Suites de faces (ou de piles) consécutifs

Bonjour,

Je reviens sur un exercice posé sur un fil où l'on montre que le rattrapage selon Dlzlogic, c'est du pipeau.
Cet exercice n'a pas de rapport avec le "rattrapage", donc je préfère y revenir sur un fil à part.

Je rappelle l'énoncé :

On fait N tirages à pile ou face.
On appelle Sn (pour n=1,...,N) le nombre de suites de n piles (ou n faces) consécutifs, ni précédés ni suivis par un pile (resp. un face) obtenus au cours de ces N tirages. On a donc N = 1* S1 + 2*S2 + 3*S3 + ... + N*SN.
Quelle est l'espérance de Sn, en fonction de N ?

C'est Dlzlogic, paraît-il, qui a posé cet exercice. Bizarre, car il n'a visiblement rien compris à l'énoncé à en juger par sa réponse :

Dlzlogic a écrit:Bon, d'abord concernant l'énoncé que j'ai proposé : nombre de suite de Si.
Je rappelle l'énoncé : on s'intéresse aux suites de n piles (resp. face). Je pensais que c'était clair, une suite de n piles est une suite sans être interrompue pas un face. J'ai peut-être employé le terme "longueur" au lieu de "nombre", j'en suis sincèrement désolé.
J'ai donné de nombreuses fois un lien sur une simulation faite il y a de nombreuses années. En fait je ne cherchais pas à donner un énoncé de calcul, mais simplement à rappeler une simulation faite il y a de nombreuses années et les commentaires qui s'y rattachent.
Je résume : pour une suite de longueur 1 la probabilité est 1/2
pour une suite de longueur 2 la probabilité est 1/4
pour une suite de n, la probabilité est 1/2^n.
Si on fait une simulation, bien sûr on vérifie ces valeurs.
Il est clair que à un moment ou un autre, le score attendu sera dépassé ou au contraire pas atteint. Il se trouve que l'équilibre sera plus ou moins respecté. Magie, divination ou tout simplement loi des probabilités ? Moi, je penche pour les loi des probabilités du monde réel, en l'occurrence, la loi des grands nombres.

Ça ne répond en rien à l'énoncé. Dlzlogic ne fait que rappeler que la probabilité d'obtenir n piles en n tirages est 1/2^n.
Je rappelle la bonne réponse dans le prochain post.

J'ai déjà donné cette bonne réponse :

l'espérance de Sn est (N-n+3)/ 2^(n+1) pour n=1,...,N-1 et celle de SN est 1/2^(N-1).

J'ai aussi explicité cette réponse pour le cas N=10 : les espérances des Sn pour n de 1 à 10 sont 3, 11/8, 5/8, 9/32, 1/8, 7/128, 3/128, 5/512, 1/256, 1/512. Il y a en moyenne, dans une suite de 10 tirages, 5/8 = 0.625 suites de 3 piles ou de 3 faces ni précédés ni suivis par un pile (resp. face).

Une petite indication sur un moyen d'arriver à ce résultat : on commence par calculer l'espérance de Sn+S(n+1)+...+SN, c'est à dire l'espérance du nombre de suites d'au moins n piles ou n faces non précédés par un pile (resp. un face). Pour cela, il est commode d'associer à chaque suite de N tirages une suite de 0 et de 1 de longueur N-1 ; pour chaque changement entre deux tirages consécutifs (de pile à face ou de face à pile), on note 1 ; pour chaque permanence entre deux tirages consécutifs, on note 0.

Bonjour Gbzm,
Merci pour cette explication, cependant, il ne s'agit pas du tout de cela.
On fait une très grand nombre de tirage de pile ou face. Ma simulation portait sur 500 000.
On comptabilise le nombre de suite.
J'appelle suite, un ensemble continu, consécutif et sans interruption de piles (resp. faces).
Le résultat est bien connu.
L'intérêt de cette simulation et le rapport avec les discussions concernant le rattrapage est le constat que  la pièce répond à la théorie, c'est à dire que si le nombre de telle suite est insuffisant, le rattrapage se fera.
Dans ce cas là, ce n'est pas le passage par 0, mais le remplissage très satisfaisant des listes étudiées.
La grande différence avec le simple jeu de pile ou face, c'est qu'au lieu d'avoir simplement une variable (P-F), on en a une bonne dizaine et qui sont toutes indépendantes.
Bien-sûr, c'est une vérification élémentaire de la loi des grands nombre et de l'importance de sa portée.

