Pi et le "postulat de la moyenne"

Un petit message pour montrer que l'affirmation

"Quand on observe une même quantité plusieurs fois, la moyenne des observations est la valeur la plus probable"

demande à être bien cadrée et précisée.

Ce qu'on va observer, c'est les temps de dernier retour à l'équilibre pair-impair dans une séquence de 1000 décimales de pi.

On peut trouver sur la toile un fichier .txt avec un million de décimales de pi.  Je le charge comme une liste de 10000 chaînes de 100 caractères chacune.

Code:

with open('../Notebooks/forum/PI1000000.txt','r') as fichier :
    text=fichier.read()
    
L=text.splitlines()

Maintenant, je produis la liste des mille temps de dernier retour à l'équilibre pour les 1000 tranches de 1000 décimales.

Code:

def DernierEquilibre(debut,fin) :
    der = 0 ; somme = 0 ; compteur = 0 ;
    for ligne in L[debut:fin] :
        for car in ligne :
            pas = 2*(int(car)%2)-1 ;
            somme += pas ;
            compteur += 1 ;
            if somme == 0 :
                der = compteur ;
    return der ;

def ListeDernierEq(long,nomb) :
    listeder = [] ;
    for k in range(nomb) :
        der = DernierEquilibre(k*long,(k+1)*long) ;
        listeder.append(der) ;
    return listeder ;

lde1000 = ListeDernierEq(10,1000)

Calculons la moyenne des 1000 temps observés .

Code:

print("Moyenne des temps de dernier équilibre pair-impair\n\
sur 1000 suites de 1000 décimales de pi :",round(sum(lde1000)/1000,1))

Moyenne des temps de dernier équilibre pair-impair
sur 1000 suites de 1000 décimales de pi : 509.4

Et maintenant, regardons l'histogramme de ces 1000 temps de dernier retour.

Code:

import matplotlib.pyplot as plt

_ = plt.hist(lde1000, bins='auto')
plt.title("Histogramme des temps\n\
de dernier équilibre pair-impair\n\
sur 1000 suites de 1000 décimales de pi")
plt.show()

Mince, la moyenne trouvée (509,4) est dans les valeurs les moins probables ! Mais que fait le postulat de la moyenne ?

Bien entendu, il y a un énoncé correct (et qui se démontre, ce n'est nullement un axiome). Mais cet énoncé utilise des notions bien définies et a des hypothèses qui ne sont pas vérifiées dans l'exemple que j'ai donné. Morale : il faut toujours être précis !

Salut, à dans quelques jours. J'aurai le plaisir de voir les commentaires éclairés de Dlzlogic.

Bonjour,

Pfff...Gbzm, tu es en retard, on en avait déjà parlé dans un ancien fil ("Bourdes d'outre-forums", je crois), avec Dlz même, il est au courant. Il existe quelques très rares exceptions au fait que la moyenne soit la valeur la plus probable. L'exemple de la loi en U ou "de l'arcsinus" sur les derniers retours à zéro en fait partie. Je peux retrouver les références.

Il y a aussi la loi en "demi-U" du premier retour à zéro dont je t'avais parlé. Tu pensais que comme la moyenne de l'espérance de ce temps de retour était infinie, il y avait très peu de chances d'avoir un premier retour (faisant gagner notre stratégie de B) et tu avais même rajouté un truc du genre : "mais comme les [pro-rattrapages] n'y comprennent que pouic aux probas, ça ne changera rien pour eux". Je t'avais alors magistralement réfuté avec calculs à l'appui par cet argument de la loi en "demi-U" : la valeur infinie étant la moyenne du temps de premier retour, c'est aussi la moins probable. De fait, il y a même une infinité de retours à l'équilibre, ça maintenant tu le sais.

Bonne journée.

Il existe quelques très rares exceptions au fait que la moyenne soit la valeur la plus probable.

Peut-être veux-tu donner une formulation précise ?

Pour les variables discrètes je prends pour définition de "valeur la plus probable" celle où la proba est la plus forte, et pour les variables
à densité le maximum de la densité. Et pour "moyenne" je prends l'espérance.

Prenons quelques exemple de lois classiques (paramètres de wikipédia) :
- Loi de Bernoulli : moyenne = p, valeur la plus probable : 0 ou 1 suivant p.
- Loi Géométrique : moyenne = 1/p, valeur la plus probable = 1
- Loi exponentielle : moyenne = 1/lambda, valeur la plus probable = 0
- Loi du Chi2 de degré n : moyenne = n, valeur la plus probable = n-2 (pour n >= 2)
- Loi log normale : moyenne e^{mu + sigma^2/2}, valeur la plus probable = e^{mu - sigma^2}

Mouai, je dirais plutôt qu'a de très rares exceptions près la moyenne n'est pas la valeur la plus probable.
Parmi ces exceptions deux courantes, toutes deux à densité symétrique par rapport à l'espérance : loi normale et loi uniforme (continue).

