Absence de "rattrapage"

Votre échappatoire habituel quand vous n'avez plus d'argument.
Vous êtes tellement prévisible !

Bien-sûr je peux vous expliquer pourquoi je suis d'accord avec vous
1- Je n'ai jamais d'argument pour prouver que quelque-chose n'est pas vrai, je ne sais que prouver dans le sens positif
2- à force de négation, on ne sait plus trop où on en est, alors pour calmer le jeu, je préfère être d'accord
3- j'ai bien lu votre démonstration. Vous partez de l'hypothèse "la probabilité de Pile est 1/2".
A partir de cette hypothèse vous démontrez un cas particulier de loi des grands nombre, qui vous dénommez "faible".
Cette hypothèse étant fixée pour arriver à la loi des grand nombre l’équiprobabilité de pile ou face est toujours vraie, puisque c'est l'hypothèse de départ.
Je n'ai évidemment rien à dire de particulier concernant cette démarche.

Je ne comprends pas bien votre point 3. Vous dites avoir bien lu la démonstration, mais ce que vous en dites après ne correspond pas à cette démonstration. On en retire l'impression que vous confondez fréquence et probabilité.

L'hypothèse n'est pas que la probabilité de pile est 1/2, l'hypothèse contient aussi l'indépendance des tirages. Précisément, l'hypothèse est
Hypothèse : Pour tout entier n, les 2ⁿ issues possibles d'une suite de n tirages avec une pièce équilibrée sont équiprobables, toutes de probabilité 1/2ⁿ

La conclusion n'est pas l'équiprobabilité de pile et face. La conclusion est :
Conclusion : Pour tout ε >0, la probabilité que la valeur absolue de la différence entre la fréquence des piles sur n tirages et 1/2 soit inférieure à ε tend vers 1 quand n tend vers l'infini. En formule,
Autrement dit, si on se fixe un écart ε > 0 petit et une tolérance T% proche de 100%, alors il existe un nombre de tirages à partir duquel on est sûr à T% que l'écart entre la fréquence des piles et 1/2 est plus petit que ε.

On voit bien, quand on regarde les choses sérieusement, que la conclusion ne dit pas la même chose que l'hypothèse et qu'il faut bien une démonstration non triviale pour déduire la conclusion de l'hypothèse. C'est cette démonstration (tout à fait classique) que j'ai écrite.

Bonjour Hum
"On en retire l'impression que vous confondez fréquence et probabilité."
Oui, c'est possible que je confonde ces deux notions.
Pourriez-vous me donner leur définition.

Bonjour Dlzlogic,
Voyons, auriez-vous oublié votre Levallois ?

Probabilité
Cette définition vaut quand il y a un nombre fini d'éventualités et qu'elles sont considérées comme également probables (équiprobables).
Exemple :
1) pile ou face avec une pièce équilibrée. Probabilité d'obtenir pile = 1/2.
2) n tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée . Probabilité d'avoir p piles = C_n^p / 2ⁿ.

Fréquence : la fréquence de réalisation d'un évènement au cours de n épreuves est le nombre d'épreuves au cours desquelles cet évènement se réalise, divisé par n. C'est une variable aléatoire, ou variable éventuelle dans la terminologie de Levallois.
Exemple :
la fréquence de pile dans une suite de n tirages. Cette variable aléatoire prend la valeur p/n avec la probabilité C_n^p/2ⁿ.

Ici les épreuves sont supposées indépendantes, et il reste à préciser dans quel sens la variable aléatoire "fréquence" tend vers la constante "probabilité". Si on parle de convergence en probabilité, c'est la loi faible des grands nombres, si on parle de convergence presque sûre (plus forte), c'est la loi forte. Levallois ne fait pas cette distinction, sans doute parce que ce n'est pas utile pour la formation des topographes qui n'ont besoin que de rudiments de la théorie des probabilités pour la mesure des grandeurs physiques.

Hum a écrit:Cette définition vaut quand il y a un nombre fini d'éventualités et qu'elles sont considérées comme également probables (équiprobables).

C'est votre avis ou c'est une restriction sur la définition ?

La première loi de Bernoulli est très claire.

Hum a écrit:Si on parle de convergence en probabilité, c'est la loi faible des grands nombres, si on parle de convergence presque sûre (plus forte), c'est la loi forte. Levallois ne fait pas cette distinction, sans doute parce que ce n'est pas utile pour la formation des topographes qui n'ont besoin que de rudiments de la théorie des probabilités pour la mesure des grandeurs physiques.

