Lois fondamentales des probabilités.

Bonjour,
J'ouvre un nouveau sujet où la question est très clairement posée
1- c'est quoi la loi des grands nombres
2- c'est quoi la loi normale
3- c'est quoi le TCL
4- sens à adopter sur les termes.

Ce sujet démarre à la page 2 de https://www.maths-forum.com/enigmes/martingale-excedent-t213935.html
Je cite :

GBZM a écrit:Mézalor, que se passe-t-il avec notre temps d'attente du retour à l'équilibre, dont l'espérance est infinie ???? Ça vaut le coup de voir de plus près en faisant des simulations.
Pour cela, on écrit un code pour obtenir la moyenne sur suites de tirages à pile ou face du temps d'attente du retour à l'équilibre pile-face. On voit rapidement qu'on ne s'en sort pas si on ne pose pas de limite à la longueur de la suite de tirages : on risque d'attendre très, très longtemps. Aussi dans le code ci-dessous écrit en python 2, on limite la longueur de la suite de tirages à 100 000. Si on atteint cette limite de 100 000 sans retour à l'équilibre, on retourne un temps d'attente de 100 000. Bien entendu, ça fait baisser les moyennes, mais il faut savoir faire des compromis !

J'imagine que GBZM lit le présent forum et que donc, il pourra réagir à mes simulations.

Bon, j'ai fait la simulation.
Je fais 100 fois l'expérience suivante :
D'abord, je tire 100 pile ou face que je compte mais que je ne teste pas. C'est l'initialisation.
Puis je continue, jusqu'à trouver P == F.
Alors je mémorise le nombre de jets.

J'ai obtenu des moyennes d'un peu plus de 1000, des min d'un peu plus de 100 et des max d'un peu plus de 20000.
Il est évident que cette expérience est du type exponentielle, puisque elle s'arrête si un évènement donné, l'égalité P=F en l'occurrence survient.
Pour avoir une courbe de Gauss, il faudrait répéter un certain nombre de fois cette expérience, en prenant comme valeur de variable la moyenne obtenue.

En conclusion, je ne vois pas où est le problème. Les simulations vérifient bien la loi des grands nombres, si on veut vérifier le TCL, il faut utiliser une liste de résultats comparables, c'est à dire suivant la même loi.

Petit détail de vocabulaire : ici il n'y a qu'une seule variable aléatoire, c'est le nombre de tirages pour obtenir l'égalité P=F. Le pluriel utilisé par GBZM pour "variable aléatoire" est inapproprié.

Oui, j'ai du aller jusqu'à 500 expérience pour obtenir une répartition correcte.

Code:

 Loi des grands nombres 

Nombre = 500  Moyenne = 1119.84  emq=89.03  ep=59.35
Médiane = 1151  min= 913  max=1267
Rapport Emq/Ema = 1.25 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=  0  0.00%     théorique 0.35%    |
Classe 2  nb=  21  4.20%     théorique    2%    |HHHHH
Classe 3  nb=  56  11.20%     théorique    7%    |HHHHHHHHHHHH
Classe 4  nb=  34  6.80%     théorique  16%    |HHHHHHH
Classe 5  nb=  63  12.60%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 184  36.80%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 112  22.40%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  30  6.00%     théorique    7%    |HHHHHH
Classe 9  nb=  0  0.00%     théorique    2%    |
Classe 10 nb=  0  0.00%     théorique 0.35%    |


Je ne vois toujours pas où est le problème.
La loi de grands nombres est vraie, ainsi que le loi normale, vulgarisée auprès des matheux via le TCL.

Les matheux continueront de me surprendre.
D'une part ils disent que la loi des grands nombres est vraie, d'autre part ils n'ont de cesse de chercher des arguments pour dire qu'elle est fausse.
J'avais demandé que les participants à ces débats veuillent bien énoncer cette loi. Je ne me souviens pas qu'il y ait eu de retour.

Bonsoir,
Bon, manifestement l'année commence bien.

