Absence de "rattrapage"

Rebonjour,

Dommage, Dlzlogic a fermé le fil "Lois sans mémoire ..." alors que j'avais une nouvelle information à apporter. Ça devient une habitude assez désagréable quand Dlzlogic est à court d'argument et ne sait plus que faire des dénigrements de personne ou des dénigrements de l'ensemble des matheux.
Dlzlogic, qui n'a jamais produit aucune simulation à l'appui de l'existence de son prétendu "rattrapage", met en cause le générateur de nombres pseudo-aléatoires (MT19937) de python utilisé pour les simulations que j'ai faites et qui montrent à l'évidence qu'il n'y a aucun "rattrapage".
Essayons de faire les mêmes tests en prenant comme source d'aléa les décimales de pi, de e, de racine de 2. J'ai à ma disposition 5 millions de décimales, ce qui limite les possibilités par rapport au générateur de nombres pseudo-aléatoires. (Si quelqu'un a d'autres fichiers de décimales, je suis preneur).

Avec un million de décimales de pi :
Pour 5000 suites de tirages à pile ou face de longueur 2*100 :
906 ont pile en avance d'au moins 10 au bout de 100 tirages
et pour celles-ci la moyenne des piles dans les 100 tirages
suivants est 50.21

Avec le premier million de décimales de e :
Pour 5000 suites de tirages à pile ou face de longueur 2*100 :
928 ont pile en avance d'au moins 10 au bout de 100 tirages
et pour celles-ci la moyenne des piles dans les 100 tirages
suivants est 49.82

Avec le deuxième million de décimales de e :
Pour 5000 suites de tirages à pile ou face de longueur 2*100 :
916 ont pile en avance d'au moins 10 au bout de 100 tirages
et pour celles-ci la moyenne des piles dans les 100 tirages
suivants est 49.96

Avec le premier million de décimales de racine(2) :
Pour 5000 suites de tirages à pile ou face de longueur 2*100 :
917 ont pile en avance d'au moins 10 au bout de 100 tirages
et pour celles-ci la moyenne des piles dans les 100 tirages
suivants est 50.08

Avec le deuxième million de décimales de racine(2) :
Pour 5000 suites de tirages à pile ou face de longueur 2*100 :
953 ont pile en avance d'au moins 10 au bout de 100 tirages
et pour celles-ci la moyenne des piles dans les 100 tirages
suivants est 49.61

Où ça, le "rattrapage" ?

Ah, j'ai trouvé un fichier avec 10 millions de décimales de pi :
https://introcs.cs.princeton.edu/java/data/pi-10million.txt
Ça me pemet de faire 9 nouveau tests :

Pour 5000 suites de tirages à pile ou face de longueur 2*100 :
1003 ont pile en avance d'au moins 10 au bout de 100 tirages
et pour celles-ci la moyenne des piles dans les 100 tirages
suivants est 50.25

Pour 5000 suites de tirages à pile ou face de longueur 2*100 :
926 ont pile en avance d'au moins 10 au bout de 100 tirages
et pour celles-ci la moyenne des piles dans les 100 tirages
suivants est 50.17

Pour 5000 suites de tirages à pile ou face de longueur 2*100 :
905 ont pile en avance d'au moins 10 au bout de 100 tirages
et pour celles-ci la moyenne des piles dans les 100 tirages
suivants est 49.97

Pour 5000 suites de tirages à pile ou face de longueur 2*100 :
920 ont pile en avance d'au moins 10 au bout de 100 tirages
et pour celles-ci la moyenne des piles dans les 100 tirages
suivants est 50.24

Pour 5000 suites de tirages à pile ou face de longueur 2*100 :
942 ont pile en avance d'au moins 10 au bout de 100 tirages
et pour celles-ci la moyenne des piles dans les 100 tirages
suivants est 50.10

Pour 5000 suites de tirages à pile ou face de longueur 2*100 :
935 ont pile en avance d'au moins 10 au bout de 100 tirages
et pour celles-ci la moyenne des piles dans les 100 tirages
suivants est 49.81