Je vous rappelle que ce n'est pas Levallos qui ne fait pas cette distinction, c'est Lévy. Relisez bien la note de bas de page. Et un peu de respect pour le cours de Levallois et la formation de topographe.
Maintenant je comprends mieux pourquoi certains matheux refusent de comprendre des choses simple.

Conclusion : on n'est pas d'accord sur les définitions. Tant qu'on ne sera pas d'accord sur ces points, c'est inutile de parler de rattrapage ou pas rattrapage. Pour vous la pièce sait que sa probabilité de faire pile est 1/2, pour moi un grand nombre de tirages tendra vers 1/2 de pile.

Définition de probabilité :
Vous n'êtes pas d'accord avec la définition de Levallois ?
Vous n'avez pas remarqué que c'est lui-même qui écrit "chacune d'entre elles étant considérée comme également probable" ?
Et comment faites-vous pour diviser par le nombre total des éventualités si celui-ci n'est pas fini ?

Loi des grands nombres, forte ou faible :
De quelle note de bas de page parlez vous ?
Lévy ne distingue pas de loi faible et de loi forte, dites vous ?
C''est un article de 1936 dans le Journal de Mathématiques Pures et Appliquées que vous pouvez trouver ici :
http://www.numdam.org/item/JMPA_1936_9_15__11_0.pdf

Respect pour la formation de topographe
En quoi est-ce manquer de respect à cette formation de dire qu'elle n'a besoin que de rudiments de théorie des probabilités pour la mesure des grandeurs physiques ?
Jetez un coup d'oeil au programme du Diplôme d'ingénieur Spécialité géomètre et topographe du CNAM.
https://formation.cnam.fr/rechercher-par-discipline/diplome-d-ingenieur-specialite-geometre-et-topographe-en-formation-initiale-sous-statut-etudiant-411245.kjsp
On y voit une seule unité "Séries numériques et probabilités discrètes" (3 ECTS) et deux unités de Statistiques  (2 et 3 ECTS). Il y a énormément d'autres choses, beaucoup de "Sciences de la Mesure". C'est évidemment une formation de qualité, mais les probabilités n'y jouent clairement pas un rôle central.

"Et comment faites-vous pour diviser par le nombre total des éventualités si ceci n'est pas fini ?"
Oui, celle-là, on me l'avait déjà faite ! On enseigne assez tôt au collège et au lycée qu'il existe des nombres réels.

La seule référence que j'admette réellement est celle de l'ESGT.

Merci pour le lien de la note de Lévy. J'ai pas tout lu, mais il s'agit en quelque-sorte d'une réponse où il est question de loi des grands nombres pour des variables enchainées.

Note au bas de la page 140.

On enseigne assez tôt au collège et au lycée qu'il existe des nombres réels.

Que voulez-vous dire ? Que les nombres réels permettent de diviser par un nombre infini ? Celle-là, on ne me l'avait jamais faite !
Dans le cas d'une loi uniforme sur un univers infini, la probabilité d'un évènement se définit comme la mesure (au sens de Borel et Lebesgue) de cet évènement divisée par la mesure totale de l'univers (par exemple, pour la loi uniforme sur [0,1]).

La seule référence que j'admette réellement est celle de l'ESGT.

Cursus d'ingénieur de l'ESGT :
On ne voit pas vraiment les probabilités y occuper une place centrale, ce qui n'enlève rien à la qualité de la formation. Si vous avez des renseignements plus précis, vous pouvez les donner.

L'article de Lévy parle bien de loi forte, au sens déjà expliqué plus haut que la convergence dont on parle est la convergence presque sûre.

Oui, maintenant c'est clair : on ne parle pas de la même chose.
Vous, vous parlez de probabilités comme une notion abstraite, valable sur le papier et nécessaire aux exercices, moi je parle de probabilités comme une notion réelle, vérifiable et utile à de nombreuses professions.
Ce forum n'a pas pour vocation d'aider des étudiants à résoudre des exercices.
Apparemment vous avez lu mon papier "Notions de probabilités" et je suis persuadé qu'il y a des points que vous n'avez pas compris.
Donc, si vous voulez continuer la discussion, commençons par discuter le dit-papier.