PS je rappelle que les notions évoquées dans les différents fils concernent les probabilités et non pas des exercices d'analyse combinatoire basés sur les proportions d'ensembles.

Je me permets de rafraîchir ta mémoire sur la question que tu avais posée :

Dlzlogic a écrit:On tire à pile ou face et on s'intéresse aux suites continues de piles (resp. face).
J'appelle S1 une suite le nombre de suites de longueur 1
S2 une suite le nombre de suites de longueur 2
...
Sn une suite le nombre de suites de longueur n.
Ma question : en fonction de N nombre de tirages, quelles sont les longueurs les espérances de S1 ... Sn ?

Dlzlogic a écrit:On appelle une suite le nombre d'occurrences de même couleur.
Par exemple RRR est une suite de longueur 3 donc quand on la rencontre on incrémente S3 des rouges
Par exemple NNNN est une suite de longueur 4 donc quand on la rencontre, on incrémente S4 des noirs.

Dlzlogic a écrit:Oui, j'ai été un peu vite, c'est N=S1+2S2+....+nSn+...+NSN pour les rouges et pour les noirs ou si si préfères pour les piles et pour les faces.

moi a écrit:
Allez, je vais t'aider : une question qui tient debout serait "Quelle est l'espérance de Sn en fonction de N, le nombre de tirages ?" C'est bien ça la question que tu voulais poser ?

Dlzlogic a écrit:Bon, alors, pour une fois répond à la question, si tu veux "quelle est l'espérance de S1, S2 ... pour les rouges et les noirs en fonction de N?".

Maintenant tu écris :

Dlzlogic a écrit:Le résultat est bien connu.

Pas si bien connu que ça, je pense. En tout cas, tu ne le connais visiblement pas.

Bon, j'accepte toutes les critiques concernant le libellé de mon énoncé.
Le résultat que je connais est :
On a N lancés, le nombre de suite de piles est pour moi, à un facteur 2 près parce qu'il y a pile OU face
suites de 1 : P=1/2
suites de 2 : P=1/4
...
suites de n : P=1/2^n
Oui, je sais, il faut diviser tous ces nombres par 2, parce qu'il y a les listes et piles et les listes de faces.
Tu vas probablement me dire que N ne sert à rien. Oui, t'as raison.

PS, mais ce qui est intéressant, c'est une simulation. Tout le problème est de savoir si la pièce va respecter la règle du jeu ou pas.

Ta réponse est incohérente. Tu parles de nombres de suites, et tu écris ensuite des probabilités.
Essaie de répondre au moins à ta propre question : quelle est l'espérance du nombre de suites de longueur n (n piles ou n faces) en fonction du nombre total N de tirages ?
Allez, courage, si tu regardes la formule que j'ai écrite, tu pourras avoir une asymptotique pour n fixé et N tendant vers l'infini.

ce qui est intéressant, c'est une simulation.

Non. Puisque la théorie des probabilités (élémentaire) nous donne le résultat exact, une simulation (si elle est bien faite, conforme aux spécifications du problème) ne pourra qu'illustrer ce résultat.

J'ai bien compris ton message.
Dans ta formule, n est tout à fait négligeable à côté de N.
Je parle de probabilité parce que c'est le sujet concerné.
Toi, tu parles de combinatoire, sans tenir compte des lois de probabilités, en particulier la loi des grands nombres.
Tu refuses de faire une simulation, c'est ton droit.

Je répète : la question telle que tu l'as posée est sur le NOMBRE Sn de suites de longueur n de faces consécutifs ou de piles consécutifs.
Je te redemande : quelle est l'espérance de ce NOMBRE Sn en fonction de N ? C'était TA question, je te demande de donner TA réponse à TA question.