Pour 5000 suites de tirages à pile ou face de longueur 2*100 :
942 ont pile en avance d'au moins 10 au bout de 100 tirages
et pour celles-ci la moyenne des piles dans les 100 tirages
suivants est 49.90

Pour 5000 suites de tirages à pile ou face de longueur 2*100 :
871 ont pile en avance d'au moins 10 au bout de 100 tirages
et pour celles-ci la moyenne des piles dans les 100 tirages
suivants est 49.90

Pour 5000 suites de tirages à pile ou face de longueur 2*100 :
863 ont pile en avance d'au moins 10 au bout de 100 tirages
et pour celles-ci la moyenne des piles dans les 100 tirages
suivants est 49.96

Dlzlogic, pensez-vous que pi triche ?

Bon, j'ai le choix entre deux "vérités"
Soit l'application de la loi des grands nombres qui est une loi du monde réel observable. C'est le premier théorème de Bernoulli, donc c'est démontré, avec toute la rigueur mathématique.
Soit un postulat du niveau lycée : l'équiprobabilité.
Personnellement j'ai choisi depuis longtemps. En fait, ça ne sert pas à grand-chose, puisque je ne suis pas joueur, mais ça m'aide à comprendre l'intérêt de la statistique, la validation de la mesure, des contrôles etc.
Par contre, vous ne vous demandez pas comment ça se fait qu'elle sache que de toute façon elle doit tomber équitablement sur chacune des faces, moi, je suis beaucoup moins poète, je sais qu'il y a une loi du monde réel observable, ça passe avant toute considération sur le hasard.

Concernant le rapport entre l'équiprobabilité exacte et celle du hasard, je l'ai évalué approximativement à 2%, donc, difficile à détecter. Par contre, j'ai observé que l'écart sut vos résultats sont de l'ordre de 0.2 ou 0.3% ce qui correspond à ce que j'avais observé sur les résultats de la méthode mersenne twist, la répartition est plus fine. Ce n'est pas du tout la même technique que la méthode GenRand ou le but est de tenir compte des résultats précédents.

Je n'ai toujours pas compris pour quelle raison ce sujet vous tracasse tellement.
Par exemple, si c'était faux, comment justifiez-vous la statistique.
En fait je connais la réponse
1- la statistique est l'affaire des statisticiens, eux savent pourquoi, ça ne me regarde pas
2- tout le monde dit que la pièce a une chance sur 2 de tomber sur pile, rien à voir avec la loi des grands nombres.

Dlzlogic a écrit:Bon, j'ai le choix entre deux "vérités"
Soit l'application de la loi des grands nombres qui est une loi du monde réel observable. C'est le premier théorème de Bernoulli, donc c'est démontré, avec toute la rigueur mathématique.
Soit un postulat du niveau lycée : l'équiprobabilité.

C'est votre erreur fondamentale de penser que les deux s'opposent.
L'équiprobabilité des suites de n tirages à pile ou face, c'est
- le fait que la pièce est parfaitement équilibrée (une chance sur deux pour pile, une sur deux pour face)
- le fait que les tirages sont totalement indépendants les une des autres
Or justement la loi des grands nombres se démontre, avec toute la rigueur mathématique, sous cette hypothèse d'indépendance (vous vous souvenez, le premier i dans i.i.d., c'est pour "indépendantes").

Vous devriez être content, vous n'avez pas à choisir, vous pouvez garder les deux ! Et la loi des grands nombres, et l'équiprobabilité des suites de tirages à pile ou face qui entraîne qu'il n'y a aucun "rattrapage" tel que vous le formulez.
Vous pouvez garder la loi des grands nombres, et ne pas vous opposer à la réalité amplement démontrée par les simulations que j'ai faites.

Une chose encore à propos de ce passage totalement incompréhensible :

Concernant le rapport entre l'équiprobabilité exacte et celle du hasard, je l'ai évalué approximativement à 2%, donc, difficile à détecter. Par contre, j'ai observé que l'écart sut vos résultats sont de l'ordre de 0.2 ou 0.3% ce qui correspond à ce que j'avais observé sur les résultats de la méthode mersenne twist, la répartition est plus fine. Ce n'est pas du tout la même technique que la méthode GenRand ou le but est de tenir compte des résultats précédents.

