Une question de type d'erreur.

Bonjour,
Réf. : https://www.ilemaths.net/sujet-probabilite-876471.html
Cet exercice n'est pas idiot mais je n'aime pas sa présentation.
Je cite l'énoncé :

On veut estimer le diamètre moyen de pièces circulaires d'un lot qui comporte 413 pièces. Selon des résultats antérieurs, on admet que l'écart-type du diamètre serait vraisemblablement 0,35 cm et que la distribution des diamètres est gaussienne. Déterminez le nombre de pièces que l'on doit prélever du lot pour obtenir, avec un niveau de confiance de 95%, une estimation du diamètre moyen des pièces avec une marge d'erreur n'excédant pas 0,023 cm.

C'est une application très intéressante de la distinction entre erreur systématique et erreur accidentelle.
Il s'agit de fabrication de pièces circulaires, donc, c'est une machine qui fait cela. Cette machine peut se dérégler, cela provoque une erreur systématique qui se verra sur la moyenne, elle peut prendre du jeu par usure, cela se verra sur l'écart type, puisque c'est une erreur accidentelle. Par contre, il n'est pas nécessaire de préciser que la distribution des diamètres est gaussienne, il ne peut pas en être autrement.
Il est clair que l'écart-type se rapporte à la machine, c'est à dire à la loi de fabrication et non pas "l'écart-type sur le diamètre d'une pièce est 0,35" comme il a été précisé par un membre.

Dans les cours de proba, il est noté habituellement que les valeurs renvoyées par une variable aléatoire sont notées avec une lettre minuscule indicée. Autrement dit, si X est la variable aléatoire étudie, alors les valeurs renvoyées seront notées x1, x2, ... xn.
On trouve encore une fois cette ambiguïté (voir les réponses) entre "variable aléatoire" qui est une fonction et "variable renvoyé par la fonction" qui est une valeur, en l'occurrence un diamètre.
A l'occasion de cet exercice, il serait intéressant d'expliquer comment un peut parvenir au résultat cherché à partir de l'axiomatique de K.
En fait, il s'agit de "recettes" déduites des deux théorèmes de Bernoulli, que l'étudiant doit appliquer sans avoir compris de quoi il s'agit.
Concernant l'exercice lui-même, c'est dommage puisque c'est un bon exemple de l'utilisation de la théorie des probabilités dans le monde réel.

bonjour

Dlzlogic a écrit: l'axiomatique de K.

tu parles de ce que tu connais bien, n'est-il pas ? Donc tu peux nous rappeler ces axiomes, s'il te plait ? on parle d'axiomes , pas de théorèmes bien sûr...

Dlzlogic a écrit:Il s'agit de fabrication de pièces circulaires, donc, c'est une machine qui fait cela.

une seule ? pourquoi pas plusieurs ?

Chris a écrit:une seule ? pourquoi pas plusieurs ?

Oui, c'est une bonne question.
On pourrait répondre "lire une usine" au lieu de "une machine". Mais cette réponse ne serait pas bonne parce que l'exercice proposé n'aurait plus de sens. S'il y a plusieurs machines, il y a plusieurs moyennes, plusieurs écart-type. On ne peut donc tirer aucune conclusion.

Je trouve que la suite prend une tournure bizarre.
On a un paquet de rondelles. On sait qu'il y en a 413. Si on veut connaitre le diamètre moyen, alors, il suffit de les peser, compte tenu de la densité, on calcule facilement le diamètre moyen..
¨Pour une raison qui n'est pas précisée dans l'énoncé, on ne veut pas procéder comme cela, mais faire un prélèvement d'un petit nombre, mesurer leur diamètre et en déduire le diamètre moyen.
En d'autres termes, qu'y ait 413 rondelles ou 4130, le nombre à prélever sera le même. (à vue de nez, il faudra toutes les mesurer).

Ok, donc pour tout lot de 413 pièces de un euro, on est certain qu'elles sont toutes fabriquées avec la même machine.
Pour tout lot de 413 capsules Nespresso, on est certain qu'elles sont toutes fabriquées avec la même machine.
Superbe.

Dlzlogic a écrit:Si on veut connaitre le diamètre moyen, alors, il suffit de les peser, compte tenu de la densité, on calcule facilement le diamètre moyen..

oui, tu as le droit de changer d'exercice. C'est une façon commode de s'y prendre pour les résoudre.

