Absence de "rattrapage"

Une suite n'est définie que si sa longueur est précisée.

Je l'ai précisée : une suite de n tirages.

Etant donné une situation précise, ou un énoncé précis, on peut généralement calculer la probabilité d'avoir un certain résultat.

C'est le cas ici : la situation est très précise, on fait une suite de n tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'avoir une suite donnée ? Par exemple, si n=10, quelle est la probabilité d'avoir PPFPFFFFFF  ?

Je repose ma question bien précise :
On fait une suite de n tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée.
Est-ce que les 2ⁿ issues possibles (les 2ⁿ suites de P ou F de longueur n) ont toutes la même probabilité 1/2ⁿ de sortir ?

Je ne sais toujours pas ce que vous cherchez, apparemment à confirmer votre ignorance de la théorie ds probabilités. Vous en êtes resté au niveau de l'analyse combinatoire.
Je confirme "soit une suite de n issues de pile ou face, la probabilité d'obtenir exactement une suite donnée de longueur n est égale à 1/2^n".
Ceci a été vérifié par le très grand nombre de tirages que j'ai fait et que j'ai mis en lien il n'y a pas très longtemps.
La simulation a été faite suivant le nombre de suites sans changement de face. La correspondance avec les probabilités théoriques a été vérifiée.
Ce que vous cherchez à me faire dire, c'est que si les probabilités étant "égales" pour une valeur isolée, elle seront toujours égales. Ben non, c'est pas vrai, et si c'était vrai la théorie des probabilité n'existerait pas.

Je confirme "soit une suite de n issues de pile ou face, la probabilité d'obtenir exactement une suite donnée de longueur n est égale à 1/2^n".

Enfin ! Nous sommes donc d'accord sur l'équiprobabilité, dans le cas de tirages avec une pièce équilibrée, des 2ⁿ résultats possibles, des 2ⁿ suites de P ou F de longueur n. Chacune a probabilité 1/2ⁿ de sortir.

Mais alors, je ne comprends plus très bien votre postion parce que :
1°) À partir de cette équiprobabilité, on peut démontrer le cas particulier de la loi des grands nombres : quand le nombre n de tirages tend vers l'infini, la fréquence des piles converge (en probabilité) vers 1/2.
2°) À partir de cette équiprobabilité, on peut aussi démontrer qu'il n'y a pas de "rattrapage" tel que vous le formulez. Précisément, on peut démontrer : si on fait une suite de 2*n tirages, alors, quel que soit le score de pile dans les n premiers tirages, la valeur probable (l'espérance) du nombre de piles dans les n derniers tirages est toujours exactement n/2.

Je peux faire ces deux démonstrations.

PS. Inutile de répéter en boucle que je n'y connais rien, que les matheux n'y connaissent rien. C'est une manière de vous rassurer vous-même ?

"Chacune a probabilité 1/2^n de sortir."
Je rectifie : Chacune a POSSIBILITE 1/2^n de sortir. C'est pas du tout le même chose.
La probabilité d'un évènement se calcule à tout instant et n'est pas écrite une fois pour toute.
Pour s'en convaincre il suffit de regarder des résultats. Il ne faut pas oublier que le hasard est une notion réelle du monde réel.
Si dans vos démonstrations vous ignorez le hasard et son influence, vous démonstrations ne valent rien.

Vous faites un pas en arrière. Décidément, vous n'êtes pas très sûr de vous.
Regardez, Levallois écrit bien "probabilité" et pas "possibilité" et il donne des valeurs exactes pour ces probabilités, exactement dans le même contexte des suites de tirages à pile ou face :
Sans doute que la démonstration de Levallois qui repose entièrement sur l'analyse combinatoire ne vaut rien non plus.

" La probabilité d'un évènement se calcule à tout instant et n'est pas écrite une fois pour toute."

ça alors,
c'est du bayesianisme?
Une probabilité à postériori , c'est ça ?

