Probabilité de X+Y > 0 et Y > 0 ?

Bonjour,
Réf. : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2133326
J'ai un petit doute sur la "valeur exacte" du résultat (3/.
Avec Monte Carlo, je trouve un peu moins, c'est à dire 0.36 au lieu de 0.375.
Je n'ai pas compris la conclusion :
"Je reviens sur le calcul de cette probabilité avec un moyen très simple.
En traçant y=0 et x+y=0, il est très "facile" de se rendre compte que la probabilité est effectivement 3/8."
Peux-tu m'expliquer ?

Bonjour
avec Monte carlo, tu trouves un peu moins,
mais quel est ton intervalle d'incertitude ?!
c'est essentiel quand on fait ce genre de calculs numérique, sinon le résultat n'a aucun valeur.

Dlzlogic a écrit:En traçant y=0 et x+y=0, il est très "facile" de se rendre compte que la probabilité est effectivement 3/8."
Peux-tu m'expliquer ?

ben, la situation (la fonction à intégrer) est totalement invariante par rotation (centrée en 0) dans le plan.
On coupe le plan en 8 secteur donnés par les droite X=0 , Y=0, X+Y=0,  X-Y=0,
et on regarde la région qui nous intéresse Y > 0 , X+Y > 0
elle couvre 3/8 du plan.

Merci,
J'ai compris pour les 3/8.
Concernant la moyenne 0.36, je ne sais pas pourquoi. Mais je vais chercher.

Bon, voila mon idée : La représentation avec les droites qui donne exactement 3/8 n'est pas équilibrée par rapport au 00.
Si on tire de façon égale pour X on aura 50%, Mais la zone pour Y négatif est défavorisée.
J'ai un peu de mal à l'expliquer, mais pour l'instant, je ne vois que cette explication.
Autre façon de voir : les 8 zones ont chacune une couleur. Dans une position 3 zones sont favorables. Si on change le coloriage, le résultat sera différent.
Je ne garantis rien.

Voilà une autre façon de voir les choses.
On trace des cercles centrés sur l'origine dont les rayon sont 25% 41% 48% 50% qui sont les bornes de 1ep, 2ep, 3ep et 4ep.
Les aires des zones ainsi déterminées ne correspondent pas à exactement 3/8.

Je ne sais que je n'ai pas su le démontrer de façon rigoureuse, mais je pense qu'une méthode consiste à étudier chaque zone de 1/8. Clairement elles sont égales.
Par contre, la probabilité de validation suivant les hypothèses ne sont pas égales, le nombre d'occurrences de X favorables est supérieur au nombre de Y favorables. Donc, j'en conclue que le résultat de la question posée ne peut pas être exactement 3/8.

@ Fun : Bon, je répète ma question initiale, peux-tu confirmer la solution exacte de 3/8 ?
Désolé.

Bonjour,
Je viens de voir le code Python de Gbzm qui confirme le résultat 3/8.
L'énoncé précise que X et Y suivent la loi normale.
Mon calcul donnant 0.36 a été fait avec une fonction qui produit des tirages suivant la répartition normale. C'est une fonction que j'ai écrite, donc malgré mes vérifications je ne peux pas être sûr qu'il n'y ait pas de problème.
J'ai refait le calcul avec un tirage suivant la loi uniforme et effectivement j'obtiens 0.375.
Donc pour moi, le problème reste entier.
J'aimerais bien que l'on trouve une solution à ce problème.

PS quelle est la différence avec "random.gauss" ?

Code:

Fonction utilisée : rand()
Répartition de P(x+y>0 , y>0)

Nombre = 1000  Moyenne = 375.41  emq=15.57  ep=10.38
Médiane = 375   min= 329  max=424
Rapport Emq/Ema = 1.25 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=   3  0.30%   théorique 0.35%    |H
Classe 2  nb=  19  1.90%   théorique    2%    |HH
Classe 3  nb=  67  6.70%   théorique    7%    |HHHHHHH
Classe 4  nb= 177 17.70%   théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 238 23.80%   théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 243 24.30%   théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 163 16.30%   théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  66  6.60%   théorique    7%    |HHHHHHH
Classe 9  nb=  19  1.90%   théorique    2%    |HH
Classe 10 nb=   5  0.50%   théorique 0.35%    |H


Et avec la fonction TireAléa

Code:

Répartition de P(x+y>0 , y>0) Fonction : TireAlea

Nombre = 1000  Moyenne = 361.65  emq=15.29  ep=10.19
Médiane = 362   min= 315  max=408
Rapport Emq/Ema = 1.26 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=   2  0.20%   théorique 0.35%    |H
Classe 2  nb=  26  2.60%   théorique    2%    |HHH
Classe 3  nb=  76  7.60%   théorique    7%    |HHHHHHHH
Classe 4  nb= 144 14.40%   théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 245 24.50%   théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 255 25.50%   théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 163 16.30%   théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  70  7.00%   théorique    7%    |HHHHHHH
Classe 9  nb=  15  1.50%   théorique    2%    |HH
Classe 10 nb=   4  0.40%   théorique 0.35%    |H


Ce serait intéressant que Gbzm fasse le même calcul avec la fonction rand de base.

