Comparaison à un dé à 7 faces

Bonjour,
https://www.maths-forum.com/superieur/densite-proba-100-lancers-des-faces-t208627.html
Je cite un paragraphe :

Bref, j'ai un micro-événement qui correspond à un lancer de dé à 7 faces (valeurs entières choisies entre 1 et 7).
Mon événement consiste à répéter ce micro-événement un certain nombre de fois, jusqu'à atteindre un total de 100.
A priori, il m'est facile de répéter le micro-événement 30 fois (+ que 30, ça deviendrait vraiment compliqué).

Je n'arrive pas à imaginer le genre d'évènement qui comporte 7 issues et que chacune de ces issues corresponde à un nombre entier entre 1 et 7 et que le résultat soit une somme arithmétique de ces nombres entiers.
Notons a à g les 7 issues, Ce n'est pas précisé, mais on peut supposer que ces 7 issues sont équiprobables. la probabilité de chacune de ces 7 issues sont donc 1/7.
L'espérance de l'issue a est 1/7 x 1  
L'espérance de l'issue b est 1/7 x 2  
.........................
L'espérance de l'issue g est 1/7 x 7
Si on observe N micro évènements, étant donné que les 7 issues sont équiprobables, chaque issue surviendra N/7 fois.
Le "total" obtenu sur N fois tendra vers N/7 x 1 + N/7 x 2 + ... +  N/7 x 7 = N/7 x (1+2+3+4+5+6+7) = N*4. Cf. loi des grands nombres. Il est clair que même si (1+2+3+4+5+6+7)/7 = 4, il ne s'agit en aucun cas de moyenne arithmétique. En fait, il aurait fallu écrire (a+b+c+d+e+f+g) pour être rigoureux.
Soit pour 30 fois, total=120.
L'énoncé n'est pas très clair, on ne sait pas si on veut avoir "au moins" 100 ou "au plus" 100. De toute façon, je ne sais pas calculer ce genre de chose, les probas de chaque issues sont les mêmes, mais pas les résultats, donc pas les espérances. Pour mémoire, l'espérance mathématique est le produit du gain par sa probabilité. J'ai tout de même fait une petite simulation :

Code:

Un dé à 7 faces
Nombre = 100  Moyenne = 119.31  emq=11.20  ep=7.47
Médiane = 119   min= 93  max=147
Classe 1  nb=   0  0.00%   théorique 0.35% |
Classe 2  nb=   3  3.00%   théorique    2% |HHH
Classe 3  nb=   5  5.00%   théorique    7% |HHHHH
Classe 4  nb=  18  18.00%   théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  28  28.00%   théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  21  21.00%   théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  14  14.00%   théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=   9  9.00%   théorique    7% |HHHHHHHHH
Classe 9  nb=   2  2.00%   théorique    2% |HH
Classe 10 nb=   0  0.00%   théorique 0.35% |

 Un dé à 7 faces
Nombre = 100  Moyenne = 119.54  emq=11.03  ep=7.35
Médiane = 119   min= 86  max=157

Nombre = 100  Moyenne = 119.45  emq=11.05  ep=7.36
Médiane = 119   min= 92  max=144
      


De toute façon, si on augmente le nombre de micro évènements de 30 vers 40 on augmente le total.
Bref, on ne sait pas très bien ce que cherche le demandeur. Peut-être donnera-t-il plus de détails.
Bonne journée.