Ben oui, c'est la valeur de probabilité ponctuelle indépendamment de tout contexte.
Voue ne voulez pas essayer de comprendre et vous refusez de me dire en quoi ça vous gène.

@ Beagle,
Je ne critique pas de trucs concernant la médecine, alors fais de même concernant les probabilités.

Donc on lance une pièce d'équilibre inconnu,
on note les resultats
et a chaque résultat on redéfinit la probabilité pile ou face de cette pièce.

Mais bon, il s'agit de la meme pièce dans les memes conditions, pièce inconnue quant à ses probas etc...
loin de serie pile ou face quoi.

Dlzlogic a écrit:Ben oui, c'est la valeur de probabilité ponctuelle indépendamment de tout contexte.
Voue ne voulez pas essayer de comprendre et vous refusez de me dire en quoi ça vous gène.

Rien ne me gène,
mais ce ne sont pas les mèmes données de problème
Comme d'habitude tu fais autre chose que ce qui est décrit.

"soit une suite de n issues de pile ou face, la probabilité d'obtenir exactement une suite donnée de longueur n est égale à 1/2^n".

C'est sur cette affirmation que Levallois construit sa démonstration. Comme Levallois, on a précisé au départ que la pièce est équilibrée, 1/2 pour pile et 1/2 pour face.
Alors, Levallois se trompe, selon vous ? Sa démonstration ne vaut rien ?

Il se trouve que quand on fait un grand nombre de tirages à pile ou face, la répartition des écarts à la moyenne est cette décrite par la loi normale. Si le probabilité du tirage suivant était toujours la même, on aurait une distribution uniforme, or ce n'est pas le cas. Comment expliquer cela ?

Je vous demande : la démonstration de Levallois ne vaut rien ?

@ Hum, vous arrivez à faire dire à Leallois ce qu'il ne dit pas, c'est tout de même pas mal. J'admire votre aplomb.

Et moi, je vous demande en quoi ça vous gène que l'on parle de rattrapage ?

Alors expliquez pourquoi Levallois écrit que, quand on fait n tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée, la probabilité d'obtenir  p piles est 1/2ⁿ * C_n^p ? (C'est bien ça qu'il écrit, n'est-ce pas ?)
Il me semble que c'est assez clair : il y a C_n^p suite de piles ou faces de longueur n qui comptent p piles (et oui, c'est de la combinatoire), et CHACUNE DE CES SUITES DE PILE OU FACE A PROBABILTÉ 1/2ⁿ DE SORTIR.

Si vous comprenez autre chose, dites précisément quoi.

Vous employez une méthode connue : trouver un bout de phrase pour faire croire que vous avez raison.
Vous ne lisez pas ce que j'écris, vous ne faites pas les simulations et contrôlés que je propose.
Le rattrapage du retard est une conséquence directe mais peu sensible de la loi des grands nombres. Vous, vous préférez considérer que la probabilité de 1/2 est dans les gènes de la pièce, c'est votre droit.
Je pense qu'on s'est assez amusé.

Vous êtes à bout d'argument, coincé dans vos contradictions.
Vous allez fermer le fil, comme d'habitude.
Qui est gêné qu'on démontre que le "rattrapage" tel que vous le formulez n'est qu'un fantasme ?

Je vous ai proposé de faire deux démonstrations, sur la base de l'équiprobabilité comme pour la démonstration de Levallois :

1°) À partir de cette équiprobabilité, on peut démontrer le cas particulier de la loi des grands nombres : quand le nombre n de tirages tend vers l'infini, la fréquence des piles converge (en probabilité) vers 1/2.
2°) À partir de cette équiprobabilité, on peut aussi démontrer qu'il n'y a pas de "rattrapage" tel que vous le formulez. Précisément, on peut démontrer : si on fait une suite de 2*n tirages, alors, quel que soit le score de pile dans les n premiers tirages, la valeur probable (l'espérance) du nombre de piles dans les n derniers tirages est toujours exactement n/2.

Je les ferai demain matin.

