Le postulat de la moyenne est il raisonnable ?

Bonjour,

Le postulat de la moyenne est il raisonnable ?
On peut reformuler cela de manière plus formel, l ensemble des réels entre 0 et 1a t il le sous ensemble des suites des décimales en base 2 avec sa moyenne de Cesaro qui converge, de mesure 1 ?

Bonne journée.

Bonjour Dattier,
Le postulat de la moyenne peut s'énoncer de la façon suivante "soit un ensemble de mesures ou d'observations d'une même chose, alors la moyenne arithmétique est la valeur le plus probable, c'est à dire la plus proche de la valeur vraie, forcément inconnue."
Les théorèmes de Bernoulli qui naturellement utilise ce postulat montrent que ce choix de la moyenne arithmétique est le bon choix.
Toutes les formules de tous les cours de probabilités utilisent la moyenne arithmétique, mais peu ont la rigueur de préciser qu'il s'agit d'un postulat.

On dirait que tu parles du principe du moindre carré qui dit que la valeur la plus proche ( au sens des moindres carré) d un ensemble de valeurs est la moyenne.

Non, ce sont deux choses différentes.
Le postulat de la moyenne est un postulat. C'est à dire qu'à un moment on a décidé que l'on adoptait comme valeur la plus probable la moyenne arithmétique. On aurait pu adopter la médiane ou autre-chose. Ce postulat est important parce que c'est la base de toute la théorie des probabilités.
Quand on a démontré tous les théorèmes, en gros, le théorème des probabilités totales, le théorème des probabilités composées, le théorème de Bayes et les deux théorèmes de Bernoulli, on a vu qu'on avait fait le bon choix en adoptant la moyenne arithmétique.
La méthode des moindres carrés est une méthode de calcul. On démontre que cette méthode permet de trouver le résultat le plus probable. 
Pour info, je connais une autre méthode que les moindres carrés pour trouver le résultat le plus probable. Avant l'informatique, un calcul par les moindre carrés demandait une dizaine d'heures, alors que l'autre méthode demandait à peu près une heure, alors tu imagines le choix, pour le même résultat.

Bonjour,

Il existe des algorithmes qui produisent des suites de 0 et 1 qui ne converge vers aucune valeurs.
Prends par exemple la suite qui entre n ! et (n+1) ! ne renvoie que n mod 2.
Alors cette suite ne converge vers aucune valeurs moyenne.

Bonne journée.

Bonjour Dattier,
Oui, c'est possible, je n'en sais rien, dans ce cas, il semble que cela contredise la moyenne de Cesàro.
Le postulat de la moyenne dont je parle est dans le cadre de mesures faites identiquement d'une même chose. C'est même vrai pour des mesures de température, alors que l'on sait que la température est une quantité non mesurable.
D'ailleurs, tu parles de "suite", ce qui sous-entent "ordonnée", moi je parle de séries de valeurs, où justement l'ordre n'a aucune importance.
Même avec la loi de Cauchy, souvent utilisée comme contre-exemple, si on prend certaines précautions élémentaire, alors ça rentre dans le cas général.

Ce postulat de la moyenne a été déclaré postulat par des mathématiciens qui souhaitaient une rigueur parfaite dans l'établissement de la théorie. Toutes les formules utilisent la moyenne arithmétique. Soit il fallait le justifier, soit il fallait le déclarer explicitement comme postulat. Un peu comme l'unicité d'une parallèle à une droite donnée et passant par un point donné, extérieur à la droite.

Concernant ce postulat de la moyenne, je tiens à préciser qu'il n'est valable que dans l'univers observable.

D'ailleurs, ce postulat de la moyenne est à la base de la théorie des probabilité. Tout le monde utilise la moyenne arithmétique dans les formules, alors, j'ai souvent demandé la justification, je n'ai jamais eu de réponse. Je n'insisterai pas sur l'utilisation de la médiane qui est très ponctuelle et donc sans grand intérêt.

Oui il existe des suites bornés qui ont une somme de Cesaro qui ne converge pas, par exemple la suite dont je t ai parlé.

Oui, mais je ne vois pas le rapport avec le postulat de la moyenne.