Bonjour,
C'est assez étonnant que personne ne réponde à mes questions sur ce sujet.
Il me semble qu'il est plus important que des petites discussions pour distinguer des lois discrètes et des lois continues.

bonjour
personne pour te répondre : c'est normal !! Tu as eu une explication du résultat 3/8

la situation (la fonction à intégrer) est totalement invariante par rotation (centrée en 0) dans le plan.
On coupe le plan en 8 secteur donnés par les droite X=0 , Y=0, X+Y=0,  X-Y=0,
et on regarde la région qui nous intéresse Y > 0 , X+Y > 0
elle couvre 3/8 du plan.

et  tu cherches à prouver que c'est faux avec tes idées personnelles, TA théorie...

Donc, j'en conclue que le résultat de la question posée ne peut pas être exactement 3/8.

Tiens, GBZM a fait une simulation conforme à 3/8 :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2133326,2138338#msg-2138338

Bref tout le monde sait que c'est 3/8 , sauf que tu le refuses... je ne peux rien pour toi.

Relis l'énoncé, il dit bien que X et Y suivent la loi normale.
Si je fais la simulation avec la fonction rand qui produit une distribution de loi uniforme, alors j'obtiens bien 3/8.
Gbzm avec une loi nommée "normalvariate" obtient aussi 3/8.
Alors je pose 2 questions simples
Que fait la fonction random.gauss ?
Pourrait-on refaire le test de Gbzm avec la fonction rand ordinaire ?

Je ne cherche pas à prouver quoi que ce soit, je cherche à comprendre.
En gros et pour simplifier, avec mes essais, je peux dire que 3/8, c'est quand X et Y suivent une loi uniforme, donc, avec mes essais et la logique géométrique, soit la loi uniforme et la loi normale c'est pareil, autant en maths théorique que pour Python, ce qui bien sûr complètement idiot, soit, il y a autre-chose que je cherche à comprendre.

Fun a écrit:Tiens, GBZM a fait une simulation conforme à 3/8 :

Ben, oui, moi aussi, mais c'est avec une distribution uniforme.

Sylviel a écrit:Pour être précis ce que l'on utilise ici c'est le fait que la densité du couple est radiale (i.e. f(x,y)=g(x2+y2)), d'où la décomposition en 8 intégrales identiques dont on sait que la somme vaut 1.

Oui, je veux bien, mais il reste la question : pourquoi j'ai des résultats différents entre "loi uniforme" et "loi normale" et que GBZM a des résultats identiques. Je veux bien admettre que ma fonction de répartition normale est fausse, mais je voudrais un test et qu'on exécute le même test avec Python.
Cette question ne me parait pas trop idiote, et surtout, ça me parait assez important.

Dlzlogic a écrit:Ben, oui, moi aussi, mais c'est avec une distribution uniforme.

La loi uniforme dans le plan tout entier n'existe pas ! La loi uniforme n'existe que sur un domaine borné...

Oui, tu as raison.
L'intervalle est [0 ; 32767]
Mais, ce n'est pas la loi uniforme qui pose problème, c'est la loi normale.
Je viens de faire des tests, c'est correct.
Donc, pour moi, le problème reste entier.
J'ai vu les essais de GBZM,

Personnellement, je ne vois aucun souci avec la loi normale, bien au contraire :
exp( - x^2/2 ) / (2 Pi) ^0.5  * exp( -y^2 / 2) / (2 Pi) ^0.5 
= exp( - (x^2+y^2) / 2 ) / (2 Pi)
= exp( -r^2 / 2 ) / (2 Pi)  
où r est la distance entre les points (0,0) et (x,y) .
Cette loi de probabilité sur le plan est donc parfaitement invariante par rotation du plan autour de (0,0) puisqu'elle ne dépend que de r en réalité.
Le raisonnement s'applique sans problème et donne 3/8 .

Oui, il est vrai qu'il y a une certaine logique, les 8 triangles sont identiques à une rotation près. Donc effectivement 3 tiangles, ça fait 3/8.
Donc, je ne comprends pas pourquoi je trouve 0.36, pourquoi Gbzm trouve 0.39 pour le dernier essai.
Et je n'aime pas rester sur une incompréhension.
L'écart observé est tout de même important puisqu'il est de l'ordre de l'écart-type.

Dlzlogic a écrit:L'écart observé est tout de même important puisqu'il est de l'ordre de l'écart-type.  

un écart observé proche de l'écart-type théorique, il n'y a rien d'exceptionnel à cela...

Comment simules-tu la loi normale N(0,1) ?