Je me demande si tu as lu et compris mon premier message ?
Si tu as les 413 pièces fabriquées avec des machines différentes, les machines peuvent très bien avoir un écart-type de 0.35 cm et des dimensions différentes. Tu parles de pièces de monnaie, prenons des pièces de 1€ et 2€, manifestement elles n'ont pas le même diamètre mais très probablement des écarts-types très proches, sinon égaux. L'écart-type est directement fonction du jeu de la machine qui les fabrique, pas du tout de la taille de l'emporte-pièce. C'est la différence entre l'erreur accidentelle et l'erreur systématique.
Pour une fois qu'il y a un énoncé intéressant, tu tombes à côté.

En réponse à ton message, je ne change en aucun cas l'énoncé, simplement, étant donné une situation précise, j'imagine que l'industriel aurait pu choisir une autre méthode.
Par ailleurs, ce n'est pas parce que j'ai cité cet énoncé que je prétends y répondre. Si on me pose une question, je tente d'y répondre de la meilleurs façon possible. Dans le cas présent, cet énoncé me suggère une situation précise et je ne vois par pour quelle raison je ne pourrais pas en parler.
Cencernant tes interventions, elles sont vraiment à côté de la plaque.

oui, tu dis que tu peux imaginer, et je suis d'accord. Quand on prend un lot de pièces de 1 euro, tu ajoutes des pièces de 2 euros dans l'histoire, etc. A chacun de tes messages, ça part dans une direction différente.

Suite à ma question << pourquoi une seule machine et pas plusieurs >>, tu as bien affirmé (via un raisonnement particulier) qu'un lot ne pouvait être fabriqué qu'à partir d'une seule machine. Moi, ça me va !

De toute manière, cette histoire de machine est hors sujet : la question porte sur les pièces d'un lot, et non sur la (ou les) machine(s) qui ont été utilisées.

revenons maintenant au problème posé et cette affirmation :

Dlzlogic a écrit:En d'autres termes, qu'y ait 413 rondelles ou 4130, le nombre à prélever sera le même. (à vue de nez, il faudra toutes les mesurer).  

en es-tu si sûr ?
le nez n'est pas forcément le meilleur outils pour faire des probas...

Je suppose que tu sais faire le calcul demandé.
Concernant la question "une ou plusieurs machines ?". Je répète ce que j'ai dit : il est bien précisé que l'écart-type des diamètres est approximativement égal à 0.35cm. Il est bien précisé que le loi de probabilité est la loi normale, ce qui sous-entent qu'il y a une seule loi, d'où une seule machine.
En fait, je ne vois pas où tu veux en venir. Probablement que tu ne le sais même pas.

Dlzlogic a écrit:Concernant la question "une ou plusieurs machines ?". Je répète ce que j'ai dit : il est bien précisé que l'écart-type des diamètres est approximativement égal à 0.35cm. Il est bien précisé que le loi de probabilité est la loi normale, ce qui sous-entent qu'il y a une seule loi, d'où une seule machine.

oui, une seule loi de probabilité pour ce lot,  
et non, cela n'implique pas une seule machine... mais bon, imagines ce que tu veux.

Dlzlogic a écrit:En fait, je ne vois pas où tu veux en venir.

que tu ne vois pas, ce n'est pas étonnant.

Dlzlogic a écrit:Je suppose que tu sais faire le calcul demandé.

oui, tu supposes bien.  
Et toi tu sais aussi, non ? sinon pourquoi affirmer une réponse (qui est mathématiquement incorrecte).

T'es vraiment un marrant :

Chris a écrit:
Dlzlogic a écrit:
Je suppose que tu sais faire le calcul demandé.

oui, tu supposes bien.
Et toi tu sais aussi, non ? sinon pourquoi affirmer une réponse (qui est mathématiquement incorrecte).

Les exercices posés m'intéressent si ils me suggèrent quelque que chose que je trouve intéressant à dire. Dans la plupart des cas, la solution numérique ne m'intéresse pas vraiment, je n'ai de compte à rendre à personne.
En l'occurrence cet exercice est intéressant pour les raisons que j'ai expliquées. Manifestement, tu n'y as rien compris. Cela ne m'empêchera pas de dormir. Par contre, ce que je trouve plus tracassant c'est la tournure que prend le sujet. Une intervenante parfaitement incompétente et un autre qui semble un peu perdu avec cet énoncé.

Je viens de relire les derniers messages : on se perd dans la distinction entre N et N-1.
J'attends avec impatience le nombre qu'il faut tirer pour calculer une moyenne valable.