La dispersion des résultats des tests ci-dessus n'a absolument rien à voir avec MersenneTwister puisque, je vous le rappelle, les tests ont été faits en prenant comme source d'aléa les décimales de constantes mathématiques. Elle a juste à voir avec les résultats mathématiques de base de la théorie des probabilités.
Remarquez d'abord le nombre de suites de tirages parmi les 5000 où pile est en avance d'au moins 10 à l'issue des 100 premiers. L'espérance de ce nombre se calcule théoriquement avec la loi binomiale, c'est 920 (l'approximation par la loi normale n'est pas terrible dans ce cas, elle donne seulement 793 ce qui visiblement ne colle pas avec les résultats). L'écart-type se calcule aussi facilement, c'est 27.4. Les résultats des tests sont bien conformes à cela.
Pour les moyennes de piles dans les 100 tirages suivants, l'espérance est bien sûr 50 et l'écart-type calculé théoriquement est 0.16. La encore, vous constatez que la distribution des moyennes est tout à fait dans ces clous.

Oui, vous confirmez ce que je constate malheureusement trop souvent : "En maths, c'est comme on veut".
C'est exactement le problème de la corde de Bertrand, suivant la façon dont on regarde le problème, on a des résultats différents.
Ce n'est pas pour rien que j'évoque souvent cet exemple de la corde de Bertrand. La théorie des probabilités est une réalité, les matheux refusent de comprendre cela. Ce qui est tout de même très ennuyeux est qu'ils réussissent à polluer la compréhension de braves gens et d'étudiants.

Un mot sur l'indépendance.
Chaque issue d'une expérience donnée est liée, c'est à dire non-indépendante, à toutes les autres issue de la même expérience par la loi des grand nombres.
Par contre l'indépendance concerne la modification de la probabilité relative à un évènement selon l'issue d'un évènement d'une autre expérience. Il y a là, en général, une nécessité de chronologie : suivent l'issue de l'expérience A les probabilités rattachées à l'expérience B varient.
Dans le cas de pile ou face ou de toute autre expérience ordinaire, c'est à dire mesure ou observation d'une même chose, la non-dépendance est faible, je l'estime à 2%, mais elle existe, sinon une statistique n'aurait aucun sens. Ce n'est pas le cas d'une expérience sans mémoire où l'issue d'un évènement donné est liée à une cause extérieure. D'ailleurs, c'est assez amusant le définition donnée : "sachant X une situation connue, l'issue de l'évènement étudié est indépendante de X".

"Chaque issue d'une expérience donnée est liée, c'est à dire non-indépendante, à toutes les autres issue de la même expérience par la loi des grand nombres."

oui au niveau mondial,
mais pas seulement, il est probable que des extra-terrestres lancent des pièces aussi,
et cela fait partie de la grande loi des grands nombres,
si on réunit toutes les pièces de tous les pays, de toutes les galaxies.

C'est marrant que vous mettiez en doute le loi normale. Ce que vous ignorez manifestement est que la loi normale est une loi du monde réel, alors que la loi binomiale est une loi mathématique.
Alors nouvelle question : dans une expérience, quelle loi choisir, la loi binomiale ou la loi normale ?

Il y a eu tout de même deux expériences très détaillées, celle des 12 dés à 1000 faces de Gbzm et celle du fichier des températures journalières sur 54 ans. Bien-sûr tout ça c'était du bidon.

Dlzlogic a écrit:Alors nouvelle question : dans une expérience, quelle loi choisir, la loi binomiale ou la loi normale ?

On dévie du sujet (je reviendrai au sujet plus tard), mais je saisis la balle au bond.
On fait 10 000 séries de 100 lancers à pile ou face avec une pièce équilibrée. Combien y a-t-il de séries parmi ces 10 000 où pile mène sur face à l'issue de ces 100 lancers avec au moins 20 points d'écart (au moins un score 60-40, d'accord ce n'est pas vraiment un score poutinien mais on s'en contentera). On demande l'espérance de ce nombre (ou la valeur probable, la moyenne du premier ordre si vous préférez) et l'écart-type.
Faut-il choisr la loi binomiale ou la loi normale pour cette expérience?
On exige une démonstration rigoureuse, ou à défaut une simulation. Une démonstration vérifiée par une simulation serait le top.

