Le tirage de corde, dans un cercle, de manière uniforme

Salut,

Comment tirer des cordes d'un cercle C de manière uniforme ?

Le tirage est uniforme, ainsi si je mets un plus petit cercle C' inclus dans C, le tirage de corde dans C induit un tirage de corde dans C' (par simple intersection avec la corde tirer sur C, avec le disque délimité par C') qui doit être le même par uniformité.

Ainsi la seule possibilité pour satisfaire à la condition d'uniformité est le tirage de Hartong (tirage uniforme de droite tronquée dans le cercle C).


Bonne journée.

Je rappelle que le "contre-exemple" de GBZM, ne consiste pas à tirer uniformément des cordes, mais des milieux de cordes, ce qui n'est pas la même chose.

PS : on peut déduire facilement de ce que j'ai écrit une définitoin raisonnable de ce qu'est un tirage uniforme dans S (une partie compact de R^2 d'intérieur non vide) de C (un ensemble de sous ensemble de S).

Un cercle l'ensemble de point équidistant d'un point appelé le centre.

Donc si C' est un cercle contenu dans C alors C'=C.


Tout les cercles peuvent être relié à un autre (par exemple le cercle unité) par translation puis homotéthie (sans rotation).
"Ainsi" le tirage sur un cercle C peut être transporté sur un cercle C'.

Seul le tirage par les extrémités d'une corde conserve cette transformation.



Rappelons que la corde d'un cercle est un segment, pas une droite.
Un segment est "naturellement" défini par deux points (ses extrémités).
Ainsi pour choisir "au hasard" une corde il parait plus naturel de choisir au hasard
ses extrémités, que de choisir "au hasard" les droites qui supporte la corde.

Bonsoir Unknown,
Je me permets de rappeler que l'énoncé ne concerne pas la définition d'une corde d'un cercle ou la façon de tirer une corde au hasard, mais la probabilité que la longueur d'une corde soit inférieure au côté du triangle inscrit.
Donc, on peut voir le problème de la façon suivante : on a un cercle où sont dessinées un certain nombre de corde. On ne sait pas comment ces cordes ont été dessinées, peut-être par le singe dactylo ou par un système inconnu. On pose la question à un matheux : "combien y a-t-il de cordes ...". Tu ne crois pas que la question est parfaitement définie ? Il te suffit de regarder les différents dessin de matheux qui s'évertuent à montrer que en math c'est comme on veut, d'où il est indispensable de donner la solution pour pouvoir répondre à la question.
Je sais, c'est un long débat, mais on a encore lu dernièrement "la notion de loi normale n'est pas précisée dans l'énoncé".
Une question, tu cherches par tous les moyens de prouver que les théories matheuses ne reposent sur rien, ou quoi d'autre ?
Ce document est intéressant http://www.numdam.org/article/JSFS_1950__91__210_0.pdf il t'aidera peut-être à comprendre la longue discussion à propos du tir sur cible. Toi et tes copains n'ont pas cessé de détourner le sujet évoqué.

On pose la question à un matheux : "combien y a-t-il de cordes ...". Tu ne crois pas que la question est parfaitement définie ?

La question n'est même pas complète...

Et surtout, toute l'ambiguité est porté par la manière dont son tracées ces cordes (qui impliquent donc de savoir "combien")

Il te suffit de regarder les différents dessin de matheux qui s'évertuent à montrer que en math c'est comme on veut, d'où il est indispensable de donner la solution pour pouvoir répondre à la question.

Toujours aussi précis dans tes références.

Une question, tu cherches par tous les moyens de prouver que les théories matheuses ne reposent sur rien, ou quoi d'autre ?

Absolument pas. Les théories mathématiques reposent sur des définitions précises, des théorèmes rigoureusement démontrés. Et elles ont de nombreuses applications en science et dans le monde réel.

Toi par contre tu n'as qu'une notion très vague de ce qu'est une définition, un théorème, une démonstration ou même simplement un raisonnement rigoureux.