Bon, pour le plaisir, voila une approche pédagogique.
La machine fabrique des rondelles relativement correctement. On a observé un écart type de 0.35mm sur le diamètre des rondelles.
On prend 400 rondelles fabriquées avec cette machine. On veut connaitre la précision sur la moyenne des diamètres.
Réponse : l'écart-type sur la moyenne = 0.35 / rac(400) = 0.0175.

Et encore un changement d'exercice (celui que tu donnes est nettement plus simple)
Manifestement, tu n'y as rien compris à l'exercice exposé dans l'autre forum.

Dans la plupart des cas, la solution numérique ne m'intéresse pas vraiment, je n'ai de compte à rendre à personne.

oui, la plupart du temps, tes résultats numériques sont faux, comme ici quand tu fais ça au nez comme tu dis.
Par étonnant que tu ne t'y intéresses pas.

J'attends avec impatience le nombre qu'il faut tirer pour calculer une moyenne valable.

ah bon, le résultat numérique t'intéresse !

le résultat de l'exercice (relire ses données) :
il faut prendre un échantillon de 282 pièces dans un lot de 413
et  pour mémoire, un échantillon de 732 pièces pour un lot de 4130 .
Bref, rien à voir avec tes affirmations :

En d'autres termes, qu'y ait 413 rondelles ou 4130, le nombre à prélever sera le même. (à vue de nez, il faudra toutes les mesurer).  

Et pour de la théorie (si elle te dit quelque chose), tu peux lire la discussion sur l'autre forum.

Bonjour Chris,
Cela m'intéresserait vraiment que tu me donne le détail du calcul.
A vue de nez, je suis d'accord avec le lot de 282 à mesurer.
Mais j'aimerais bien avoir la logique.
Par contre, j'aimerais bien avoir le raisonnement si le lot est de 4130 pièces.
Petit point de comparaison : pour un sondage, la taille du groupe interrogé dépend-il de la taille de la population totale .
J'ai bien lu qu'on te souhaitait bon courage pour m'expliquer, mais ça vaut le coup d'essayer.

bonjour

Dlzlogic a écrit:Par contre, j'aimerais bien avoir le raisonnement si le lot est de 4130 pièces.

pour de la théorie, c'est expliqué dans la discussion sur l'autre forum par
Vassillia (qui expose des divers principes plus compliqués) ou
GBZM qui fait une combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes et qui suivent la même loi normale  :
un théorème dit que le résultat suit une loi normale,
on alors utilise V(aX+Y) = a².V(X)+V(Y) lorsque X et Y sont indépendants et a réel fixé (mais toi, tu dis que c'est faux, donc...),
et on arrive facilement au résultat énoncé dans la discussion.


le raisonnement ne dépend pas du nombre de pièces.

Dlzlogic a écrit:Petit point de comparaison : pour un sondage, la taille du groupe interrogé dépend-il de la taille de la population totale .

dans un sondage, on considère la population comme bien plus nombreuse que l'échantillon sondé, cela simplifie le raisonnement, mais en toute rigueur, cela devrait être pareil (car on ne teste pas deux fois la même personne et la population totale n'est pas infinie).
l'erreur de flight est justement de vouloir appliquer la formule simplifiée utilisée dans un sondage dans le cas de l'exercice. Mais il prend les choses à l'envers : la formule des sondages n'est qu'un cas trop simplifié qui ne peut pas s'appliquer dans le cas général dans lequel est l'exercice.

Merci pour ton message.
Le long calcul non commenté de Vassillia ne m'apporte rien.
La seule chose qui m'intéresse, c'est la raison pour laquelle tu penses que le nombre de pièces à tester dépend du total du stock.
Pour employer des termes utilisés en mesure : on cherche à éliminer les erreurs accidentelles en testant un nombre suffisant pour évaluer la moyenne avec la précision demandée.
Autre exemple : tu reçois un nouvel appareil de mesure. Tu veux le tester, c'est à dire l'étalonner. combien de mesures élémentaire de la même chose tu devras faire pour garantir la précision de l'appareil. Que cet appareil serve à faire 1000 ou 100 000 mesures ne change rien.

Dlzlogic a écrit:La seule chose qui m'intéresse, c'est la raison pour laquelle tu penses que le nombre de pièces à tester dépend du total du stock.

le cardinal du stock N est dans la formule, et n correspond à la taille de l'échantillon :
l'écart-type est (**) s = 0.35 * ( (N-n) / (N.n) )^0.5    
on veut trouver n tel que 1.96 * s = 0.023. Et donc n dépend de N !   on obtient  n = N/( 1 + N/890 )
890 vient des constantes 0.35 , 1.96 et 0.023

En particulier, on voit qu'il ne sera pas nécessaire de dépasser la taille 890 de l'échantillon , même si N devient énorme (comme 4130)
ce 890, c'est ce qu'obtient flight avec son mauvais raisonnement. Mais il l'a bien vu que 890 > 413 ...
Du coup, il se demande si l'énoncé est faux (comment pourrait-il être faux ?!! ) alors que c'est lui qui a fait une erreur de raisonnement.