GBZM a écrit:Bien entendu, il faudrait être complètement stupide pour croire que les petits histogrammes bleus plus haut tendent à dire que le théorème central limite est faux.
Simplement le théorème central limite a des hypothèses, et ces hypothèses ne sont pas vérifiées par la variable aléatoire "temps de retour à l'équilibre" puisque l'espérance de celle-ci est infinie. Le fait que cette espérance soit infinie montre par ailleurs que la loi de cette variable est tout à fait différente d'une loi géométrique qui a, elle, une espérance finie.

Qui est l'individu qui pourrait croire que les petits histogrammes ... ?
Si j'ai bien compris, ces histogramme sont assez caractéristiques le la loi exponentielle qui représente les suites qui se terminent suite à un évènement précis.
Je n'ai jamais entendu parler d'hypothèses du TCL autre que "même loi". Pour mémoire, le cas tordu de la loi de Cauchy ne fait pas exception à l'hypothèse générale si on prend la précaution d'éliminer le zéro.
La loi des grands nombres dit justement que "la variable aléatoire "temps de retour à l'équilibre" " est finie. Il est étonnant de lire cette affirmation péremptoire de la part de GBZM qu'elle est infinie. Je suppose, pour lui donner le bénéfice du doute [de la non connaissance de certaines notions], que c'est le résultat d'un calcul théorique.
Ou alors, on ne parle pas forcément de la même loi des grands nombres.
J'aimerais bien avoir le libellé de la loi des grands nombres vue par GBZM.

Juste un mot sur " la loi de cette variable est tout à fait différente d'une loi géométrique". Une loi de probabilité est définie par les éléments qui la composent et non par les résultats qu'elle produit cf. TCL.

Quel gag :

J'avais demandé que les participants à ces débats veuillent bien énoncer cette loi. Je ne me souviens pas qu'il y ait eu de retour.

https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/loi-des-grands-nombres-tcl-illustration-t207521.html


Je craque :

Je n'ai jamais entendu parler d'hypothèses du TCL autre que "même loi". Pour mémoire, le cas tordu de la loi de Cauchy ne fait pas exception à l'hypothèse générale si on prend la précaution d'éliminer le zéro.

Le TCL demande les hypothèses suivantes :
- suites de variables aléatoires indépendantes
- de même loi
- de variance finie (aussi dis "admettant un moment d'ordre 2" ou "dans L^2")

Et il dis que la moyenne de va iid de L^2 converge vers une loi normale.

Quelques liens au hasard :
http://math.univ-lille1.fr/~suquet/ens/Agr/TLC05.pdf p3
http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/gelineau/devagreg/Theoreme_central_limite.pdf
http://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/Emily.Clement/agregation/Theoreme_central_limite.pdf
https://cermics.enpc.fr/~delmas/Enseig/ensta_cours.pdf p145

Donc après toutes les pages écrites sur le sujet, avec références et code tu continue de prétendre :
1) que l'on ne t'as jamais répondu sur le sujet autrement que par "moi je sais"
2) que l'on ne t'as jamais énoncé le théorème précisément (en revanche toi tu ne l'as jamais fait...)
3) que tu comprends mieux ce théorème dont tu utilise le nom pour dire âneries sur âneries.

Et non, le TCL ne s'applique pas aux loi de Cauchy voir e.g. https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Cauchy_(probabilit%C3%A9s)#Loi_de_Cauchy_et_th%C3%A9or%C3%A8mes_limite
(ou, si wiki te donne des boutons : http://www2.fimfa.ens.fr/telecharger_fichier.php?fichier=1491 exercice 3).
En effet la moyenne de loi de Cauchy iid est une loi de Cauchy, qui n'est donc pas une loi Gaussienne.

Bref, toujours au niveau 0 des probas.

P.S: un petit site qui présente quelques utilisations de diverses lois http://nobelis.eu/photis/Lois/descriptif.html (comme quoi, il n'y a pas que les loi normales et exponentielle...)

Bonjour,

C'est quand même surréaliste,  Dlzlogic pose des questions d’ingénieures, pratico-pratique, et on vient répondre avec un théorème de maths axiomatiques ? ? ?
C'est même maths qui permettent de multiplier les oranges à volonté.

