite des réelles et places y l'origine 1 et 0.98.

A ton avis 1 et 0.98 sont ils proches ?

désolé pour la mauvaise qualité de l'image. Mais on voit bien que la différence entre 1 ou 0.98 hectomètre, c'est énorme pour eux.

Si tu refuses les exemples des autres, alors tu joues tout seul.

Je suis d'accord avec toi, c'est relatif.

Alors pourquoi critiquer ce journaliste, et ajouter un degré de complexité non nécessaire à la conversation ?

je constate que tu n'as rien compris à sa conclusion et la conclusion réelle...

son mauvais raisonnement : ( 1.2 *4 + 0.8 *4 ) /8 = 1 donc on revient à l'état initial, pas de changement.
le bon raisonnement : 1.2^4 * 0.8^4 ~ 0.85  donc il y a une baisse de 15% , ce qui est un changement notable !
donc mauvais raisonnement pour une conclusion fausse, voilà ce que je n'aime pas.

En plus, je ne vois pas en quoi une multiplication est si compliquée par rapport à une addition qu'il ne faudrait pas en parler. Le niveau baisse !!

.

Dattier a écrit:Le coefficient R est en moyenne égal à 0.98, donc l'état actuel de la pandémie est le même qu'il y a deux mois.

Encore une affirmation totalement fausse, alors je te corrige :
Le coefficient R est en moyenne égal à 0.98 (par semaine, car le coefficient R est mis à jour tous les 7 jours)
donc au bout de deux mois (8.6 semaines), il y a une baisse de l'effectif malade de 16%. Donc la pandémie recule de manière notable par rapport à deux mois avant.

Ce que j'aurais voulu que le journaliste dise :

4 semaines où le nombre de malades est multiplié hebdomadairement par 1.2 ;
suivies de 4 semaines où le nombre de malades est multiplié hebdomadairement par 0.8 ;
(les gens auraient compris ce qu'est le coefficient R !)
finalement, au bout de 8 semaines, cela donne 1.2^4 * 0.8^4 ~ 0.85  
donc il y a une baisse de 15% , ce qui est un changement notable !

Mais il est vrai que pour des gens comme Dattier,
mathématiquement trop compliqué (oula, une multiplication !)
et trop long (oula 4 lignes ! c'est maximum 2, sinon je suis perdu).

Dattier' a écrit:Moi je dis que cela ne fait pas un grosse différence (de.  -4%) par rapport à il y a 2 mois.

Il faudrait que tu saches que le coefficient R est recalculé toutes les semaines, pas tous les mois.
C'est parce que tu n'as pas vu le graphique où il y a  points des points à chaque semaine, pendant 2 mois.

Je suis très fier, d'être capable d'exprimer mes idées en quelques lignes (une dizaine max).

Tu sais mon but quand j'écris est d'être lu et compris par le plus grand nombre.

comme je te l'ai déjà dit, la concision n'est pas une qualité nécessaire,
surtout si cela implique de dire des choses fausses,
qui plus est si on s'adresse au plus grand nombre.

Je crains de constater que tu es adepte des raccourcis
(dire des choses simples pour avoir l'adhésion du plus grand nombre, des choses qui agitent la peur du covid comme ici, ou d'autres choses peut-être...).
On sait où cela mène (cf histoire). Encore une fois, le niveau baisse !

Je maintiens il faut des réponses claires, concises et justes, quit à être obligé de développer si développement demandé *.
'

* : développement sur le même schéma clair concis et juste, quit à être...

Bonsoir,

Dattier a écrit:Je disais que quand deux valeurs sont proche (de 1) alors leurs moyenne arithmétique et géométrique sont proches. ( ici je donne un argument mathématiques à ce que j'affirme)

Ce avec quoi tu n'étais pas du tout d'accord. T'en souviens tu ?

Hello Dattier, merci de ton calcul.

De mon point de vue, il a un intérêt surtout numérique, mais non pratique. Je m'explique. Même si les valeurs pour la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique étaient strictement les mêmes, ça n'atténuerait en rien l'erreur grossière de ce journaliste : il s'est simplement trompé d'"outil de mesure".

C'est un peu comme si ce dernier mesurait disons la pression de son pneu avec deux instruments :

1- un thermomètre et...
2- un manomètre

Imaginons que par pure coïncidence numérique (le calibrage des deux appareils aidant...), il trouve exactement la même valeur : aurait-il pour autant raison d'avoir utilisé un thermomètre pour mesurer une pression ? Il est toujours possible de comparer les valeurs affichées par nos cadrans, mais ça n'a aucun sens par rapport au problème que l'on traite.