Je te rappelle MA réponse : l'espérance de Sn est (N-n+3)/ 2^(n+1) pour n=1,...,N-1 et celle de SN est 1/2^(N-1).

Toi, tu parles de combinatoire, sans tenir compte des lois de probabilités, en particulier la loi des grands nombres

C'est complètement idiot : les travaux sur les suites de tirages à pile ou face de Bernoulli, de Moivre, Laplace etc reposent évidemment sur de la combinatoire. La loi binomiale n'a aucun rapport avec la combinatoire, d'après toi ?

Tu refuses de faire une simulation, c'est ton droit.

Un mensonge de plus. je ne refuse jamais de faire une simulation, j'en fais beaucoup, et je donne leur code.
Ce que je dis, c'est que comme j'ai déjà donné la réponse exacte sur l'espérance, la simulation (j'en ferai une) ne fera qu'illustrer cette réponse

Oui, c'est peut-être idiot, mais la question posée est "est-ce que le retard se rattrape ?".
Cette simulation que je te demande de faire montre que oui.
C'est normal que tu ne veuilles pas la faire : "chat échaudé craint l'eau froide". tu t'es déjà fait avoir en apportant la preuve irréfutables de la réalité de la loi normale; alors tu es prudent et tu cherches des échappatoires.
Personnellement, je n'utilise jamais ce procédé, main on peut apprendre à tout age que certaines méthodes existent.

Raconte ce que tu veux, tout le monde voit bien sur ce forum qui fait des simulations et publie leur code.

moi a écrit:Je te redemande : quelle est l'espérance de ce NOMBRE Sn en fonction de N ? C'était TA question, je te demande de donner TA réponse à TA question.

Qui cherche des échappatoires pour ne pas répondre ?

Il me semble que j'ai répondu
Si = N/2^(i-1)
à un facteur près, si je me suis trompé.
C'est assez courant qu'un matheux demande la réponse pour pouvoir donner la solution.
Ta réaction est très caractéristique. On l'a déjà vue, tu devrais changer de technique si tu veux devenir crédible.

Ah, enfin une réponse !

Dlzlogic a écrit:C'est assez courant qu'un matheux demande la réponse pour pouvoir donner la solution.

Et un mensonge de plus, tu n'es plus à ça près !
Je rappelle la réponse que j'ai déja donnée :

moi a écrit:l'espérance de Sn est (N-n+3)/ 2^(n+1) pour n=1,...,N-1 et celle de SN est 1/2^(N-1).

Quand n reste fixe et N tend vers l'infini, l'espérance de Sn est équivalente à N/2^(n+1), et même la différence entre les deux tend vers 0. est constante.
Ta réponse est donc asymptotiquement correcte ... si on la divise par 4.

Une simulation.

Code:


import random as rd
import numpy as np

def suites(N) :
    # on tire une suite de longueur N de 0 et de 1
    Issue = [rd.randrange(2) for i in range(N)]
    # on crée un tableau qu'on va remplir avec les Sn
    scores = np.zeros(N,dtype=int)
    # on parcourt la suite en repérant les longueurs de séquences
    # ininterrompues de 0 et de 1. La longueur de la séquence en cours
    # est l+1. Quand une séquence se termine, on incrémente le Sn
    l=0
    for i in range(N-1) :
        if Issue[i]==Issue[i+1] :
            l+=1
        else :
            scores[l] += 1
            l=0
    scores[l] += 1
    return scores

def moyennesuites(N,p) :
    # on fait la moyenne des Sn pour P suites de N tirages
    somme = np.zeros(N)
    for i in range(p) :
        somme += suites(N)
    return somme/p

def theorique(N) :
    # la formule donnée pour l'espérance de Sn
    # on a n=l+1
    th = np.zeros(N)
    for l in range(N-1) :
        th[l] =  (N-l+2)/ 2**(l+2)
    th[-1] = 1/2**(N-1)
    return th

J'avais donné la valeur exacte des espérances des Sn et  les valeurs de ces espérances pour N=10.