Les suites de 0 et 1 qui ont une somme de Cesaro qui divergent sont ils en nombre négligeablent ou non, c est la question que je posais au départ.
C est à dire il y a t il un nombre non négligeable de suites qui ne vérifient pas le postulat de la moyenne.

Le postulat de la moyenne n'a rien à voir avec les suites, qu'elles soient de Cesaro ou non.
Le postulat de la moyenne concerne les résultats de tirages aléatoires dans l'univers observable.
D'ailleurs, on ne peut pas "vérifier" le postulat de la moyenne, puisque d'une part on a la moyenne adoptée et d'autre part la valeur vraie, qui par définition est inconnue.
En fait, lorsque le résultat est connu, par exemple le tirage avec un dé, on a une bonne vérification.
Si il s'agit de tirages aléatoires, honnêtes et sans faute, il n'y a pas d'exception.

J'ajoute un exemple tout à fait intéressant : le fichier des températures sur 54 ans. On peut se dire, comme Sylviel, que c'est un exemple qui contredit les lois des probabilités, mais si on traite le fichier en tenant compte des variations saisonnières, annuelles et dues au changement climatique, on vérifie de façon remarquable les lois des probabilités.
Evidemment, il est dommage que Sylviel ait cité ce fichier en ajoutant ce commentaire du à l'ignorance et qu'il ait cessé le dialogue au moins sur ce point.

Bonjour,
Je reviens sur le sujet parce qu'il me parait important.
D'une part, à ma connaissance, étant donné une série de mesures ou d'observations d'une même chose, il ne viendrait à l'idée de personne de ne pas adopter la moyenne arithmétique de toutes ces valeurs. Donc, sur ce point, tout le monde semble d'accord.
D'autre part, il me semble qu'en mathématique et à un certain niveau, il est indispensable de remonter jusqu'à la source pour savoir pourquoi on utilise telle formule ou comment démontrer tel théorème. C'est exactement dans ce sens là que j'ai parlé du postulat de la moyenne. Pour des raisons que je ne détaillerai pas, cette expression a dérangé certains. Les réactions ont été diverses, du type "ça veut rien dire", "on n'en parle nulle par sur le net", "c'est pas vrai" et d'autres que j'ai oubliées.

Dans tous les cours "modernes" que j'ai lus, on parle de l'"espérance", sans vraiment définir ce que c'est et discrètement, sans commentaire ni explication, la moyenne arithmétique apparait dans les formules. Ceci est à mettre directement en relation avec le sujet : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2008938
qui concerne l'utilité de la théorie de la mesure.

Je viens de lire les échanges sur Futura. Deedee se met le doigt dans l’œil jusqu'au coude. Le TCL (c'est le second théorème de Bernoulli) se démontre à partir du postulat de la moyenne, comme d'ailleurs la loi des grands nombres (1er th de Bernoulli). Je remets le lien sur ces démonstrations : www.dlzlogic.com/Gauss1_19.pdf

Bonjour Dattier,
J'ai un peu de mal à cerner Deedee. Dans certains domaines, il dit vraiment n'importe quoi. S'il n'a pas compris le cheminement "postulat de la moyenne" --> "loi des grands nombres" --> "loi normale" --> TCL, il devrait apprendre un peu la logique. Il m'a déjà fait le coup sur un autre sujet (géométrie élémentaire) il m'a demandé quel genre d'herbe je fumais.

Bonjour,

Effectivement Deedee81 raconte n importe quoi pour rappel une R algèbre est une algèbre avec R comme corps de base c est à dire une K algèbre avec K=R.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Algèbre_sur_un_corps

Bonne journée.

On parle de ce fil https://forums.futura-sciences.com/discussions-scientifiques/879849-postulat-de-moyenne-raisonnable.html#post6587361

Salut Dattier,
Oui, j'ai vu ce fil en faisant une recherche de "postulat de la moyenne" sur google.
En plus pour la petite histoire, il y a un certain temps, quand j'en ai parlé, Sylviel m'a répondu "introuvable sur le net". Je l'ai cru, et à l'occasion de discussions avec Léon, je lui ai dit que cette expression était inconnue sur le net et il m'a répondu "il suffisait de chercher" et le lien menait au livre de cours de L'école Nationale Supérieure du Pétrole, autrement pas des rigolos. Je crois que ce bouquin n'est plus référencé.
Bonne soirée.