Vraiment, il y a un gap...

Je vais essayer de traduire la question de Dlzlogic pour les mal-comprenants :

existe-t-il une seule situation pratique ou le TCL ne s'applique pas (en dehors d'une v.a. avec avec une distribution de Cauchy), je rappelle que les délires matheux (à la GBZM) du genre je jette une pièce n fois... et je regarde le retard, quand n tend vers l'infini, sont impossible à réaliser pratiquement...

En espérant que cette fois la question est comprise.

Bonne année.

@ Sylviel, comme promis, je mets mes remarques à propos de ton fil du 13/15/2019 su MF.
Tu parles d'échantillon, ça commence assez bien : une variable aléatoire. Puis il s'agit de "suite de variable aléatoire ...". Ben non, c'est une série (non ordonnée) de valeurs de la variable aléatoire. Là, ce n'est plus compréhensible sans traduction. Puis arrive l'expression "vecteur aléatoire", alors là on est perdu. Tu as inventé le dé à 216 faces, c'est une invention peut-être intéressante sur le plan théorique, mais pas vraiment utile à la compréhension de choses simples.

Avec la moyenne empirique on est complètement largué. Avec les 3 dés, c'est à dire avec le dé à 216 faces, le seule chose qu'on puisse observer puis mesurer c'est le nombre de fois que telle face est sortie après un grand nombre de jets. Les Mn ne prennent pas les valeurs 1 à 6 puisque ce sont des labels et non des nombres. L'opération addition n'a aucun sens pour des labels.

La loi des grands nombres parle de fréquence et de probabilité. toi tu parles d'intégrabilité et d'espérance.
Là j'arrête.

" ton fil du 13/15/2019 "

ah oui,quand meme, a force de jouer sur le temps passé qui modifie le futur
ça a décalé entièrement l'espace-temps !!

Oui, tu as raison, on en est revenu à l'époque "non observable".

Bonjour,

Sylviel a écrit:Je craque :

Dlzlogic dit : " Je n'ai jamais entendu parler d'hypothèses du TCL autre que "même loi". Pour mémoire, le cas tordu de la loi de Cauchy ne fait pas exception à l'hypothèse générale si on prend la précaution d'éliminer le zéro."

Le TCL demande les hypothèses suivantes :
- suites de variables aléatoires indépendantes
- de même loi
- de variance finie (aussi dis "admettant un moment d'ordre 2" ou "dans L^2")

Là, ça nécessite une réaction.
Le TCl dit : soit une expérience de même loi, c'est à dire, même contexte, même environnement, on a une variable dite aléatoire qui prend plusieurs valeurs. La moyenne arithmétique est la valeur la plus probable, on appelle écart-type, l'écart moyen quadratique par rapport à la moyenne, la répartition des écarts à la moyenne a pour fonction la loi normale représentée par la courbe de Gauss.
Dans la loi de Cauchy, la variable est au dénominateur. Il y a donc une condition d'existence à respecter, alors le TCL est applicable. Il semble que la condition d'intégrabilité ait été posée pour cette raison.

Le TCL s'applique aussi dans des cas assez particuliers du type loi exponentielle. L'une des hypothèses de cette expérience est qu'elle est terminée lorsqu'un évènement précis est survenu, par exemple le claquage d'un composant électronique, l'égalité de deux valeurs dans le cas de tirages aléatoires, la durée d'un match de tennis. Dans le longue discussion à propos de la loi des grands nombres, la variable aléatoire étudiée est le nombre de tirages pour obtenir l'égalité entre le nombre de piles et le nombre de faces. Cette variable est typiquement du type exponentiel, et si on observe le résultat de nombreux essais, il s'agit à l'évidence de la loi normale.

Le PDF d'Emily Clement me parait correct.
Le cous de JF Delmas embrouille complètement les choses.
Si tu veux en parler, le seul moyen est de faire "question <==> réponse" et non pas "moi, je sais".