Bonsoir,

Je parlais au sens de l'inégalité de Tchebychev-Bienaymé : http://www.jybaudot.fr/Probas/ibt.html

Sauf dans les cas peu usités de lois de probabilité à variance ou espérance infinie (dont nos lois de premier retour, lois de Cauchy, etc.), la probabilité que la variable aléatoire s'éloigne de la moyenne tend vers zéro avec la distance.

N.b. Gbzm, OK bon séjour, merci.

Bonsoir,
Je n'avais pas vu ce nouveau fil. Je suis content que Sylviel revienne s'exprimer.
Désolé, il est un peu tard, je relirai tout ça soigneusement demain.
Si il y a des exceptions au postulat de la moyenne, c'est très intéressant.
A demain.

Bonjour,

Suivant l'énoncé et le calcul de GBZM, quelle est la valeur la plus probable de la moyenne?
Il me semble que sans démonstration difficile, c'est le milieu entre 1 et 1000.
En effet, si on cherche la première occurrence au lieu de la dernière, on obtiendra, à la précision près, aussi le milieu entre 1 et 1000. On aurait eu la même situation en considérant les suites à partir de la fin.
Donc je ne vois pas où est le problème. Ce n'est pas sous-prétexte qu'il y a moins de valeurs observées au voisinage de 500 que ça ne peut pas être la moyenne ou la valeur la plus probable de la moyenne.
J'ai l'impression que pour certains matheux "valeur la plus probable" veut dire "valeur que l'on a le plus de chances d'avoir au coup suivant", c'est peut-être vrai au monopoly, mais cela n'a rien à voir avec les probabilités.

Nota : Je fais généralement très attention quand j''écrit une définition. Alors là, je devais être distrait, parce que normalement j'écris ""Quand on observe une même quantité plusieurs fois, la moyenne des observations est la valeur la plus probable de la valeur vraie de la moyenne."Je me demande si GBZM n'aurait pas "oublié" 7 mots.

@ Sylviel, tu as oublié dans ta liste qu'avec un dé, mon postulat ne pouvait pas être vrai puisque la moyenne des 6 faces est 3.5 et qu'il n'y a pas de face notée 3.5.
Mais, tu as raison, il est bon d'apprendre aux élèves que la moyenne d'une liste de 0 et de 1 ne peut faire que 0 ou 1.
T'es-tu décidé pour une variable aléatoire, si c'est une fonction ou une valeur. GBZM a opté pour "fonction",

Bonne journée.
"

Bonjour,

GBZM a écrit:Bien entendu, il y a un énoncé correct (et qui se démontre, ce n'est nullement un axiome). Mais cet énoncé utilise des notions bien définies et a des hypothèses qui ne sont pas vérifiées dans l'exemple que j'ai donné. Morale : il faut toujours être précis !

Si quelqu'un connait cet énoncé correct, suis sûr que ça fera plaisir à GBZM de voir qu'il y en a qui suivent.

Dlzlogic a écrit:Je fais généralement très attention quand j''écrit une définition

C'est bien ça qui est inquiétant !

Bonjour mmaarr,
J'aimerais bien que tu précises ta pensée.

Par exemple, quelle définition donnerais-tu pour le postulat de le moyenne ?

Tu sais, moi, je ne connais que les maths officielles. Je n'ai pas choisi l'option 'Dlzlogic' dans mes études.
D'ailleurs, cette option n'était pas proposée. Donc, je ne peux pas répondre à tes questions.

Ben, puisque tu connais les maths officielles, il doit bien y avoir une définition du postulat de moyenne, ou bien, si cette notion n'existe pas dans les maths officielles, il doit bien y a voir une démonstration de la raison du choix de la moyenne arithmétique comme valeur à adopter dans le cas d'un nombre supérieur à 1 de la mesures d'une même chose.
C'est cette définition que je te demande.

La formule énoncée par Gauss est fausse, parce qu'elle est différente de la tienne. Mais qui est ce Gauss, un type quelconque qui ne ,restera pas dans l'histoire, contrairement à toi.

Tu peux me rappeler la formule énoncée par Gauss, s'il te plait ?

