Nombre de faces successives avec une pièce.

Bonsoir,
Réf. : https://www.maths-forum.com/enigmes/nombre-faces-successifs-t231339.html
Cette question est intéressante.
La réponse est tout simplement l'application de la loi des grands nombres.
Pour 1 face, la probabilité est 1/2
Pour 2 face la probabilité est 1/4
Pour 3 face la probabilités est 1/8
...
Pour n face la probabilité est 1/2^n
J'ai fait une simulation de cela il y a quelques années, je l'ai publiée un certain nombre de fois, et j'ai toujours le document original.
D'ailleurs, cette simulation est facile à faire. C'est par ailleurs, une vérification du phénomène de rattrapage, notion considérée comme hérétique.

Bonjour,
apparemment, cette question a intéressé deux membres très actifs.
http://www.dlzlogic.com/Rouge_Noir.jpg

Bonjour,
A la question "quelle est la probabilité d'avoir une suite d'au moins 7 faces sur 50 tirages", le trouve 22% par simulation.

Au passage, j'ai lu que Vassillia a envie de jouer. Je lui propose de jouer suivant le jeu proposé par Léon, et je ferai le casino.
Je sais que c'est pas honnête, mais elle n'a que ce qu'elle mérite.

Bon, la question "quelle est la probabilité d'avoir une suite d'au moins 7 faces sur 50 tirages" est très précise. Il n'y a pas d'interprétation possible.
Donc on tire à pile ou face 50 fois. Il y a deux issues possibles, soit on obtient une suite de 7 face, et on compte 1, soit on arrive aux 50 tirages sans obtenir de suite de 7 faces consécutifs et on compte 0.
Sur un grand nombre de jeux, quel est le nombre d'issues favorables ?
Un calcul théorique a donné 16.5%, une simulation m'a donné 22%.
L'écart est trop important pour penser qu'il s'agit de précision de calcul.
Je pense qu'il serait intéressant de confirmer l'un ou l'autre résultat, ou éventuellement d'en trouver un troisième.

Bonjour,
J'ai refait exactement la même simulation de Gbzm : 20 fois 1000 tirages

Gbzm : M=168 ; emq=11.2 : emq/ema=1.24
Moi : M=216 ; emq=4.5 ; emq/ema = 1.20 et 1.15

On remarque que la répartition des 20 résultats de Gbzm est bien meilleure que la mienne, quasiment la répartition théorique, mais que la dispersion est largement plus grande. Je rappelle que la valeur théorique du rapport emq/ema est 1.25. Il est clair que ce rapport n'est atteint que pour un très grand nombre d'observations, ce qui n'est pas le cas avec 20.

Je n'en tire aucune conclusion, simplement je constate.

Le viens de voir le code de Vassillia.
Voici mon code et un résultat.

Code:

int main()  // suivant 445
{
  randomize();
  int P7Face[20];
  for (int fois=0; fois<20; fois++)
  {
    int NbP=0;
    for (int i=0; i<1000; i++)
    {
      int nbF=0;
      for (int t=0; t<50; t++)
      {
        int r=rand()%2;
        if (r == 0)
        {
          nbF++;
          if (nbF >= 7)
          {
            NbP++;
            break;
          }
        }
        else nbF=0;
      }
    }
    P7Face[fois]=NbP;
  }
  AfficheNormale(20, P7Face, "\n Nombre de suite de 7 faces ");
  fclose(espion);
  return 0;
}



 Nombre de suite de 7 faces
Nombre = 20  Moyenne = 216.30  emq=5.36  ep=3.57
Médiane = 217   min= 205  max=226
Rapport Emq/Ema = 1.22 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=   0  0.00%   théorique 0.35%    |
Classe 2  nb=   1  5.00%   théorique    2%    |HHHHH
Classe 3  nb=   1  5.00%   théorique    7%    |HHHHH
Classe 4  nb=   3 15.00%   théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=   4 20.00%   théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=   4 20.00%   théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=   6 30.00%   théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=   1  5.00%   théorique    7%    |HHHHH
Classe 9  nb=   0  0.00%   théorique    2%    |
Classe 10 nb=   0  0.00%   théorique 0.35%    |


L'avantage des mathématique est que l'on doit toujours trouver une explication à une anomalie ou une différence entre deux avis différents.

PS, je tiens à préciser que je ne conteste rien. Je dis poliment que je ne trouve pas pareil et j'ajoute que ce serait intéressant de comprendre.

PS2. La récursivité est enseignée, mais on oublie souvent de rappeler qu'elle doit être utilisée avec prudence et en tout cas à éviter pour du calcul. L'exemple souvent cité est celui du calcul d'une factorielle.

Vu le message de Vassillia.
Donc, le problème reste entier, avec le même code on obtient des valeurs différentes :
219 214 216 221 212 216 223 206 224 219 207 219 216 217 216 211 223 211 212 220
Il me semble important de trouver l'explication.
Quelque petits détails.
Les include sont naturellement présents en tête du module.
La fonction randomize() initialise le générateur de nombres aléatoire à l'aide de l'horloge.
La fonction d'impression peut naturellement être supprimée sans inconvénient.
Bien-sûr, j'ai ma petite idée.
On peut observer que l'écart-type que je calcule est environ la moitié de celui obtenu par vos différents générateurs. Cela dépasse largement des problèmes éventuels de précision.
On peut aussi tester en PHP.
C'est vous les matheux, la balle est dans votre camp.

Je traiterai la seconde question tout à l'heure. Et là, j'ai l'impression qu'on trouvera la même chose. Je m'avance peut-être un peu.

Pour la seconde question, avec 500 000 tirages j'ai obtenu une suite de 18 pareil.
De toute façon il n'y a pas de limite maxi si le nombre de tirages tend vers l'infini.

Bonjour,
Là, je dois présenter mes excuses à tout le monde.
Effectivement la probabilité d'avoir 7 faces successives sur 50 tirages est bien environ 16% et non 22% comme je l'ai dit précédemment.
Je l'ai constaté, mais je n'ai pas vraiment d'explication.

Dlzlogic a écrit:Pour la seconde question, avec 500 000 tirages j'ai obtenu une suite de 18 pareil.
De toute façon il n'y a pas de limite maxi si le nombre de tirages tend vers l'infini.

Comme suite à mon message posté ici https://dlz9.forumactif.com/t871p25-un-forum-est-il-un-espace-de-liberte
Je signale que je suis tout à fait d'accord, il n'y a pas de limite max.
De plus la théorie montre que la longueur de la plus longue suite est presque surement équivalente à log_2(n) ce qui rend la valeur 18 trouvée expérimentalement parfaitement logique, tout va bien, la simulation est correcte.