Bonsoir,


@GBZM : c'est normal que tu ne constates pas de rattrapage avec le générateur de Python, c'est le contraire qui serait étonnant.
En effet si on constatait un rattrapage alors cela serait un motif pour jetter aux orties le générateur de Python pour en prendre un autre, car il ne serait pas conforme à l'idée que se font les matheux du hasard.

@Dlzlogic : D'où vient c'est idée bien en ancré en toi, que dans un pile ou face il y a du rattrapage :

1) tu le constates de par ton expérience ?

2) tu en as une démonstration, alors chacun d'entre nous est impatient de la connaître ?

3) Aucun de ces 2 cas, et alors sur quoi repose pour toi, cette idée de rattrapage ?

PS : je répéte dire que P_n/n tend vers 1/2 ne veux pas dire que P_n-F_n se rapproche de 0.


Bonne soirée.

Bonjour Dattier,

il ne serait pas conforme à l'idée que se font les matheux du hasard.

Je dirais plutôt qu'il ne serait pas conforme au cahier des charges : produire une distribution uniforme, avec indépendance entre les appels.

1) on non, pas l'expérience. Celle de Le_jeu, avant que Nuage n'arrive avec GenRand, qui a fait une simulation incontestable, m'a suffit.
2) la loi des grands nombres et très claire. C'est la notion de "tend vers" qui ne semble pas claire pour tout le monde.
3) à titre personnel, cette notion de rattrapage m'est parfaitement égale, par contre elle est très claire pour tous ceux qui ont des notions de probabilités.
Je pense que pour comprendre tout ça il est indispensable d'admettre le postulat de la moyenne. Il est intuitif, mais il est fondamental d'en prendre conscience. C'est un postulat du monde réel, et c'est pas un choix des matheux. On ne peut pas l'éviter.

Par ailleurs, j'imagine bien que les profs de math, pour se simplifier la vie, disent que pile/face sont équiprobable, c'est beaucoup moins compliqué que de parler de la loi des grands nombres.

Petit essai de démonstration : on fait un sondage d'opinion. Supposons que le résultat vrai soit 50/50. Les 500 premiers interrogés donnent un score de 48/52. Quand je dis les 500 premiers, ce ne sont pas forcément les 500 premières personnes, mais les 500 papiers comptabilisés. Que vont donner les 500 suivants, 50/50 comme le prétend Humx3 ou 52/48 ? Ou autrement, pourquoi interroge-t-on 1000 personnes, alors que 500 suffiraient ?
Evidemment que tout cela est soigneusement connu, mais pas par tout le monde.

Hum a écrit:Je dirais plutôt qu'il ne serait pas conforme au cahier des charges : produire une distribution uniforme, avec indépendance entre les appels.

Il me semble bien que l'on a vérifié la distribution normale des mots de 3 chiffres consécutifs. Pour information chaque nombre d'une liste produite par générateur de nombre aléatoire est calculé à partir du précédent. Peut-on alors parler d'indépendance ?

Dlzlogic a écrit:C'est la notion de "tend vers" qui ne semble pas claire pour tout le monde.

Ok.

Selon toi vers quoi tend P_n/n=(1/2*n+racine(n))/n et si F_n=(1/2*n-racine(n)), vers quoi tend P_n-F_n=2*racine(n) ?

@ Dattier,
La théorie des probabilité date d'avant l'invention des signes cabalistiques pour écrire des formulation mathématiques.
La réalité de ce qui concerne le hasard existait bien avant que l'homme ne cherche à tout expliquer, y compris chez les extraterrestres.
Je connais bien ces contre-arguments du soi-disant flou de la "limite" d'une probabilité, ce qui n'empêche pas certains calculateur de donner des résultats avec une dizaine de décimales. On estime habituellement qu'une valeur dont l'écart à la moyenne dépasse 4 écart-probables est douteuse. Pour rappel un écart-probable est égal à 2/3 de l'écart moyen quadratique, nommé maintenant "écart-type".

