Un test de fabrication.

Bonsoir,
Réf. : https://www.ilemaths.net/sujet-intervalle-de-confiance-d-une-moyenne-867277.html
Les doutes de cet étudiant sont très intéressant et parfaitement justifiés.
L'énoncé précise une moyenne et un écart-type cela signifie que ces valeurs ont été vérifiées, et que les résultats de sondages sont conformes à la répartition normale. Ceci est incontestable.
On fait un sondage sur 100 ampoules. La préoccupation est de savoir si ces ampoules sont bonnes ou pas.
Donc, on calcule la moyenne et l'écart-type (pourquoi pas).
Le premier test doit consister à comparer la moyenne à la moyenne de base.
Si l'écart type sur les 100 mesures est sensiblement inférieur à l'écart-type de base, il doit y avoir une faute, soit une faute de calcul, soit une ampoule vraiment hors norme. Eliminons cette hypothèse facile à identifier et à corriger. Pour mémoire, une valeur de 0.35% est normale.
Bon, maintenant, pourquoi comparer les valeurs en fonction de l'écart-type calculé sur les 100 valeurs ? pour observer qu'on n'a pas eu de chance, surtout avec un coefficient de 95%, c'est vraiment être très pessimiste ou plutôt pas très confiant dans la production.
Le seul test valable est de comparer (auteur de l'énoncé) les résultats avec les pourcentages habituels de répartition normale, et naturellement en faisant les calculs avec l'écart-type de base, c'est à dire 20mg.
Le test proposé par le correcteur est toujours positif, sauf dérèglement complet de la fabrication. Mais on peut espérer que ce dérèglement aura été constaté par les techniciens avant les test, sinon, il faut changer de fabricant.    

Si je n'ai pas été très clair dans mon explication, je ne demande qu'à développer.

Bonjour,
Un membre assez actif, alb12, a réagi et a détaillé la notion d'écart-type en faisant la distinction "pas estimé" <--> "estimé".
Il me parait important de préciser les choses.
L'écart-type est une valeur numérique. Sa définition est précise, c'est l'écart moyen quadratique qu'on appelle aussi "moyenne de second ordre".
L'intérêt de cette valeur est d'avoir une unité de comparaison de la qualité des observations et mesures, les une par rapport à d'autres. On peut aussi utiliser l'écart moyen arithmétique, mais pour certaines raisons, on utilise l'écart moyen quadratique. L'une de ces raisons est les caractéristiques intéressante de l'emq, par exemple, c'est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de Gauss.
Cette valeur numérique peut être calculée, suivant les cas, le dénominateur est N ou N-1, N étant le nombre de valeurs d'observation utilisées. Si la valeur de la moyenne entrant dans le calcul est la valeur vraie, c'est à dire une valeur connue, et exacte (cas rare) alors le dénominateur est N, sinon, il faut prendre (N-1). Exemple de "cas rare", statistique de tirage de dés, mesures des 3 angles de triangles, étalonnage d'un appareil de mesure.
De toute façon, il n'y a qu'un écart-type, sa formule de calcul est différente suivant les conditions de l'expérience, c'est à dire si la moyenne utilisée dans la formule est la moyenne exacte, on dit généralement "moyenne vraie", ou si c'est la moyenne arithmétique des valeurs obtenue lors de l'expérience.
Cela est difficile à démontrer, mais il y un moyen simple de la comprendre.
Faisons 2 mesures d'une même chose. On adoptera la moyenne arithmétique des deux mesures. L'écart-type sera naturellement l'écart d'une des deux mesures par rapport à la moyenne. L'écart calculé à partir de l'autre mesure sera le même, au signe près. Il n'y a pas d'ambiguïté, l'écart-type est unique et résulte d'une simple soustraction. Par contre, si pour une raison quelconque on connait la valeur exacte de la chose mesurée, alors chacune des deux mesures aura un écart à la moyenne, donc on prendra la moyenne.
On peut lire dans certains document qu'il est question de "biais". Dans le cas de l'écart-type, si on n'utilise pas la formule adaptée à l'expérience, il s'agit d'une faute de calcul, puisque la définition de l'élément calculé est parfaitement définie.