Ce document est intéressant http://www.numdam.org/article/JSFS_1950__91__210_0.pdf il t'aidera peut-être à comprendre la longue discussion à propos du tir sur cible.

Ce document est très intérssant effectivement puisqu'il confirme tout ce que l'on te raconte.
On noteras par exemple :
p1 il veut parler des "errreurs d'observations" et non pas de tout évènement incertain;
p2

on voit très clairement qu'il fait l'hypothèse que l'erreur est une SOMME (au sens addition) de variables aléatoires indépendantes.

Tout ce qu'on s'acharne à te souligner au sujet du TCL


D'ailleurs, au sujet du tir d'obus, on était tous d'accord pour dire que cela se modélisait bien par une loi normale. Ce que l'on a souligné c'est qu'il s'agissait d'une loi normale en dimension 2, donc que les écarts selon un axe (ou une bande), peu importe lequel, suivent une loi normale (c'est aussi ce qui est dit dans ton document).
Cela veut aussi dire que la distance au centre ne suis pas une loi normale mais une loi de Rayleigh.
C'est toi qui as essayé de faire croire que tes valeurs complètement dissymétriques suivaient une loi normale.

Unknown a écrit: on était tous d'accord pour dire que cela se modélisait bien par une loi normale.

Qu'est ce qui permet de que cela se "modélise bien" par un loi normale ? L'intuition mathématicienne ou un théorème ? Pas le peine de me répondre, moi je sais, mais toi, tu dis comme Gbzm.
D'ailleurs je me permets de rappeler que la loi normale n'est pas précisée dans le contexte, comme dirait Fun. Alors d'où ça vient ? ou alors, c'est comme d'habitude, c'est "comme on veut" ?

Qu'est ce qui permet de que cela se "modélise bien" par un loi normale ? L'intuition mathématicienne ou un théorème ?

Je dis comme GBZM, et comme Levallois, et comme le papier que tu nous as sorti :
on peut aisément supposer que l'erreur finale est une somme de petites erreurs indépendantes,
donc le TCL fournit une loi normale.

Pas le peine de me répondre, moi je sais,

Oui, toi "tu sais", tout sur tout.  D'ailleurs tu "savais" aussi que la distance au centre suivait une loi normale.
Tu "savais" aussi que le terme somme est à prendre comme "ensemble", c'est pour ça que dans le document que tu as sorti
ils écrivent epsilon = \Sigma_i epsilon_i. Surement que \Sigma est un symbole utilisé pour dire "ensemble".

D'ailleurs je me permets de rappeler que la loi normale n'est pas précisée dans le contexte, comme dirait Fun. Alors d'où ça vient ? ou alors, c'est comme d'habitude, c'est "comme on veut" ?

Tu aimes bien dire qu'en maths c'est "comme on veut" alors que c'est tout le contraire. C'est toi qui vit dans le monde du "comme on veut" qui décide que prendre au hasard les extrémités d'un segment ce n'est pas "prendre au hasard" le segment, qui décide que "quasi-sûr" c'est avec une proba de x%...

Donc répétons, pour la n-ème fois, la démarche scientifique :
a) on s'interroge sur un phénomène
b) on propose une modélisation mathétique
c) on se sert de la modélisation mathématique pour faire des prédictions
d) on compare les résultats du modèle mathématique avec la réalité

Comment choisir une modélisation mathématique ?
a) sur des arguments théoriques
b) sur les données disponibles
c) avec l'habitude sur phénomènes comparables

Ici le choix de la loi normale est justifié à la fois par un argument théorique (si on admet le fait que l'erreur finale est la somme d'erreurs indépendantes
de même ordre de grandeur) et par les données disponibles.



On remarqueras que tu as complètement fait dévier le fil de Dattier qui essayait tant bien que mal de justifier que "prendre une corde au hasard" veut forcément dire
un choix uniforme des droites support. J'ai montré que l'on pouvait donner d'autres arguments permettant de voir comme "naturel" une autre manière de choisir
les cordes que le choix des droites.

