Formule de l'écart type.

Bonsoir,
Tien, encore une question classique : pour calculer l'écart-type, doit-on divise par N ou par N-1.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?13,1842728
Les réponses sont assez amusantes, même Dom qui est sérieux, ne connait pas la réponse, alors je la rappelle.
Si la valeur de la moyenne dans la formule est une moyenne observée, c'est à dire la moyenne arithmétique des valeurs observées, certains matheux qui n'y connaissent rien appellent ça la moyenne "empirique", alors le dénominateur est N-1. Si c'est la valeur vraie de la moyenne, ce n'est cas le plus fréquent, alors le dénominateur est N.
Ceci n'a rien à voir avec le mot mystère "biais", c'est de la mathématique pure. Difficile à démontrer, mais facile à comprendre.

Bonjour,
La réponse de G. est intéressante, elle confirme ce qu'on observe souvent "en math, c'est comme on veut".
Ca, c'est un sujet particulièrement bien connu de Sylviel. Il ne m'a toujours pas expliqué pourquoi, dans un calcul, il prend la médiane, alors que tout le monde prend la moyenne arithmétique, c'est un postulat, mais on a démontré qu'on avait fait le bon choix. Il me semble que quand, à un certain niveau, on se spécialise sur un sujet (une thèse se prépare en 3 ans), alors on va au fond des choses. Apparemment, ce n'est plus vrai.

Bonjour,
C'est marrant, dès qu'il est question d'écart-type ont peut lire tout et surtout n'importe quoi.
Dans les différents articles de Wikipédia que j'ai pu lire sur le sujet, il y a des imprécisions, des manques de définition mais rarement des bêtises. Par contre, dans les forum, on trouve de jolies choses.

jma a écrit: Un estimateur sans biais mais dans la pratique diviser par 15 au lieu de 14 ou 35 au lieu de 34... C'est un peu la même chose pour le quantile de la loi normale 1.96 ou 2.

On discute de l'écart-type, en particulier de sa formule.
D'abord, on calcule l'écart-type, on ne l'estime pas. Bien-sûr c'est une valeur non exacte au sens mathématique, mais sa définition et sa formule de calcul sont parfaitement précises, donc "exactes".
Que le dénominateur soit N ou N-1 ne dépend pas du choix du matheux, d'histoire de biais, mais tout simplement de la connaissance de la moyenne. Si on connait la moyenne vraie, alors le dénominateur est N, si on l'a calculée avec les différentes observations, alors le dénominateur est N-1. Si on se trompe, c'est une faute due à une méconnaissance de la théorie.
Par contre, la distinction entre 1.96 et 2 ne dépend que de la précision de cette fameuse limite de 5%.
Personnellement, j'utilise l'écart probable, les limites sont alors pour moi 25%, 16%, 7%, 2% et il reste 0.35% hors tolérance.
Pour mémoire, l'écart probable est égal à 2/3 de l'écart-type.
A ce propos, dans le calcul des coureurs j'ai parlé d'abord de 17%, puis l'article de Wikipédia m'a fait corriger en 16%. Ma mémoire ne me trompait pas, c'était juste une histoire de précision.

Gérard a écrit:Le biais n'a aucun rapport avec la question N ou N-1. La racine carrée de l'estimateur de la variance est biaisée par nature (la moyenne des racines carrées n'est pas la racine carrée de la moyenne).

NB : On préfère ici un estimateur biaisé facile à utiliser aux estimateurs non biaisés connus, moins pratiques.

Petite information pour Gérard : La définition de la variance est le carré de l'écart-type, lequel a une définition précise. Il est clair que "la moyenne des racines carrées n'est pas la racine carrée de la moyenne." est vrai, mais il serait intéressant qu'il explique le rapport avec le présent sujet.
"On préfère ici un estimateur biaisé facile à utiliser aux estimateurs non biaisés connus, moins pratiques." En bon français, on préfère utiliser une valeur que l'on sait fausse. Cela m'a déjà été dit par S.