Revenons au sujet de ce fil, si vous le voulez bien.

je parle de probabilités comme une notion réelle, vérifiable et utile à de nombreuses professions.

Par exemple, votre prétendu "rattrapage" est vérifiable ?
Où est la vérification ?

Je l'ai déjà citée. C'est Le_Jeu qui a fait une simulation. Le résultat était clair.
Puis est intervenu un membre de pseudo Nuage. Avec cette affirmation : "c'est pas vrai, votre générateur de nombres aléatoires n'est pas bon, en voilà un qui marche".
Le générateur en question s'appelle GenRand. J'ai regardé le code, le principe est simple : le programme mémorise les résultats au fur et à mesure de façon que les suivants soit toujours conformes à la loi des grands nombres, c'est à dire l'égalité des résultats de pile ou face à tout moment.
Je me suis amusé à l'utiliser en ne faisant qu'un tirage sur deux ou sur trois, alors le pauvre joueur A qui pariait au hasard était d'autant plus perdant.
Autre vérification, les statistique de casino, de mémoire la suite de "rouge" n'a pas dépassé 13 coups consécutifs.
Autre vérification, mon tirage d'un million de coups : la répartition des séries est celle donnée par le calcul de la probabilité théorique.

Manifestement, vous n'avez pas compris que cette histoire de rattrapage est une conséquence logique de la loi des grands nombres. La question a été posée de nombreuses fois sur des forums, on n'a pas le droit de répondre des bêtise à des étudiants, même si les matheux sont persuadés que la probabilité a priori reste la même, dans tous les cas, quel que soit les scores actuels. Je sais bien que pour vous c'est une question de foi, la pièce sait qu'elle doit faire pile avec une probabilité de 1/2, et puis c'est tout.
D'ailleurs, il suffit de voir votre mode d'argumentation pour comprendre que c'est vraiment une question de foi.

Je suis resté très poli, contrairement à vous. Si vous voulez continuer à discuter, ne me dites pas à tout bout de champ que j'ai tort, à faire des citations qui ne mènent à rien, essayons de rester des gens corrects.

Désolé, mais je ne crois pas à votre histoire de Le_Jeu. Je ne crois que ce que je vois.
Une vérification sérieuse doit être reproductible. Pourquoi ne la reproduisez vous pas ?
Bref j'attends toujours votre "vérification".
J'ai vérifié au début de ce fil l'absence de rattrapage  : même si on ne s'intéresse qu'aux suites de 200 tirages où pile est largement en avance au bout de 100 tirages, la moyenne du nombre de piles dans la deuxième centaine reste 50. C'est une conséquence immédiate de l'équiprobabilité des 2ⁿ issues possibles des suites de n tirages avec pièce équilibrée, et c'est vérifié de façon reproductible : j'ai donné le code de la simulation dans le fil que vous avez fermé.

[quote]Manifestement, vous n'avez pas compris que cette histoire de rattrapage est une conséquence logique de la loi des Force m'est de constater que vous affirmez et répétez des contre-vérités sans rien démontrer. La répétition ne vaut pas démonstration.
J'ai DÉMONTRÉ le contraire ici : https://dlz9.forumactif.com/t1976p25-absence-de-rattrapage#23692
Je démontre que l'équiprobabilité des 2ⁿ issues possibles des suites de n tirages (l'absence de "rattrapage") entraîne la loi des grands nombres, à savoir que la fréquence de piles tend vers 1/2 quand le nombre de tirages tend vers l'infini. J'attends toujours vos objections à cette démonstration ! J'ai pris grand soin à découper la démonstration en petites étapes numérotées pour que vous puissiez y faire référence. Les seuls commentaires que vous avez faits jusqu'à présent sont indigents et montrent que vous avez lu de travers cette démonstration. Ce n'est franchement pas très sérieux de votre part.

Vous me reprochez de vous dire que vous avez tort. Ce n'est pourtant que la vérité objective, et je le prouve.
Vous n'arrétez pas de me dire que je n'y connais rien.

Bon, alors je vous propose une chose très simple : vous choisissez une application de la théorie des probabilités. Il faut que ce soit un exemple d'application réelle.
Dans un première étape, vous la décrivez avec les hypothèses et détails que vous voulez.
Si cette application correspond à la discussion en cours, je vous le dis.
Seconde étape, on démonte point par point tous les éléments de cette application et on en tire les conclusions.