Donc je rappelle :
- "prendre une corde au hasard" n'est pas une locution précise, il faut dire comment on le fait, sinon chacun fera "comme il veut". Et comme en maths ce n'est pas "comme on veut", il nous faut plus d'informations.
- si on ajoute une condition complémentaire sur la manière de "prendre une corde au hasard" alors, suivant la condition, cela peut forcer le choix d'une loi de distribution sur les cordes.

Là, Unknown, je suis vraiment admiratif

Bonjour,

@Sylviel : alors tu tires de manière uniforme les 2 extrémités d'une corde et non les cordes elle-même.
C'est une erreur classique, GBZM fait la même en tirant uniformément le milieu de cordes, et non la corde elle-même.

Bonne journée.

Je vais donner explicitement la définition pour mettre les choses aux claires.

@Sylviel : alors tu tires de manière uniforme les 2 extrémités d'une corde et non les cordes elle-même.
C'est une erreur classique, GBZM fait la même en tirant uniformément le milieu de cordes, et non la corde elle-même.

Et toi tu tires la droite support et non la corde elle même.

C'est une erreur classique.

P.S: Dattier, tu crois vraiment ce que tu écris ou tu le fait par simple esprit de contradiction ?

Là, Unknown, je suis vraiment admiratif

Peut-être mais encore une fois d'un côté j'avance des arguments précis, et toi tu les ignores complètement.

Tu préfères te retrancher derrière un "moi je sais et vous avez tous tort" sans rien de plus.


Par exemple, penses-tu que le sigma dans le papier que tu as trouver veux dire autre chose qu'une addition ?

3) C(s(A))={s(R), R\in C(A)}, pour tout A dans E et s similitude

\text{Definition1 : on dira que } E\subset P(\mathbb R^2) \text{ est compatible avec }C : E \rightarrow ...\\
\forall A \in E, C(A) \subset P(A)
\\\text{si 1) }\forall A \in E, s \text{ similitude, } s(A)\in E
\\\text{2) }\forall A \in E, s \text{ similitude, }s(A) \subset A,\\ C(s(A))=\{ B,\exists R \in C(A), B=R \cap s(A)\neq \emptyset \}

Unknown,
La question de Bertrand est "quelle est la probabilité qu'une corde prise au hasard soit plus petite que le côté du triangle équilatéral inscrit ?". Cette question est précise : on demande la probabilité. C'est au matheux de trouver la bonne méthode de calcul. Le hasard est unique, il n'y a aucun doute que la question est parfaitement précise. La difficulté consiste à trouver la bonne réponse, et ce n'est pas au choix. Je rappelle que J.H. a détaillé la réponse sur une dizaine de pages et terminé en citant l'expérience imaginée par Borel, comme introduction à son cours sur les probabilités.

En ne prenant en compte que les tirages non vide.

\text{Definition 2 :  Soient (E,C) compatible et } A\in E
\\X \text{ une va  qui tire uniformement dans C(A) avec A compact d'interieur non vide, si }
\\\forall s \text{ similitude, }s(A)\subset A,  s^{-1}(X \cap s(A)) \text{ realise un tirage de meme loi que X}

Dans le cas de Bertrand, A \in E est un disque de R^2, C(A) est l'ensemble des cordes du disque A.

Dans le cas de Sylviel, A \in E est un disque de R^2, C(A) est l'ensemble des 2 extrêmités de cordes du disque A.

La question de Bertrand est "quelle est la probabilité qu'une corde prise au hasard soit plus petite que le côté du triangle équilatéral inscrit ?". Cette question est précise : on demande la probabilité. C'est au matheux de trouver la bonne méthode de calcul. Le hasard est unique, il n'y a aucun doute que la question est parfaitement précise. La difficulté consiste à trouver la bonne réponse, et ce n'est pas au choix.

Non cette réponse n'est pas unique, comme l'explique très bien Harthong et tous les autres :
il y a plusieurs manière de prendre une corde "au hasard". Et ces manières aboutissent à des résultats différents.