Au fait, vous n'avez pas expliqué comment vous comprenez le texte de Levallois que j'ai scanné. Curieux ...

Ah, j'avais oublié :

Si le probabilité du tirage suivant était toujours la même, on aurait une distribution uniforme, or ce n'est pas le cas. Comment expliquer cela ?

Une distribution uniforme des écarts à la moyenne ? Comment voulez-vous que j'explique quelque chose qui est faux ?
Relisez le cours de Levallois, la partie qui commence par le texte que j'ai scanné et qui est basée sur l'équiprobabilité des 2ⁿ suites de tirages à pile ou face (si vous n'êtes pas d'accord, j'attends toujours votre explication de ce texte).

Pour qui vous prenez vous pour me parler sur ce ton ?

Tiens, mon message a été effacé.

Vous ne lisez pas ce que j'écris, vous ne faites pas les simulations et contrôlés que je propose

Toujours cette inversion accusatoire.

Ici Hum a fait de nombreuses simulations, avec générateurs de nombre aléatoire ou avec les décimales de nombres irrationnels.
Et tu n'expliques en rien où on devrait voir un "rattrapage du retard".

Toi tu n'as rien fait, rien proposé (mais prétends le contraire...)

Le rattrapage du retard est une conséquence directe mais peu sensible de la loi des grands nombres.

Et où est la démonstration de cette affirmation extravagante ?

On t'a expliqué 100 fois que c'était faux. Mais bien sûr tu refuses de regarder les explications. Tout comme tu refuses de donner le moindre
argument autre que d'affirmer que "c'est une conséquence directe" (mais sans expliquer pourquoi), et que "tout ceux qui connaisse les proba
le comprenne" sans comprendre pourquoi tu n'as trouvé personne (sauf Dattier, qui trolle) pour dire comme toi, et des dizaines de mathématiciens
pour te dire le contraire...


Petit rappel, si je regarde une suite de pile/face commençant par 1000 piles, puis alternant pile et face alors :
le nombre moyen de pile tends vers 0.5
le nombre moyen de face tends vers 0.5
(on a donc bien le résultat de la conclusion de la loi des grands nombre)
la différence entre le nombre de pile et de face reste TOUJOURS d'au moins 999
(donc pas de rattrapage).

Mais bien sûr, une fois de plus, tu ne liras pas.

J'ai promis une démonstration, la voici.

Comme d'habitude, on part d'une hypothèse. Ici, il s'agit de l'hypothèse que tous les scientifiques qui étudient les suites de tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée (ou les marches aléatoires symétriques, ce qui revient au même), font : quel que soit l'entier n, les 2ⁿ issues possibles d'une suite de tirages sont équiprobables, toutes de probabilité 1/2ⁿ.
La conclusion à laquelle je veux aboutir, c'est le cas particulier de la loi des grands nombres : la fréquence des piles tend vers 1/2 quand n tend vers l'infini.
Je vais employer la terminologie et les notations de Levallois, comme ça Dlzlogic ne sera pas perdu..

1°) Je commence avec le résultat qui découle de l'équiprobabilité et de l'analyse combinatoire : la probabilité d'obtenir p piles dans une suite de n tirages est 1/2ⁿ * C_n^p (Levallois, page 143 ligne 13).

2°) Je continue avec la valeur probable (moyenne du premier ordre, définition Levallois page 140 ligne 8 ) du nombre X_n de piles dans une suite de n tirages : c'est m₁(X_n) = Σ (1/2ⁿ * C_n^p) * p. Pour calculer cette somme, on peut utiliser la formule du binôme (1+x)ⁿ = Σ C_n^p * x^p, dériver pour obtenir n * (1+x)^n-1 = Σ C_n^p * p *x^p-1 et faire x=1 pour arriver à n * 2^n-1 = Σ C_n^p * p. En reportant dans l'égalité ci-dessus, on obtient m₁(X_n) = n/2, ce qui ne surprendra personne.