Si tu veux avoir probablement (90% de chance) 2 chiffres significatifs,  à savoir être dans l'intervalle 3/8  +/- 0.005, il faut prendre un échantillon de taille 26 000 .
Avec un échantillon de taille 1 000 uniquement , il y a des risques (19% de malchance) d'être extérieur à l'intervalle  3/8  +/- 0.02.

Comme je te disais, connaitre son intervalle d'incertitude, c'est essentiel quand on fait ce genre de calculs numériques, sinon le résultat n'a aucune valeur.

Bon, parfaitement d'accord pour discuter, mais demain.
Bonne soirée.

Bonjour Fun
"un écart observé proche de l'écart-type théorique, il n'y a rien d'exceptionnel à cela..."
Il ne s'agit pas d'un "écart observé" mais d'une différence entre la moyenne observée et la valeur théorique. Et là, c'est énorme.

"Comment simules-tu la loi normale N(0,1) ?"
J'ai copié les valeurs d'une table de répartition et je lis dans cette table de façon aléatoire. Les contrôles que j'ai faits sont tout à fait satisfaisants, mais je suis prêt à en faire d'autres si nécessaire.

"Si tu veux avoir probablement (90% de chance) 2 chiffres significatifs,  à savoir être dans l'intervalle 3/8  +/- 0.005, il faut prendre un échantillon de taille 26 000 .
Avec un échantillon de taille 1 000 uniquement , il y a des risques (19% de malchance) d'être extérieur à l'intervalle  3/8  +/- 0.02."
Non, il s'agit d'une différence systématique et de valeur constante, en tout cas, suffisamment constante pour être sûr. Laisse tomber les intervalles de confiance pour l'instant.

"Comme je te disais, connaitre son intervalle d'incertitude, c'est essentiel quand on fait ce genre de calculs numériques, sinon le résultat n'a aucune valeur." Ouaih, la moyenne arithmétique est la valeur la plus probable du résultat cherché.

Donc, il faut chercher une erreur systématique. Il y a des tests à faire, par exemple, prendre 3 autres triangles et encore 3 autres triangles.
Gbzm a observé la même différence, mais dans l'autre sens pour son troisième essai.
J'ai pensé à un cas sorcier dû à la limitation intrinsèque des nombres dans la machine.
Il y a des tests à faire pour essayer de comprendre.

PS. J'ai lu l'explication de P. je n'ai pas compris.
A le lire, je crois comprendre que il démontre la fausseté du caractère invariant de ce calcul.
Bref, je suis perdu.

J'ai numérotés les triangles de 1 à 8 et j'ai fait 4 calculs dont voici les résultats.

Code:

Répartition de P(x+y>0 , y>0) Fonction : TireAlea Tr 8,1,2

Nombre = 1000  Moyenne = 361.98  emq=15.15  ep=10.10
Médiane = 362  min= 318  max=415
Rapport Emq/Ema = 1.26 Théorique = 1.25

Répartition de P(x+y>0 , y>0) Fonction : TireAlea Tr 4,5,6

Nombre = 1000  Moyenne = 386.69  emq=15.86  ep=10.57
Médiane = 387  min= 332  max=438
Rapport Emq/Ema = 1.26 Théorique = 1.25

Répartition de P(x+y>0 , y>0) Fonction : TireAlea Tr 2,3,4

Nombre = 1000  Moyenne = 369.12  emq=16.01  ep=10.67
Médiane = 370  min= 319  max=422
Rapport Emq/Ema = 1.25 Théorique = 1.25

Répartition de P(x+y>0 , y>0) Fonction : TireAlea Tr 6,7,8

Nombre = 1000  Moyenne = 379.49  emq=15.91  ep=10.61
Médiane = 380  min= 313  max=431
Rapport Emq/Ema = 1.25 Théorique = 1.25

Total des moyennes : 1487.28
Moyenne pour 3 triangles 374.32 à comparer à 3/8 = 0.375


Donc, on en revenu à ma première question.
Et je ne comprends pas.

bonjour

Dlzlogic a écrit:
Il ne s'agit pas (...)

Non (...)

Laisse tomber les intervalles de confiance pour l'instant.

Oui, tu es perdu, mais tu ne fais pas les bons efforts, tu te noies tout seul comme un nageur qui panique, et/car tu refuses encore toutes les explications que je te donne.

Bref, as-tu simplement fait une simulation avec un échantillon de taille 26 000  ?  non, pourquoi ? ...parce que cela te montrerait que j'ai raison de parler des intervalles de confiance : on est en plein dedans...

Dlzlogic a écrit:"Comment simules-tu la loi normale N(0,1) ?"
J'ai copié les valeurs d'une table de répartition et je lis dans cette table de façon aléatoire.

ah ok, et combien de valeurs possède ta table ? plusieurs dizaines de milliers j'espère ! Si tu as une trop petite table, c'est un tirage forcément biaisé.

Il y a des moyens très simples pour simuler des tirages selon une loi de probabilités fixée continue, par exemple la loi normale (On verra si tu veux savoir comment). Cela évite des tables...

Bon, sujet résolu.