Si tu précises la manière de prendre la corde au hasard, alors la réponse devient unique.


Mais si tu crois vraiment à ton affirmation, expliques moi donc, quand je choisit les deux extrémités de la corde en faisant tourner le cercle sur lui même :
- je ne suis pas en train de choisir une corde "au hasard" ?
- j'obtiens la même probabilité que quand je choisis une corde avec un fétu de paille ?

@Sylviel : j'ai proposé une définition qui est peut être contestable, comme toutes définitions, mais au moins elle a le bon goût d'exister.

@Dattier : tu créé de toute pièce ta définition "tirage uniforme". Cette définition t'es propre et n'est certainement pas attaché à la question du paradoxe de Bertrand.
D'ailleurs dans l'énoncé, rappelé par Dlz, il n'est même pas mentionné que le tirage est "uniforme". Et comme en maths ce n'est pas "comme on veut" tu ne peux pas
ajouter une définition personnelle pour dire "avec ma définition, le problème est bien défini et la solution est unique".

Par ailleurs ta définition est difficile à suivre, on ne sait pas ce qui est une hypothèse, ce qui est une conclusion, etc...

Mais dans tous les cas je ne remets certainement pas en question le fait que, si on ajoute des hypothèses, alors le problème est bien posé.
Mais "choisir une corde au hasard" n'a pas une seule interprétation possible.

Unknown a écrit:il y a plusieurs manière de prendre une corde "au hasard". Et ces manières aboutissent à des résultats différents.

Oui, il y a plusieurs manières de prendre une corde au hasard, mais il ne s'agit pas de "prendre une corde" il s'agit d'observer comment le hasard dessine la corde. Le seul mot important dans l'énoncé est "hasard", c'est la raison pour laquelle J.H. a choisi cela pour l'introduction à son chapitre sur le hasard.

@Sylviel : Le vrai hasard est forcément uniforme : il ne privilégie aucune valeur cf le cours de Harthong.

Oui, il y a plusieurs manières de prendre une corde au hasard, mais il ne s'agit pas de "prendre une corde" il s'agit d'observer comment le hasard dessine la corde. Le seul mot important dans l'énoncé est "hasard", c'est la raison pour laquelle J.H. a choisi cela pour l'introduction à son chapitre sur le hasard.

Ta capacité à comprendre l'inverse de ce qui est écrit est exceptionnelle.

Harthong dis exactement la même chose que tous les mathématiciens qui parlent du paradoxe de Bertrand

@Sylviel : Le vrai hasard est forcément uniforme : il ne privilégie aucune valeur cf le cours de Harthong.

Il ne doit donc pas privilégier de couple d'extrémités de la corde.
C'est donc le modèle 1 qui est le seul "vrai hasard". Et tirer avec les fétu de paille n'est pas un "vrai hasard".

Il ne doit donc pas privilégier un point pour être un milieu de corde plutôt qu'un autre.
C'est donc le modèle 3 qui est le seul "vrai hasard". Et tirer avec les fétu de paille n'est pas un "vrai hasard".


Tu es très fort en sophisme Dattier.

Je suis désolé mais c'est comme cela que les maths avance en définissant des choses aujourd'hui, mal définie hier ( en fabriquant aujourd'hui des concepts qui n'existaient pas hier).

Je maintiens que ma définition est raisonnable, tu n'en es pas satisfait propose en une autre.

Ps : je rappelle qu'ici il est question de tirer une corde (et non un milieu de corde ou autre) de manière uniforme.

Je suis désolé mais ce n'est pas comme cela que les maths avancent.


Et comme en maths ce n'est pas "comme on veut", tu ne peux pas définir une définition a posteriori et dire "c'est ce que voulait dire cet énoncé".
Celui qui pose les définitions c'est celui qui pose la question, pas celui qui réponds qui fait "comme il veut". Sauf Dlzlogic, qui a toujours fait ainsi.