Code:

theorique(10)

array([3.000000e+00, 1.375000e+00, 6.250000e-01, 2.812500e-01, 1.250000e-01,
      5.468750e-02, 2.343750e-02, 9.765625e-03, 3.906250e-03, 1.953125e-03])
     
On compare avec les résultats de la simulation où on prend les moyennes des Sn sur 100 000 suites de 10 tirages

Code:

moyennesuites(10,100000)

array([3.00867e+00, 1.38022e+00, 6.23650e-01, 2.79430e-01, 1.24780e-01,
      5.40100e-02, 2.30600e-02, 9.91000e-03, 3.74000e-03, 1.99000e-03])

Comme je l'avais dit, la simulation ne fait qu'illustrer les résultats obtenus par un petit raisonnement probabiliste.

Bon, Oui, tu vérifie que le simulation vérifie les valeurs calculées.
C'est tout de même intéressant.
Ca ne correspond pas tout à fait à l'énoncé que j'avais proposé : on tire à pile ou face un très grand nombre de lois (500 000 dans ma simulation), alors que toi, tu simules un grand nombre de N tirages. Le code python est difficile à suivre, mais j'ai cru comprendre que N vaut 10.
En fait, la simulation, je m'en fiche, c'est simplement que le résultat de la simulation respecte la probabilité calculée.
Comment l'explique-tu si la pièce ne se souvient pas du passé ?
C'est strictement le but de cette simulation.
Ma simulation, faite il y a plusieurs années visualise mieux le résultat, mais c'est pas grave, on a eu la confirmation que quand une liste a eu du retard, elle le rattrape. C'est tout ce que je voulais vérifier. Donc, la loi des grands nombres est bonne. On peut passer à autre-chose.

PS J'ajoute que ton générateur ne doit pas être trop mauvais, les écarts correspondent aux miens, c'est à dire proche de 2% Conclusion la pièce rattrape bien son retard à 2% près.

Oui, ma simulation correspond à N=10.

Ca ne correspond pas tout à fait à l'énoncé que j'avais proposé

La réponse que je donne correspond tout à fait à l'énoncé : elle est valable pour tout N, pour les petits comme pour les très grands.

En fait, la simulation, je m'en fiche, c'est simplement que le résultat de la simulation respecte la probabilité calculée.
Comment l'explique-tu si la pièce ne se souvient pas du passé ?

Très simplement, et surtout pas parce que la pièce se souviendrait du passé. Aurais-tu inventé des pièces à mémoire ?
Je ferai la démonstration du petit résultat pas très difficile que j'ai annoncé.

on a eu la confirmation que quand une liste a eu du retard, elle le rattrape

Si tu veux dire par là que ça confirme ton "S'il y a eu au moins 60 piles dans les 100 premiers tirages, alors il y aura probablement plus de faces à partir du 101e", alors tu te trompes complètement. Au contraire, cette croyance enfantine est absolument opposée au raisonnement probabiliste qui établit le résultat que j'ai donné, comme elle est opposée à tous les résultats sur les suites de tirages à pile ou face de Bernoulli, de Moivre, Laplace, et plus généralement à toute la théorie des marches aléatoires symétriques sur Z.

les écarts correspondent aux miens, c'est à dire proche de 2% Conclusion la pièce rattrape bien son retard à 2% près.

Le retour  du fameux 2%. 3.0087 au lieu du 3 théorique : 2% ; 3.74*10⁻³ au lieu du 3.90...*10⁻³ théorique : également 2% ! N'importe quoi, mais on a l'habitude avec toi.

Bonjour Gbzm,
Tu as un puissant allié en la personne de Unknown. Je crois savoir qui il est, mais je ne dirai rien.
C'est un détail.

Il est vrai que tes écarts sont plus près de 1% que de 2%. Est-ce un problème ? Ton générateur est plus proche de la répartition théorique que de la répartition due au hasard ? C'est un détail mineur et hors sujet.

