Un problème de régression inhabituel.

Bonjour,
https://www.maths-forum.com/superieur/regression-non-lineaire-erreur-standard-regression-t210267.html
Bon, d'abord il y a une erreur d'interprétation de l'expression "régression linéaire".
Une régression est linéaire si on peut résoudre le problème par la résolution d'un système linéaire.

Saur erreur, la fonction a/(1+b.x^c) se calcule par une méthode de régression linéaire, et encore, sous réserve de vérification, elle est monotone. Il me semble bien que je l'ai dans mon arsenal de fonctions de régression. Elle a la caractéristique de posséder une asymptote verticale et une asymptote horizontale.

Pas besoin d'aller chercher des explications compliquées.
Par contre, il faut que je vérifie, je ne suis pas sûr que je calcule le coefficient de détermination R². Mais je suis sûr que je calcul une valeur qui fournit la qualité du résultat.

Donc, si on me communique la liste de XY je pourrai calculer la fonction et la précision obtenue.

Bpnjour,
Hier, j'avais lu un peu vite cette phrase,
" un équivalent à R² (coefficient de détermination linéaire) pour une régression non-linéaire est de calculer l'erreur standard de régression ."
elle est tout à fait justifiée.
D'abord, il faut comprendre que une régression non linéaire est une régression qu'on sait calculer par des méthodes non habituelles. C'est le cas par exemple des régressions coniques. Jean Jacquelin a beaucoup étudié ces types de régressions.
Et, la seule utilité du coefficient R² est de pouvoir comparer des résultats avec des données comparables. Le coefficient R² n'a qu'une valeur relative.
Par contre, l'écart-type a une valeur numérique qui est dans la même unité que la valeur Y calculée.
ll se trouve que pour un certain nombre de raisons, la meilleure valeur de R² n'est pas forcément la meilleure valeur de l'écart-type. Conclusion, je calcule et j'affiche les deux valeurs.
F.E. a fait un calcul, je vais faire le même et voir les conclusion que je peux en tirer

J'ai fait le test suivant. J'ai généré une liste telle que Y = A / (1 + B.x^C) A=300 B=0.5 C=1.10
Les valeurs de X étant prises aléatoirement entre 10 et 100, les valeurs de Y calculées ont été modifiées aléatoirement entre -3 et +3.
Puis j'ai appliqué la fonction de régression linéaire.

Code:

/*A=300.00  B=0.50  C=1.10
*/
80.00 7.73
57.00 7.54
34.00 9.40
18.00 21.84
50.00 7.22
44.00 7.55
16.00 24.54
79.00 3.15
82.00 5.03
82.00 5.52
71.00 7.05
32.00 13.92
27.00 17.93
78.00 6.03
21.00 22.34
17.00 25.92
87.00 7.18
42.00 10.58
59.00 9.04
86.00 3.32
96.00 1.97
56.00 9.52
80.00 4.28
64.00 3.37
50.00 5.10
9999 9999
9999
N° 1  x=80.00 y=7.73
N° 2  x=57.00 y=7.54
N° 3  x=34.00 y=9.40
N° 4  x=18.00 y=21.84
N° 5  x=50.00 y=7.22
N° 6  x=44.00 y=7.55
N° 7  x=16.00 y=24.54
N° 8  x=79.00 y=3.15
N° 9  x=82.00 y=5.03
N° 10  x=82.00 y=5.52
N° 11  x=71.00 y=7.05
N° 12  x=32.00 y=13.92
N° 13  x=27.00 y=17.93
N° 14  x=78.00 y=6.03
N° 15  x=21.00 y=22.34
N° 16  x=17.00 y=25.92
N° 17  x=87.00 y=7.18
N° 18  x=42.00 y=10.58
N° 19  x=59.00 y=9.04
N° 20  x=86.00 y=3.32
N° 21  x=96.00 y=1.97
N° 22  x=56.00 y=9.52
N° 23  x=80.00 y=4.28
N° 24  x=64.00 y=3.37
N° 25  x=50.00 y=5.10
Régression linéaire Y=A + B * X              nbpts=25  A = 23.5  B = -0.242  R2 = 0.753 (emq=3.509)
Ajustement exponentiel Y=A * e puis(B * X)  nbpts=25  A = 30.0  B = -0.0237  R2 = 0.769 (emq=2.661)
Ajustement logarithmique Y=A + B * ln(X)    nbpts=25  A = 55.7  B = -11.8  R2 = 0.882 (emq=2.429)
Ajustement puissance  Y=A * X puiss(B)      nbpts=25  A = 539.  B = -1.08  R2 = 0.797 (emq=1.952)
Ajustement hyper-logarithmique Y=A + B * ln(X)/X    nbpts=25  A = -4.81  B = 173.  R2 = 0.921 (emq=1.978)
Régression suivant la courbe de Gauss    NON TRAITE
Conseil : si les valeurs de Y sont du même ordre que les valeurs de X,
 essayer de diviser les valeurs de Y par 10.