Bien sûr, on sait que moyennes arithmétique et géométrique ont la même "unité" (si l'on attachait une unité à chaque terme qui la compose), contrairement à mon exemple pression/température, mais il souligne bien la confusion entre deux outils distincts. Utiliser une moyenne arithmétique pour une progression géométrique est absurde et peut conduire à des interprétations délirantes. C'est d'ailleurs une technique naïve d'arnaque en finances :

Exemples :

https://www.captaineconomics.fr/-moyenne-geometrique-moyenne-arithmetique-rendement

https://fr.livingeconomyadvisors.com/912-what-is-geometric-mean.

Il y a bien d'autres exemples en physique avec des grandeurs de même unité. Ainsi la pression statique (mesurée par manomètre simple) et la pression totale (mesurée par un tube Pitot). Mieux encore : la moyenne arithmétique d'une tension électrique (i.e. la tension moyenne, nulle sur un cycle pour une tension sinusoïdale) versus sa moyenne quadratique (i.e. la tension efficace, liée à la puissance électrique moyenne du signal et à son amplitude) - mêmes unités, le Volt. Si la tension moyenne était nulle, un journaliste pourrait en déduire qu'il n'y a pas de tension (0V) et donc aucun danger à mettre ses doigts dans la prise, alors que le physicien trouverait une tension efficace élevée : attention, danger.

Du coup, ce n'est pas qu'une question de "nos moyennes arithmétique et géométrique sont-elles plus ou moins proches ?" Une coïncidence numérique ne peut pas réparer le mauvais choix entre ces deux moyennes (demain le journaliste usera probablement encore de la moyenne arithmétique pour des R très différents de 1, tant qu'il n'aura pas reconnu son erreur).

Bonne soirée.

Salut,

@Ltav : Je te remercie pour ta réponse pédagogique et détaillée.

Si tu veux prendre une analogie avec des outils physiques, je pense que l'exemple du rapporteur et du double décimètre pour la mesure de petit angle, est un peu plus juste.

Ensuite dans l'explication d'un phénomène, je pense qu'il est plus judicieux de ne pas complexifier l'explication inutilement, par rapport au degré de précision dont on a besoin. Ainsi quand on veut calculer la trajectoire d'un satellite de la terre, la gravité suffit, on ne va pas se mettre à utiliser la RG, sauf peut être si on veut mettre notre stallite en orbite sur le soleil.

Imagine maintenant que l'on est dans un cours de biologie et que l'on a besoin de connaître un certain petit angle d'une photo d'une cellule, je ne vois aucune contre indication, à lire directement l'angle, en radiant, non pas avec un rapporteur mais avec un double décimètre.

Ceci étant dit, je ne l'ai pas écrit explicitement et j'en profite pour le faire : dans cette affaire je donne raison à Fun, en effet on a 8 cycles et non 2 comme je le pensais, ce qui entraîne une différence non négligeable entre le résultat donné par le journaliste et le résultat attendu.

Bonne journée.

Salut,

Merci Dattier. Bonne image du rapporteur/décimètre.

Pour le satellite, tout dépend de l'usage que l'on veut en faire : si celui-ci a pour but le guidage des GPS (précisions en jeu de l'ordre du millionième de seconde...), l'usage de la relativité générale (RG) et ses déformations élastiques du temps et de l'espace devient éminemment nécessaire. Quand il s'agit d'interpréter des chiffres pour connaître l'évolution d'une épidémie, avec toutes les conséquences politiques et administratives que cela implique (mesures pseudo-sanitaires, etc.), là encore choisir le bon outil (MA ou MG) est indispensable.

Dans ton exemple de biologie, en effet une règle peut faire l'affaire, mais si l'élève en induit que tous les angles se mesurent par une règle et les distances par un rapporteur, il fait fausse route. A mon avis, si le journaliste a utilisé la MA pour une série de nature différente, c'est soit parce que c'était (de bonne foi peut-être) le seul outil qu'il connaissait (il faudrait alors lui expliquer l'erreur), soit parce qu'il l'a fait exprès pour aller dans le sens de la manipulation sociale (beaucoup plus grave...). Je ne crois pas qu'il se soit servi d'un "décimètre" pour aller plus vite en mesure de petits angles (il n'en sait sûrement pas autant que toi sur cette astuce). Il reste que la coïncidence des MA et MG en une valeur, c'est un peu comme deux droites qui se coupent en un point pour diverger presque partout ailleurs...l'exception qui confirme la règle.

Bonne nuit.

Salut

@Ltav : je suis d'accord avec toi, et je vais étudier la question de l'approximation de la MG par la MA (avec n>2) pour évaluer un domaine de validité.

Bonne journée.

J'obtiens donc |Ma-Mg|<=max(|ln(xi) |) * 1/min(xi) * (max(xi) - min(xi))

On suppose les xi strictement positif, c'est sur eux que l'on fait la MG et MA.


On peut affiner... Pour ce qui se demande comment j'ai fait, j'ai adapté aux cas discret cette explication :

https://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=76646#p1024309

Plus rapidement et sans effort, en utilisant la convexite on obtient :

|Ma-Mg |<=(max(xi) - min(xi))^2/(8*min(xi))