Un morceau de théorie des probabilités.

On part d'une hypothèse. Ici, il s'agit de l'hypothèse que tous les scientifiques qui étudient les suites de tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée (ou les marches aléatoires symétriques, ce qui revient au même), font : quel que soit l'entier n, les 2ⁿ issues possibles d'une suite de tirages sont équiprobables, toutes de probabilité 1/2ⁿ.
La conclusion à laquelle je veux aboutir, c'est le cas particulier de la loi des grands nombres : la fréquence des piles tend vers 1/2 quand n tend vers l'infini.
Je vais employer la terminologie et les notations de Levallois, et je donnerai les références précises à son texte

1°) Je commence avec le résultat qui découle de l'équiprobabilité et de l'analyse combinatoire : la probabilité d'obtenir p piles dans une suite de n tirages est 1/2ⁿ * C_n^p (Levallois, page 143 ligne 13).

2°) Je continue avec la valeur probable (moyenne du premier ordre, définition Levallois page 140 ligne 8 ) du nombre X_n de piles dans une suite de n tirages : c'est m₁(X_n) = Σ (1/2ⁿ * C_n^p) * p. Pour calculer cette somme, on peut utiliser la formule du binôme (1+x)ⁿ = Σ C_n^p * x^p, dériver pour obtenir n * (1+x)^n-1 = Σ C_n^p * p *x^p-1 et faire x=1 pour arriver à n * 2^n-1 = Σ C_n^p * p. En reportant dans l'égalité ci-dessus, on obtient m₁(X_n) = n/2, ce qui ne surprendra personne.

3°) Je continue avec la moyenne du second ordre (définition Levallois, page 140 ligne 12) : on a m₂²(X_n) = Σ (1/2ⁿ * C_n^p) * p². On dérive une fois encore l'égalité n * (1+x)^n-1 = Σ C_n^p * p *x^p-1 pour obtenir
n * (n-1) * (1+x)^n-2 = Σ C_n^p * p *(p-1) *x^p-2, d'où en faisant  x = 1
n * (n-1) * 2^n-2 = Σ C_n^p * p *(p-1) = (Σ C_n^p * p²) - (Σ C_n^p * p) = (Σ C_n^p * p²) - n * 2^n-1.
On en déduit m₂²(X_n) = (n * (n-1) / 4) + n/2 = (n² + n) / 4.

4°) Ceci permet d'obtenir l'erreur quadratique moyenne (écart-type) de X_n, notée η(X_n) par Levallois, au moyen de la formule (Levallois, page 140 ligne 22) η²(X_n) = m₂²(X_n) - m₁²(X_n) = ((n² + n) / 4) - (n/2)² = n/4.

5°) On applique ensuite l'inégalité de Bienaymé (Tchebychev), Levallois page 141 lignes 21-24, qui s'écrit
P(|X_n - m₁(Xⁿ)| >= k) <= (η²(X_n) / k²). On en déduit, en prenant k=n*ε,  P(|X_n/n - m₁(X_n)/n| >= ε) <= η²(X_n) / (n²*ε²), c'est-à dire P(|X_n/n - 1/2| >= ε) <= 1 / (4*n*ε²).

6°) La probabilité que la différence entre la fréquence du nombre de piles et 1/2 soit plus grande que  ε est donc majorée par
1 / (4*n*ε²) qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini. La fréquence converge bien en proba vers 1/2. Ce cas particulier de la loi des grands nombres est bien démontré sous l'hypothèse de l'équiprobabilité.

7°) Concrètement : on se fixe un écart ε > 0 petit et une petite marge d'erreur M%. Alors, dès que le nombre de tirages est supérieur à 25/(M * ε²), on peut affirmer que l'écart entre la fréquence des piles et 1/2 est plus petit que ε avec un taux d'erreur inférieur à M%.

Bonne lecture !
Voila, Dlzlogic, on pourra discuter de ce morceau de théorie des probabilités, qui est en plein dans le sujet des tirages à pile ou face. À demain.

Ben non. Je vous ai proposé de discuter honnêtement de probabilités et vous balancez des affirmation mathématiques. Le plus comique est que vous ne vous rendez pas compte que vous vérifiez une chose évidemment vraie puisque c'est l'hypothèse.

Le sujet est clos.