La question posée est "est-ce que la pièce, dans ses retournements, respecte le hasard et par conséquent produit un résultat proche du résultat théorique ou non ?
Je pose la question autrement. On sait que ce type d'expérience, réalisé dans un environnement quantique, ne respecte pas les lois de la théorie des probabilités. Ma question : si on avait réalisé cette expérience avec un "générateur quantique", quel aurait été approximativement le résultat ?

Concernant la simulation que j'espérais de ta part, c'était quelque-chose de ce genre.
http://www.dlzlogic.com/Rouge_Noir.jpg
Il me semble que l'on voit clairement que le nombre de listes est bien respecté. La pièce ne répond qu'au hasard.
Pour mémoire, je n'ai pas encore récupéré mon ordinateur en panne.

Il est vrai que tes écarts sont plus près de 1% que de 2%.

C'est vrai mais toujours très imprécis de ta part puisque les écarts sont plutôt de l'ordre de 0.3%.

Ton générateur est plus proche de la répartition théorique que de la répartition due au hasard ?

Ce 2% est une lubie de ta part. S'il avait fait 100 fois plus de tirages la précision aurait été 10 fois supérieure, et avec 100 fois moins de tirage, 10 fois inférieure.

On sait que ce type d'expérience, réalisé dans un environnement quantique, ne respecte pas les lois de la théorie des probabilités.

Et sur quoi t'appuie-tu pour sortir cette nouvelle théorie ?
Encore un essai de diversion ?

Concernant la simulation que j'espérais de ta part, c'était quelque-chose de ce genre.

Tu veux dire une image sans explications et qui correspond à on ne sait trop quoi ?
Pas de chance, GBZM explique clairement ce qu'il fait, fournit un code commenté, reproducible et obtient des résultats conforme à la théorie.

Unknown a écrit: On sait que ce type d'expérience, réalisé dans un environnement quantique, ne respecte pas les lois de la théorie des probabilités.

Et sur quoi t'appuie-tu pour sortir cette nouvelle théorie ?
Encore un essai de diversion ?

Oh, ce n'est ni nouveau, ni une théorie. C'est Jacques Harthong que l'explique très soigneusement et très en détails dans son cours.
Mais comme tu n'as pas compris son argumentation à propos de la corde de Bertrand, je doute que tu comprennes ses explications concernant ce point. D'ailleurs, j'ai déjà parlé de ce point.

Oui, j'ai oublié d'expliquer la simulation que j'ai mise en lien.
J'observe 500 000 fois si c'est le rouge ou le noir qui est sorti. Je suppose que la probabilité est 1/2, comme pour pile ou face et si la couleur est la même que la précédente, la longueur de la liste en cours augmente de 1, sinon l'augmente de 1 le nombre de listes en cours, et je change de couleur.
Bien-sûr, j'ai simulé cela sur mon ordinateur avec mon générateur de nombres aléatoires.
J'ai écrit à la main les valeurs théoriques du nombre de listes de chaque longueur.
L'intérêt de cette simulation est que le nombre d'issues possibles est une bonne vingtaine.
Cette simulation vérifie la loi des grands nombres.

Je pose la question autrement. On sait que ce type d'expérience, réalisé dans un environnement quantique, ne respecte pas les lois de la théorie des probabilités. Ma question : si on avait réalisé cette expérience avec un "générateur quantique", quel aurait été approximativement le résultat ?

Je ne parle que de ce que je connais bien et que je suis capable d'expliquer. Je ne connais pas les probabilités quantiques.

Pour N = 500 000, l'espérance de Sn est (500 003  -  n) / 2^(n+1) (à diviser par 2 si on ne considère que les séquences rouges). Il est vrai que pour n petit, ça ne fait pas de différence sensible avec 500 000 / 2^(n+1).
C'est pour cela que j'ai fait ma simulation avec N petit : ça permet de bien voir que la formule N/2^(n+1) est valable asymptotiquement, mais n'est pas exacte.