Je rappelle les affirmations :

On considère un grand nombre de suites de 200 tirages à pile ou face telles que dans la première centaine pile est en avance d'au moins 10 sur face.
Moi : la moyenne du nombre de piles dans la deuxième centaine est 50, les résultats de la première centaine n'ont aucune influence sur la deuxième.
Vous : la moyenne du nombre de piles dans la deuxième centaine est moins de 50 pour qu'il y ait rattrapage (puisqu'il y avait plus de piles dans la première centaine).

Je rappelle aussi :
1°) Toutes les études probabilistes sur les suites de tirages à pile ou face (y compris page 143 dans le cours de Levallois) sont basées sur l'équiprobabilité des 2ⁿ suites de n tirages, qui implique immédiatement mon affirmation (qui est en fait celle de toutes les personnes ayant un minimum de connaissances en probabilité et de capacité à raisonner) .
2°) Vous n'avez aucun argument mathématique justifiant votre opinion. Vous avancez toujours la loi des grands nombres, or la loi des grands nombres pour les suites de tirages à pile ou face de démontre sous l'hypothèse d'équiprobabilité. Il n'y a donc absolument aucune contradiction entre les deux.
3°) Toutes les simulations que j'ai faites (y compris celles en prenant pour source d'aléa les décimales de constantes mathématiques) confirment mon affirmation.
4°) Vous vous référez sans cesse à Le_Jeu, vous avez la référence, un lien ? Vous n'avez jamais vous-même produit la moindre expérience à l'appui de votre opinion. Pourtant, le propre d'un fait scientifique est d'être reproductible, or vous êtes bien incapable de le reproduire.

Bonne nuit.

Toujours la même question à laquelle vous ne répondez pas : pourquoi cette histoire de rattrapage vous tracasse.
Pour moi, c'est sans intérêt, juste une conséquence directe et simple de la loi des grands nombres.
Naturellement, il faut comprendre la loi des grands nombres, et celle-là comme les autre lois de la théorie des probabilités, n'est pas "au choix".

Naturellement, il faut comprendre la loi des grands nombres, et celle-là comme les autre lois de la théorie des probabilités, n'est pas "au choix".

Tout à fait d'accord. Mais ça n'a pas l'air simple pour vous de comprendre que la loi des grands nombres n'est absolument pas contradictoire avec l'équiprobabilité des 2ⁿ suites de n tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée. Bien au contraire, puisque la loi des grands nombres pour les suites de tirages se démontre à partir de cette équiprobabilité. Ce qui me pose question, ce n'est pas le "rattrapage" qui n'est qu'un fantasme, mais.ce manque total de compréhesion de votre part.

À demain.

Il me vient une idée, je me demande si le souhait des matheux n'est pas justement de conserver ce choix, comme les trois hypothèse dans l'histoire de Bertrand, là c'est le choix entre équiprobabilité d'ensemble ou équiprobabilité ponctuelle.
D'une certaine façon, le but poursuivi n'est pas le but à atteindre, mais la manière d'y arriver.
En d'autres termes, les buts des matheux sont très incompatibles avec les buts des utilisateurs, à tous les niveaux.
Je crois que je suis sur la bonne voie.

Bonjour Dlzlogic,
Essayez de mettre de côté un instant votre phobie des mathématiques.
Qu'appelez-vous "équiprobabilité d'ensemble" ?  Le fait que les 2ⁿ suites possibles de n tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée aient toutes la même probabilité, à savoir 1/2ⁿ  ?
Dites- moi le fond de votre pensée, sans détour. Vous croyez que le "hasard pur" privilégie les suites de tirages où il y a à peu près autant de piles que de faces ? Que par exemple la suite de 100 tirages où on tire pile les coups pairs et face les coups impairs a plus de probabilité de sortir que 1/2¹⁰⁰ ? Et que la suite de tirages où on tire pile au 1^er coup et au 100^e et face tous les autres coups a moins de probabilité de sortir que 1/2¹⁰⁰ ?