Bonsoir,
Ce sujet est très étonnant.
D'abord, mais ce n'est pas le plus étonnant, je n'imagine pas du tout le contexte qui pourrait amener à cette comparaison. D'une part on a 7 issues apparemment équiprobables mais chaque issue a un poids de 1 à 7. Cela ne fait penser aux 7 nains de Blanche-Neige, mais chacun des nains auraient une valeur numérique de 1 à 7, ce qui signifie en langage mathématique que le nain N°3 est égal au nain N° 1 auquel on ajoute le nain N°2. Pareil pour la multiplication.
Autre point étonnant, on veut obtenir une somme d'au moins 100 avec le moins de tirages possibles. De tête, il me semble que 31 est le bon choix.
Autre élément étonnant, on focalise sur le nombre de tirages 30 et un intervenant précise que 30 est effectivement une valeur qui donne un résultat précis.
Autre élément étonnant, la dernière intervention de F.E.. Il cite l'utilisation de la méthode de Monte-Carlo. L'intérêt de cette méthode se situe à un niveau (intellectuel) largement supérieur.
Enfin, là c'est pour rigoler, les nombres cités avec un grand nombre de décimale et la mention : "ce qui donne une erreur plutot petite du TCL!". Le TCL, pour ceux qui l'ont compris, est un théorème démontré, il ne peut donc pas y avoir d'erreur.
Comment se fait-il que aucun prof n'ait réagi ? Ils ont la trouille ou il n'y connaissent rien.

PS. Si il s'agissait d'un problème réel, la question aurait pu être posée de la façon suivante : On a un tirage avec 7 issues possible. L'issue N°1 vaut 1, l'issue N°2 vaut 2 etc. On additionne les résultats des tirages. On veut obtenir un total d'au moins 100 en faisant le moins de tirages possibles. Au moins veut dire qu'on admet un cas sur 1000 qui donne un résultat inférieur à 100.

Au moins, GBZM lit mes commentaires. Apparemment ça le fait rire, tant mieux.
Evidemment, s'il disait précisément ce qui le fait rire, ce serait mieux. Mais comme il m'a déjà dit par ailleurs, il ne va pas s'abaisser à me répondre.
C'est tout de même curieux que deux simulations de la même expérience donnent des résultats différents et que chacun affiche sans complexe leurs résultats avec une bonne dizaine de chiffres significatifs. La réponse "ce sont des matheux" n'est pas une excuse, il faut être intelligent avant d'être matheux.

GBZM a écrit:qui donne la réponse :
plus petit nombre de tirages pour que la probabilité
de somme <100 soit inférieure à 1 pour 1000 : 34

Ben, pour moi, c'est 32.

F.E. a fait allusion à la méthode de Monte-Carlo. En fait il s'agit tout simplement en l'occurrence d'une simulation.
Il effectue 100000 tirages et compte le nombre de résultats "inférieurs" à 100 puis "inférieurs ou égal à 100". C'est une méthode parfaitement justifiable, puisque c'est une application directe des deux théorèmes de Bernoulli, la loi des grands nombres et la loi normale. L'intérêt de cette méthode réside dans la forme de la courbe de Gauss, représentative de la loi normale. La concentration sur la moyenne est très forte, donc on obtient vite le résultat cherché.
Personnellement, au lieu de faire un très grand nombre de simulations une seule fois, j'en fais plusieurs plus petites, par exemple une centaine, et en plus du résultat je peux voir la dispersion.
La méthode Monte-Carlo applique ce principe : la concentration est très forte sur la valeur la plus probable, c'est à dire la moyenne. Elle est utilisée généralement pour résoudre des équations qu'on ne sait pas résoudre pas des méthodes analytiques. Dans l'énoncé dont il s'agit, on sait parfaitement que la moyenne est 30 x 4 = 120. Ce n'est pas cela qu'on cherche. Par contre la méthode de Monte-Carlo permet de trouver une valeur approchée du résultat de l'équation.
Par ailleurs, il ne faut pas oublier que les générateurs de nombres aléatoires de certains logiciels orientés mathématiques ne donnent pas forcément une suite de nombres "correctement" aléatoires.

