C'est quoi l'aléatoire ?

Bonsoir,
https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/865038-qualite-aleatoire.html
Là, il s'agit d'un problème de fond que j'ai souvent évoqué et dernièrement avec Beagle).
Il s'agit de fabriques un générateur quantique de nombres aléatoires.
Par définition, il n'est pas possible de vérifier la "qualité aléatoire". La raison est la suivante : l'aléatoire répond à des lois précises, en particulier le postulat de la moyenne, la loi des grands nombres et la loi normale.
Si on prend une suite aléatoire dans le monde réel, ces loi seront respectées, donc vérifiables. On sait que dans un univers non observable, en l'occurrence dans un environnement quantique, ces lois ne sont pas respectées. Donc la seule vérification éventuellement faisable est de montrer que ces lois ne s'appliquent PAS. Belle vérification !
En d'autres termes, n'importe quel générateur bricolé ferait l'affaire, pas besoin de compter des photons.    
De toute façon l'aléatoire fait partie des loi de la nature, au même titre que la gravitation universelle.On aura beau faire tout ce qu'on veut, on ne peut pas aller contre les lois de la nature. La montgolfière n'est pas un contre-exemple de la gravitation universelle, c'est une application d'un ensemble de lois.

Bonjour,
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1897764
Apparemment les nombreuses réponses dans Futura ne semblent pas avoir satisfait le demandeur.
C'est la liste des '0', resp. '1' qui semble tracasser le demandeur.
Il y a quelques années, j'avais fait des simulations pour vérifier ce genre de chose. J'ai édité une certain nombre de fois le résultat.
Le principe est très simple. On déclare comme objet à examiner une liste de k '0' consécutifs et sur un grand nombre de tirages on compte le nombre d'apparition de ces objets.
Un groupe de 2 consécutifs "0' a une probabilité de 1/4
Un groupe de 3 consécutifs "0' a une probabilité de 1/8
Un groupe de 4 consécutifs "0' a une probabilité de 1/2^4
Un groupe de 5 consécutifs "0' a une probabilité de 1/2^5
...
Un groupe de k consécutifs "0' a une probabilité de 1/2^k

Avec un générateur correct, l'expérience vérifie la théorie.
Dans le cas présent, ce générateur quantique doit produire des nombres qui justement ne vérifient pas la théorie.
Donc, ces questions sont assez à l'inverse de la logique et surtout des connaissances.

Bonjour,
Ce sujet est absolument remarquable. Un membre beaucoup plus actif sur un autre forum et notoirement ignorant des notions élémentaires des probabilités est intervenu, ce qui a fait réagir un ex-modérateur bien connu.

Médiat a écrit:Re : Qualité aléatoire

Citation Envoyé par Verdurin Voir le message
Par exemple 38% des suites aléatoires de longueur 1000 contienne une sous-suite constante de longueur supérieure ou égale à 12(1).
Ce qui n'est pas le cas si on copie deux fois une suite aléatoire de longueur 500.
1) Pourquoi
2) Le fond du problème n'est pas là (comment reconnait-on qu'une suite a été dédoublé en prenant en compte toutes les méthodes de fusion de 2 suites)
3) Connaissez-vous une méthode qui reconnaisse qu'une suite est aléatoire ou non, quelque soit sa longueur ? Autrement dit connaissez-vous une définition mathématique incontestable de suite aléatoire ?

Bien-sur, la réponse à la question 3) serait de ma part "Ben oui, cette définition est parfaitement connue depuis deux siècles et utilisée en permanence par toutes les professions qui ont des rapports plus ou moins directs avec la mesure".

Bonjour,
La suite des échanges est aussi savoureux que le reste.
Par exemple, les décimales de pi ne sont pas aléatoire pour la simple raison qu'on peut les calculer et les recalculer, on aura toujours la même chose. Par contre, la répartition des chiffres qui la constitue est aléatoire. C'est facile à vérifier, que ce soit en base 10 ou en base 100.
Il est intéressant de remarquer que tous les participants à cette discussion sont des "spécialistes".
Ils affirment des tas de chose. Pas une seule définition, par un seul théorème, bref que du vent.

PS une question précise a été posée à notre ami Gérard. Répondra-t-il ?

Oui, il a répondu : la suite des chiffres des décimales de pi n'est pas iid, ni aléatoire, ni rien d'ailleurs.
C'est toujours très réjouissant de lire comme argument : cette suite de 30 '0' en suivant est-elle aléatoire ? non pas plus que celle où il y a des '0' et des '1' mélangés, puisqu'elles ont la même probabilité d'arriver. Il serait intéressant de relire l'inégalité de Bienaymé.
Par ailleurs, une petite simulation n'a jamais fait de mal à personne, ni un comptage des apparitions des décimales de pi. Mais tant qu'on ne l'a pas fait, on peut toujours croire que l'aléatoire, c'est pas vrai. Par contre cela devient gênant quand on l'affirme avec tant d’aplomb.

Une question a été posée. Soit une liste de 10 000 bits 0 et 1. Peut-on savoir si c'est une liste aléatoire de 10 000 tirages ou l'agglomération de 2 listes de 5 000. La réponse est oui.

Voila encore un sujet non résolu.
Pourtant la question est claire et précise, elle porte sur un sujet qui est au programme et qui est souvent évoqué.
Tous les documents de l'EN que j'ai lus sont parfaitement explicites.
Il est vraiment étonnant que les matheux ne soient pas capables de définir ce qu'est l'aléatoire, le hasard, les lois de probabilités, mais ça ne les empêche pas de faire des affirmations sans aucune justification. Par contre, ils parlent sans sourcier de la loi des grands nombres, ils ont ont même trouvé qu'il y en avait une faible et une forte, ils parlent aussi de la loi normale mais m'ont aucun idée de ce qu'est l'écart-type, d'ailleurs pourquoi "type", ils sont bien incapables de l'expliquer.
Ce résumé de ces échanges est assez juste

Jiav a écrit:La question de départ est de savoir comment tester si les suites produites par un générateur physique sont ou non aléatoires. La première définition conduit à répondre qu'on le saura jamais. La seconde définition conduit à la mesurer.

Par contre, ce que dit Gérard est vraiment étonnant pour un ancien prof dont c'est parait-il la spécialité.

Gérard a écrit: Très exactement, il n'y a pas de preuve mathématique, seulement des tests probabilistes.

Bernoulli aurait-il dit des bêtises ?

Bonsoir,
Il n'est pas possible de parler efficacement de l'aléatoire si on n'a pas de notions élémentaires des probabilités.
Ci-dessous, un extrait du document "Notion de probabilités" :

Second théorème de Bernoulli - loi Normale
Les détails dépassent le cadre de ce papier, je donnerai seulement les conclusions. Lorsque le nombre des épreuves (jeu de pile ou face) devient infini :
1°) la combinaison la plus probable est celle qui comporte autant de coups pile que de coups face;
2°) les points représentatifs des coefficients tendent vers les points de la courbe
[ La formule de la loi normale et la courbe représentative sont à lire dans le document.]
On reconnaît la courbe que l'on avait déjà tracée en joignant les sommets des rectangles ou le remplissage des godets avec les billes de la planche de Galton. Il s'agit de la courbe Gauss, représentative de la loi normale.
Le premier théorème de Bernoulli nous indique que la fréquence tend vers la probabilité et que par conséquent la moyenne arithmétique tend vers la valeur la plus probable de l'inconnue.
Ceci confirme le postulat de la moyenne.

Lien vers le document : http://www.dlzlogic.com/aides/Notions_de_probabilite.pdf