On voit bien ce qui se passe quand on fait la démonstration. J'en fais une plus directe que l'indication que j'avais donnée.
Pour bien fixer le vocabulaire, j'appelle séquence une suite de piles consécutifs ou de faces consécutifs qui ne sont ni précédés ni suivis par un pile (resp. un face).
Je fais une suite de N tirages à pile ou face. Je lui associe une suite de N-1 bits 0 ou 1 : le i-ème bit est à 0 si le (i+1)-ème tirage donne le même résultat que le i-ème, sinon il est à 1.
Je note D(n,i ) l'événement "une séquence de longueur n commence au i-ème tirage". Alors Sn est la somme des fonctions indicatrices des D(n,i) pour i allant de 1 à N, et donc l'espérance de Sn est la somme des probabilités des D(n,i) pour i allant de 1 à n. Calculons Sn pour n<N.
Supposons  1 <  i  < N-n+1. L'événement D(n,i) se produit si et seulement si le (i-1)-ème bit est à 1, qu'il est suivi de (n-1) 0 et que le (i+n-1)-ème bit est à 1. Donc la probabilité de D(n,i) est 1/2^(n+1).
Regardons maintenant ce qui se passe au bord :
L'événement D(n,1) se produit si et seulement si la suite de bits commence par (n-1) 0 suivis d'un 1 : probabilité 1/2^n.
L'événement D(n,N-n+1) se produit si et seulement si la suite de bits se termine par un 1 suivi de n-1 0 : probabilité 1/2^n
Finalement les événements D(n,i) pour i > N-n+1 ne se produisent jamais.
En récapitulant, l'espérance de Sn est  (N-n-1)*1/2^(n+1) + 2*1/2^n = (N+3-n)/2^(n+1).

Bien sûr cette démonstration repose sur l'équiprobabilité des 2^N suites de piles et de faces, qui entraîne l'équiprobabilité des 2^(N-1) suites de bits.
Et, comme il a déjà été montré à de nombreuses reprises, cette équiprobabilité est incompatible avec la croyance enfantine que "S'il y a eu au moins 60 piles dans les 100 premiers tirages, alors il y aura probablement plus de faces à partir du 101e"

Oh, ce n'est ni nouveau, ni une théorie. C'est Jacques Harthong que l'explique très soigneusement et très en détails dans son cours.

Et donc tu peux donner une référence précise ou il faut se contenter de "c'est dans le livre de Harthong" ?

Mais comme tu n'as pas compris son argumentation à propos de la corde de Bertrand

Arrêtes d'essayer de faire diversion.

On t'as déjà longuement expliqué que Harthong dis bien évidemment la même chose dans son livre que tous les autres cours à propos de la corde de Bertrand. Pour cela on t'as souligné les phrases précises qui montre qu'il explique que "prendre une corde au hasard" ne suffit pas à dire de quelle manière on la prends. Par contre une fois qu'on explique le protocole (il donne l'exemple des fétu de paille, mais aurait pu donner un exemple avec une roulette pour sélectionner les deux extrémités par exemple) il n'y a plus qu'un modèle possible.

D'ailleurs tu n'as trouvé personne, pas même Ltav ou Dattier, pour croire qu'Harthong prétends que "choisir une corde au hasard" n'admet qu'une modélisation probabiliste.

Cette simulation vérifie la loi des grands nombres.

Ca tombe bien, personne ne remet en question la loi des grands nombre qui n'implique aucune un rattrapage de retard.

Au fait, Dlzlogic, les résultats que tu montres indiquent que tu as fait pour de vrai un million de tirages, puisque tu obtiens environ 125000 séquences de longueur 1 pour les rouges et 125000 séquences de longueur 1 pour les noirs, soit 250000 séquences de longueur 1 en tout. Et, comme je l'ai démontré, l'espérance du nombre de séquences (rouge et noir) de longueur 1 est très proche de N/4 (précisément N/4 +1/2).

@ Gbzm,
J'ai bien lu ton dernier message, mais les chiffres indiqués sont une copie d'écran;
Tant que je n'aurais pas récupéré mon ordinateur, je ne pourrai pas refaire des essais.
Tu dois avoir raison, en effet il semble y avoir un problème dans la somme. Etonnant que personne ne me l'ait fait remarquer.
Ceci dit, cela ne change rien au problème étudié.