3°) Je continue avec la moyenne du second ordre (définition Levallois, page 140 ligne 12) : on a m₂²(X_n) = Σ (1/2ⁿ * C_n^p) * p². On dérive une fois encore l'égalité n * (1+x)^n-1 = Σ C_n^p * p *x^p-1 pour obtenir
n * (n-1) * (1+x)^n-2 = Σ C_n^p * p *(p-1) *x^p-2, d'où en faisant  x = 1
n * (n-1) * 2^n-2 = Σ C_n^p * p *(p-1) = (Σ C_n^p * p²) - (Σ C_n^p * p) = (Σ C_n^p * p²) - n * 2^n-1.
On en déduit m₂²(X_n) = (n * (n-1) / 4) + n/2 = (n² + n) / 4.

4°) Ceci permet d'obtenir l'erreur quadratique moyenne (écart-type) de X_n, notée η(X_n) par Levallois, au moyen de la formule (Levallois, page 140 ligne 22) η²(X_n) = m₂²(X_n) - m₁²(X_n) = ((n² + n) / 4) - (n/2)² = n/4.

5°) On applique ensuite l'inégalité de Bienaymé (Tchebychev), Levallois page 141 lignes 21-24, qui s'écrit
P(|X_n - m₁(Xⁿ)| >= k) <= (η²(X_n) / k²). On en déduit, en prenant k=n*ε,  P(|X_n/n - m₁(X_n)/n| >= ε) <= η²(X_n) / (n²*ε²), c'est-à dire P(|X_n/n - 1/2| >= ε) <= 1 / (4*n*ε²).

6°) La probabilité que la différence entre la fréquence du nombre de pile et 1/2 soit plus grande que  ε est donc majorée par
1 / (4*n*ε²) qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini. La fréquence converge bien en proba vers 1/2. Ce cas particulier de la loi des grands nombres est bien démontré sous l'hypothèse de l'équiprobabilité.

Dlzlogic, j'ai bien fait attention à mettre les références précises à Levallois pour que vous puissiez les retrouver. La démonstration utilise quelques outils mathématiques pas très compliqués, mais dont vous n'avez peut-être plus l'habitude. J'ai numéroté les étapes de la démonstration pour que vous puissiez y faire référence en cas de besoin.
Bonne lecture !

Bonjour,

Bien digéré cette démonstration ?
Ce qui a été démontré ci-dessus, sous l'hypothèse d'équiprobabilité, c'est (un cas particulier de) la loi faible des grands nombres, à savoir que pour tout ε >0, la probabilité que la valeur absolue de la différence entre la fréquence des piles sur n tirages et 1/2 soit inférieure à ε tend vers 1 quand n tend vers l'infini. En formule,
On peut aussi démontrer la loi forte des grands nombres dans ce cas particulier, à savoir que la probabilité que la fréquence des piles sur n tirages tende vers 1/2 quand n tend vers l'infini est égale à 1. En formule,
La démonstration de la loi forte est nettement plus compliquée, et elle est due à Kolmogorov (avec une pemière version due à Borel).

Bonjour,
C'est pas un peu hors-sujet ?

Bonjour Dlzlogic,
Le sujet est l'absence de "rattrapage". Cette absence de rattrapage est conséquence directe de l'équiprobabilité des 2ⁿ issues possibles des suites de n tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée.
Votre seul argument contre cette équiprobabilité est que ça contredirait la loi des grands nombres.
J'ai écrit pour vous la démonstration que, bien au contraire, l'équiprobabilité entraîne la loi des grands nombres pour les suites de tirages : la fréquence des piles pour n tirages tend vers 1/2 quand n tend vers l'infini.
Vous n'avez donc aucun argument contre l'absence de "rattrapage". C'est en plein dans le sujet.
Y a-t-il un point dans la démonstration que j'ai faite qui vous cause des difficultés ?

HumHumHum a écrit:Vous n'avez donc aucun argument contre l'absence de "rattrapage".

Vous avez parfaitement raison.