Dlzlogic a écrit:Autre exemple : tu reçois un nouvel appareil de mesure. Tu veux le tester, c'est à dire l'étalonner. combien de mesures élémentaire de la même chose tu devras faire pour garantir la précision de l'appareil. Que cet appareil serve à faire 1000 ou 100 000 mesures ne change rien.

cela n'est pas tout à fait la même chose car il n'y a pas de population finie N dans laquelle on tire un échantillon.
Mais, comme je le disais juste au dessus pour les sondages,  on s'en tire en appliquant la formule (**) avec N=infini qui devient la formule simplifiée que tu connais, s = 0.35 / n ^0.5   car (N-n)/N = 1

Chris a écrit:l'écart-type est (**) s = 0.35 * ( (N-n) / (N.n) )^0.5

L'écart-type est intrinsèque à la fabrication. Il ne dépend en aucun cas de la dimension du stock.
L'énoncé est parfaitement clair :
"Selon des résultats antérieurs, on admet que l'écart-type du diamètre serait vraisemblablement 0,35 cm"
En d'autres termes, cet écart-type a été mesuré sur les millions de rondelles déjà fabriquées, éventuellement calculés à partir de sondages.
C'est pas pour rien que cet exercice est un très bon exemple de distinction entre l'erreur systématique qui se voit sur la moyenne et l'erreur accidentelle qui se voit sur la dispersion, c'est à dire sur l'écart-type.
Là, c'est toi qui change l'énoncé. C'est pas bien.

Un mout tout de même à propos du calcul de V. et de l'article cité. C'est complètement hors-sujet. Dans l'énoncé, on mesure des diamètres, il s'agit donc de variables continues.
La fameuse distinction entre variable discrète faite à mon avis pour faciliter l'approche pédagogique fait des dégâts.

Dlzlogic a écrit:

Chris a écrit:l'écart-type est (**) s = 0.35 * ( (N-n) / (N.n) )^0.5    

L'écart-type est intrinsèque à la fabrication. Il ne dépend en aucun cas de la dimension du stock.

non, lis bien , on parle de l'écart-type du diamètre des pièces.
L'énoncé est parfaitement clair :
"Selon des résultats antérieurs, on admet que l'écart-type du diamètre serait vraisemblablement 0,35 cm"

Ecart-type de fabrication ne veut rien dire : on parle d'écart-type d'une liste de réels ou d'une variable aléatoire (ici le diamètre d'une pièce), pas d'une "fabrication" ...
Mais bon, depuis le début, tu dévies l'énoncé sur ta machine, tu inventes, etc.

Et en plus, il est clair que tu ne comprends absolument rien, car 0.35 * ( (N-n) / (N.n) )^0.5 est l'écart type d'une certaine combinaison linéaire de variables aléatoires normales. Je te l'ai dit, et c'est expliqué clairement dans la discussion.

Et c'est toi qui veut apprendre les probas aux matheux. On rigole bien avec toi.

Dlzlogic a écrit:Mais j'aimerais bien avoir la logique.
J'ai bien lu qu'on te souhaitait bon courage pour m'expliquer, mais ça vaut le coup d'essayer.

de belles phrases assez hypocrites.  

Dlzlogic a écrit:La fameuse distinction entre variable discrète faite à mon avis pour faciliter l'approche pédagogique fait des dégâts.  

le dégâts, on les voit très bien, rassure toi.

Dlzlogic a écrit:@ Chris,
Tu sais il ne suffit pas de dire que deux membres compétents, Flight et Alb12 ont tort pour faire croire qu'on a raison.
L'énoncé serait faux si le nombre de disques à mesurer pour avoir la précision sur la moyenne demandée serait plus grand que le nombre de disques disponibles. Par exemple si l'énoncé avait demandé une précision de 0.01 (à vue de nez), au lieu de 0.023.
Je pense que tu auras compris que le probabilités ce n'est pas seulement une question de formules mal comprises on pourra avancer.
J'ai fait la simulation dont j'ai parle, et toi, tu t'es juste contenté de dire "c'est pas vrai !".