Bonjour Hum,
Oh, mais moi je crois rien. J'applique la loi des grands nombre qui dit que lors d'expérience répétitive, le résultat tend vers la probabilité.
Quelle est la probabilité au jeu de pile ou face ? Si la pièce est équilibrée, c'est 1/2.
Cette loi a été démontrée. Les matheux ont réussi à en énoncer une faible et une forte, cela montre bien qu'ils n'ont pas compris le premier théorème de Bernoulli. Au passage, l'explication concernant le second est forcément perdu d'avance.
Quelqu'un a écrit "Les probabilités, c'est beaucoup trop important pour le confier à des matheux".

Je n'ai aucune phobie des mathématiques, au contraire. Par contre, j'ai observé des modifications bizarres depuis mes études, par exemple, autrefois, la définition d'une matrice à mon époque : "tableau à n lignes et p colonnes dont ...", maintenant tout tableau est appelé matrice, ou la définition d'un vecteur etc.

Je me suis surpris à écrire "équiprobabilité d'ensemble", ça ne veut pas dire grand-chose (il était passé minuit). Ce que je voulais dire c'est que en aucun cas l'élément ou le test immédiat n'est une conséquence ou une application de quoi que ce soit concernant la théorie des probabilités. Par exemple : on fait une mesure suivant un protocole bien défini. Pour certaines raisons cette opérations dure plusieurs jours. Le protocole précise en détail les conditions de la mesure. Quelles que soient les résultats intermédiaires, le protocole sera respecté. Puisqu'on enseigne la théorie des probabilités à des élèves qui n'en ont rien à faire, tout simplement parce qu'il ne comprennent rien, autant leur enseigner des choses justes.

Votre approche de la définition du terme "probabilité" est à revoir. Quand on calcule le nombre de cas favorables, c'est le nombre de cas qui rapproche de la probabilité du résultat de l'expérience. On m'a reprocher de "changer la probabilité", je ne change rien je la calcule à chaque instant.

De toute façon, c'est connu que les matheux ne comprennent pas la théorie des probabilités, j'essaye de répondre poliment à vos affirmations et certitudes diverses, j'apporte des preuves, d'autres l'ont fait avant moi, d'autres continueront, c'est comme ça. Ce qui est dommage, c'est que après avoir lu mon papier vous ayez compris l'énoncé et donné la solution de l'exercice sur la pêche et que vous ayez ajouté péremptoirement "c'est pas vrai".
Ce qui montre bien qu'aucun dialogue n'est possible et quand on observe l'utilisation de certaines méthode comme argument, alors on constate que c'est un refus non argumenté et non raisonné.

Vous n'avez pas répondu.
On étudie les suites de tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée.
Est-ce que les 2ⁿ suites possibles de n tirages ont toutes la même probabilité, à savoir 1/2ⁿ ?
C'est pourtant une question simple.

Il n'est pas possible de répondre à votre la probabilité d'un évènement n'est pas inscrite sur l'objet que l'on manipule.
Donc vous n'avez pas lu ce que j'ai écrit.
Pour quelle raison je devrais répondre à votre question, d'autant qu'elle n'a pas vraiment de sens.

Hum a écrit:On étudie les suites de tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée.
Est-ce que les 2^n suites possibles de n tirages ont toutes la même probabilité, à savoir 1/2^n ?

Pourquoi y aurait-il plusieurs suites ?
Une suite n'est définie que si sa longueur est précisée. Si vous aviez fait l'expérience avec les mots de 7 bits, vous comprendriez que votre question n'a pas de sens. Il est possible que vous confondiez "possibilités" et "probabilités".
Etant donné une situation précise, ou un énoncé précis, on peut généralement calculer la probabilité d'avoir un certain résultat. Un très bon exemple, la corde de Bertrand. On peut calculer sans ambiguïté la probabilité demandée, mais les matheux ne savent pas le faire.
Pour votre question, si vous aviez fait l'expérience, vous auriez bien constaté que la fréquence d'apparition des différentes suite est sensiblement différente et correspond à une répartition très précise. En d'autres termes si à un moment donné du tirage, l'une de ces suites est déficitaire elle a plus de chance que les autres.