Bon, on peut constater que GBZM surveille avec attention ce que j'écris, mais se garde bien d'intervenir sur le présent forum.
GBZM semble ignorer ce qu'est le hasard. Pour lui, le calcul de probabilité se résume à sa définition : rapport des cas favorables sur le nombre de cas possible. Je ne conteste pas cette définition, qui par ailleurs est contestée par des "professionnels" des probabilités, par exemple Sylviel.
Mais il oublie ou ignore des choses importantes : les deux lois de Bernoulli, la loi des grands nombres et la loi normal.
L'expérience dont il s'agit (dé à 7 faces) met en œuvre la notion de Hasard. F.E. en a tenu compte, mais pas GBZM. Il devrait se renseigner et s'informer avant de ramener sa science.

Bonjour,
Il y a une intervention très intéressante de Sylviel.

Sylviel a écrit:J'essaye d'éviter d'aller voir ce que l'huluberlu en question continuer de radoter... Mais il faut quand même réaliser qu'après dix ans et je ne sais combien de pages d'explications (avec preuves, simulations, références, exemples...) il ne sait toujours pas ce qu'est une variable aléatoire ou ce que signifie le TCL (il prétends même que son énoncé n'est pas clairement donné).

A l'évidence, l'"huluberlu", c'est moi. Par ailleurs, je sais que ça s'écrit "hurluberlu".
Il est vrai que j'essaye depuis 10 ans d'expliquer ces notions élémentaires de probabilités. Il parait que je ne sais pas ce qu'est une variable aléatoire. Mais lui ne sait même pas si c'est une fonction, un élément d'une liste de valeurs renvoyées par une fonction ou je ne sais quoi d'autre. Ah, le TCL ! J'ai demandé l'énoncé original, l'auteur etc. aucune réponse. Il y a un doute certain dans la signification du titre, on ne sait pas si c'est le théorème ou la limite qui est central(e).    
Il y a 10 ans lorsque j'ai commencé à expliquer ces notions, je ne connaissais pas ce fameux "théorème", mais je connaissais les deux théorèmes de Bernoulli, alors on m'a envoyé à la figure ce fameux TCL. J'ai comparé terme à terme ce que j'expliquais et les terme du TCL lu sur Wikipedia : c'était exactement la même chose. Une bonne âme bien pensante a modifié la définition, maintenant, c'est incompréhensible, solution très efficace pour lui faire dire ce qu'on veut. Voilà, j'ai fini.

Ce sujet est intéressant, dans la mesure où on ne sait absolument pas la finalité de la question. J'ai dit que je n'avais pas réussi à imaginer une situation qui nécessiterait ces calculs. Par contre, je sais qu'il y a eu de très nombreuses discussions à propos des dessins figurant sur les faces d'un dé ordinaire. J'ai essayé d'expliquer que c'étaient des méthodes de repérage qu'on appelle "label", mais que l'addition du nombre de taches obtenu à chaque tirage, n'avaient pas de signification mathématique, sauf au Monopoly. Puis, quand j'ai parlé de moyenne (cf postulat de la moyenne) on m'a rétorqué "c'est pas vrai, d'ailleurs la moyenne pour un dé à 6 faces est 3.5, or il n'y a pas de face valant 3.5, donc tu dis n'importe quoi."
Bref, avec les discussions actuelles telles que je les vois sur les forums, il n'y a jamais de fil continu, dès que je pose une question pour faire préciser les choses ou pour montrer un résultat, la discussion s'arrête.
Bon, c'est comme ça, il faut l'admettre. Par contre, ce qui n'est pas admissible c'est certaines réflexions de certains qui se croient supérieurs.
Aller, pour le fun, la première réponse que j'ai reçue d'un membre très actif d'un forum bien connu : "oublie tout ce qu'on t'a appris". Admirable.    
http://www.dlzlogic.com/aides/Lance_de_des.pdf

PS. J'ai écrit "pour moi, c'est 32". C'est ce que j'ai trouvé. Et on me répond

Sylviel a écrit:P.S: je ne départage pas le calcul exact de GBZM vs celui de Fatal ;-) les deux sont cohérents avec les résultats numériques (et montre bien que le "32" est faux...).

Admirable !