Histoire d'interpolation.

Bonjour,
Je me pose le problème suivant.
On est en géométrie cotée, c'est à dire que les images sont définies en plan, donc contiennent un couple de coordonnées X,Y et les points sont connus en Z. La différence avec la géométrie dans l'espace, c'est à dire 3D, est que le plan P horizontal reste horizontal et que la distance entre 2 points est celle de leurs projections sur le plan horizontal.
Cette géométrie est utilisée pour la cartographie. Une application est la connaissance et la visualisation d'un terrain avec son relief. Si on veut changer de point de vue, il est clair que l'on ne fait pas une transformation du terrain, en particulier, un rotation, mais on change la position du point de vue.
Pour la représentation, la méthode la plus courante est le tracé des courbes de niveau. On connait des points du terrain, c'est à dire, la position en plan et l'altitude.
Il est habituel de déterminer des triangles qui constituent des facettes planes qui permettent de calculer l'altitude de tout point intérieur. La détermination de ces triangles peut se faire par la méthode de Delaunay.

Imaginons que pour une raison quelconque, au lieu d'avoir un triangle on ait un quadrilatère. Comment calculer l'altitude d'un point ?
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Je rappelle le principe de l'interpolation linéaire.
Soient deux points A et B ayant chacun une caractéristique, l'altitude dans notre exemple et un point P compris entre ces deux points, dont on cherche à calculer la caractéristique. Il est clair que cette valeur est inconnue, que l'on n'a aucun moyen de la vérifier, donc on cherche la valeur la plus probable. Cette valeur est donnée par une moyenne pondérée. La difficulté consiste à déterminer le poids à prendre en compte. Dans le cas qui nous intéresse, c'est la distance du point P par rapport à A et B. Analytiquement, les points A et B déterminent une droite. Par hypothèse le point P appartient au segment AB, donc, appartient à la droite définie par AB, c'est la raison pour laquelle on parle d'interpolation linéaire. Cette méthode intuitive est justifiée par le postulat de la moyenne, fondamental dans la théorie des probabilités.

Dans le cas d'un point P intérieur à un triangle ABC, ce point n'appartient à aucun segment connu, la méthode consiste à calculer un point M, intersection de la droite définie par l'un des sommets, par exemple A, et le point P, avec le côté opposé BC. On peut calculer l'altitude du point M appartenant au côté BC, puis celle du point P appartenant au segment AM.

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