Le meilleur, courbe Hyper-logarithmique



Il est clair que la formule que j'appelle "hyper-logarithmique" est très bonne R²=0.921. L'écart-type 1.978 est homogène avec le "bruit" appliqué à Y.
Ceci confirme mes messages précédents.
On observe que l'écart-type avec l'ajustement puissance 1.952 est plus petit que celui adopté, par contre le coefficient R² est moins bon. On peut démontrer que le choix de la fonction Y = A+ln(X)/X est meilleur que l'ajustement puissance.
Pour mémoire, un ajustement exponentiel à 3 paramètres est légèrement meilleur.
Ajustement exponentiel Y= A + B * exp(C * X) A = 3.75 B = 44.9 C = -0.0465 (emq=1.86)

Bonjour,
C'est dommage que ce sujet n'ait pas provoqué plus d'intérêt.
Le problème posé n'a pas été clairement défini. Je pourrai le poser comme suit :
J'ai une liste de couples XY de valeurs observées.
Je cherche à établir une fonction Y = f(X).
Par intuition, j'ai opté pour une fonction de la forme y=a/(1+bx^c).
Cette fonction a donc 3 paramètres.
Par itération j'ai réussi a déterminer les paramètres a, b et C.
Je cherche à calculer le coefficient R² de détermination.

On peut considérer que un forum de math est utile pour aider les membres qui posent une question.
Avant de lui donner une réponse du type "T'as qu'à lire cet article" ou "Pourquoi pénaliser un résultat", il serait bon de savoir dans quel contexte cette question est posée, on peut imaginer soit un exercice, en ce cas il me parait utile de connaitre l'énoncé exact, soit un problème réel, dans ce cas les réponses qui ont été données sont sans grand intérêt et il est assez logique qu'il n'y ait pas d'autre réaction.
D'ailleurs, par simple curiosité, j'aimerais bien savoir comment Jonses a fait pour déterminer ces 3 paramètres. S'il a effectivement utilisé la méthode décrite dans l'article de Wikipedia, il me parait suffisamment compétent pour savoir que le calcul du coefficient R² ne présente d'intérêt que pour des comparaison avec d'autres formules pour pouvoir choisir la meilleure et que le plus important est de connaitre la précision du résultat, c'est à dire l'écart-type résultant.  
Pour mémoire, j'ai fait le calcul de l'exemple de Wiki et j'obtiens ça :
Régression linéaire Y=A + B * X              nbpts= 7  A = 0.111  B = 0.0657  R2 = 0.747 (emq=0.053)
Ajustement exponentiel Y=A * e puis(B * X)   nbpts= 7  A = 0.101  B = 0.383  R2 = 0.588 (emq=0.072)
Ajustement logarithmique Y=A + B * ln(X)     nbpts= 7  A = 0.227  B = 0.0617  R2 = 0.862 (emq=0.039)
Ajustement puissance  Y=A * X puiss(B)       nbpts= 7  A = 0.203  B = 0.410  R2 = 0.884 (emq=0.038)
Ajustement hyper-logarithmique Y=A + B * ln(X)/X     nbpts= 7  A = 0.223  B = 0.00214  R2 = 0.428 (emq=0.079)
Régression suivant la courbe de Gauss     NON TRAITE
Conseil : si les valeurs de Y sont du même ordre que les valeurs de X,
essayer de diviser les valeurs de Y par 10.
Le meilleur, courbe Puissance

On pourra lire une petite explication de cette question de régression :
http://www.dlzlogic.com/aides/Regres_lineaire.pdf

Bon, le sujet revient sur le tapis. Malheureusement Sk. et F.E. discutent de méthode de calcul et non pas du fond, c'est à dire
1- comment calculer une régression
2- examiner la qualité du résultat.
J'ai cru comprendre que Sk. était surtout physicien. C'est tout de même assez étonnant que les notions de précision ne soient pas plus claires dans son esprit.
D'autre part, si on veut discuter dans un cadre de valeurs numériques, il me parait indispensable de joindre au moins une liste d'une vingtaine de couples XY, de façon que chacun puisse faire des calcul sur les mêmes hypothèses.
Plutôt qu'afficher un code, quel que soit le langage, il vaut mieux afficher un algorithme en français.