Tu n'as pas de livre de cours, tu n'as pas accès à internet ? Tu as besoin d'un assistant pour tes travaux ?
Si tu as besoin d'un assistant, demande à Ltav.
Il est de très bonne volonté, il a suivi l'option Dlzlogic dans sa formation, et pour te faire plaisir, il essaie désespérément de prouver qu'il y a un rattrapage du retard.
Il a visiblement toutes les qualités requises pour être ton assistant.

Ben, tu affirmes que tu connais les maths officielles, tu fais référence à la formule énoncée par Gauss, alors à toi de prouver tes affirmations.
Moi, j'ai l'habitude de prouver ce que j'énonce.

Bon, je reprends le message de GBZM

Bien entendu, il y a un énoncé correct (et qui se démontre, ce n'est nullement un axiome). Mais cet énoncé utilise des notions bien définies et a des hypothèses qui ne sont pas vérifiées dans l'exemple que j'ai donné. Morale : il faut toujours être précis !

"Enoncé corect", on peut supposer, ce que j'ai fait, que c'est un énoncé du choix de la moyenne arithmétique comme valeur à adopter.
Je suppose, mmaarr, que c'est cet énoncé que tu connais, mais tu n'arrives pas à trouver une référence. Bon, c'est pas très grave, peut-être Sylviel la trouvera et nous la donnera.
GBZM ajoute que les "hypothèses" de cet énoncé ne sont pas vérifiées dans son exempe. C'est embêtant, parce que la moyenne arithmétique des observations vérifient, à environ 2% près, la moyenne théorique. C'est une application de la loi des grands nombres et ça se vérifié encore une fois, en admettant, bien-sûr, que les chiffres des décimales de pi se répartissent de façon aléatoire et uniforme.
Ca c'est un problème à résoudre.

Bonjour,

A celui qui en a "mmaarr", si quelqu'un racontait "tout et n'importe quoi" il dirait forcément aussi des choses vraies, ce qui empêcherait de prouver ton énoncé qu'il n'y "connaît rien". Tu ne maîtrises même pas la logique de base.

Je ne cherche pas "désespérément" à prouver le rattrapage, au contraire je l'ai prouvé grâce à des espérances (conditionnelles et totales, cas fini et infini), ainsi que l'existence d'avantages en ce sens pour le joueur avisé.

Dlzlogic, j'ai cité un théorème et un lien ci-dessus : tes hypothèses y sont traitées, il me semble.

A++

Dans l'état actuel, ta démonstration est valide selon les critères de Dlzlogic... Rien que ça, ça devrait te mettre la puce à l'oreille.
Tu sais comme moi que tout ce qui est valide selon Dlzlogic est faux, et vice-versa.

OK, pour t'éviter de parler une fois de plus en l'air, j'attends que tu me cites le ou les passages précis où "c'est faux", citations, pages, etc.

Salut Ltav,
Tu sais bien que mmaarr ne répond jamais aux question. Il se limite à insulter les gens. Je veins de supprimer encore un autre message de sa part. C'est curieux à quel point il peut se ridiculiser sans s'en rendre compte.
C'est le risque de la liberté d'expression.

Concernant le rattrapage du retard. En fait, c'est complètement évident même sans démonstration. J'admire ton courage de l'avoir faite. Je sais que c'est aussi le plaisir des maths.

En toutes circonstances, la probabilité d'obtenir Pile ou d'obtenir Face est la même, c'est 1/2.

Fin de la démonstration.

Fallait pas trop de courage, démonstration franchement simpl, et qui prouve que parier sur le rattrapage n'apporte aucun avantage.

Merci quand même pour ton compliment, c'est si rare.

@ mmaarr
Le fil actuel concerne des questions liées à la définition de la moyenne.
En plus d'être faux et ridicule, ton message est hors sujet.

PS. Par hasard, aurais-tu une explication pour laquelle le calcul de GBZM donne une moyenne de 509 et non pas 500 ?
Plusieurs hypothèses :
1- tu démontres que les chiffres des décimales de pi (modulo 2) ne respectent pas la probabilité 1/2
2- tu affirmes, sans le démontrer, que le script de GBZM est faux
3- c'est une autre vérification que le rattrapage du retard est une réalité.
A toi de choisir !

L'option 4, c'est que tu es complètement à côté de la plaque.

Je n'ai pas tous les éléments en main, mais pour l'instant, je privilégie l'option 4.

Oh, si, tu as tous les éléments en main. Gbzm a donné un lien que le fichier concerné. Par contre, tu as peut-être raison, il te manque une chose, un niveau de capacité élémentaire.