Généralisation de la moyenne 2

Salut,

Pour montrer qu'il n'y a pas qu'une seule façon de généraliser un concept, je vais généraliser la moyenne d'une autre façon.

Pour la moyenne classique on cherche à minimiser une somme de carrés des différences, mais on peut aussi au lieu de prendre l'opération (associative, symétrique et continue) (x,y)->racine(x^2+y^2) prendre (x,y)->x*y

Ainsi on peut essayer de minimiser produit(|xi-m|,i=1..n)

Ou produit(|xi-m|+1,i=1..n) en prenant l'opération (associative et symétrique) (x,y)->x+y+x*y

Ou encore max(|xi-m|,i=1...n) en prenant (x,y)->max(x,y)

Conclusion : il n'y a pas de généralisation "naturelle", tout comme il n'y a pas d'outil naturel, il est toujours relatif à l'usage que l'on veut en faire et aussi de la familiarité que l'on en a.

Cordialement.

Salut,

Up.

Bon, là, je ne suis pas d'accord.
Quand on parle de moyenne d'un certain nombre de valeurs, sans précision supplémentaire, il s'agit toujours de la moyenne arithmétique.
Le postulat de la moyenne dit que, étant donné un certain nombre de mesures ou d'observations d'une même chose ou d'un même phénomène, la moyenne arithmétique est la valeur la plus probable de celle que l'on doit adopter.

L'étude des probabilités, c'est à dire les théorèmes de Bernoulli (loi des grands nombres et loi normale) montre que ce postulat est justifié et donc, qu'on a fait le bon choix.
Oui, il n'y a pas de généralisation naturelle, bien qu'elle soit intuitive. Simplement on a démontre que ce postulat est justifié et donc applicable en toute circonstance.

Dlzlogic a écrit:Quand on parle de moyenne d'un certain nombre de valeurs, sans précision supplémentaire, il s'agit toujours de la moyenne arithmétique.
Le postulat de la moyenne dit que, étant donné un certain nombre de mesures ou d'observations d'une même chose ou d'un même phénomène, la moyenne arithmétique est la valeur la plus probable de celle que l'on doit adopter.

Il ne s'agit pas de convention, mais de proposition de généralisation de la moyenne, qu'on est libre d'utiliser ou non...

On n'est obligé de rien, c'est une simple proposition.

Si on admet que le but de l'opération en cours est de trouver la valeur la plus probable de la dimension d'une chose.
Ce que j'entends par "valeur la plus probable" signifie que si on mesure cette chose avec des moyens plus sophistiqués, plus précis, on obtiendra une valeur que l'on appelle "valeur vraie".
Etant donné la liste de mesures à notre disposition, quelle opération faut-il faire pour être le plus près possible de cette valeur vraie. La réponse est unique : calculer la moyenne arithmétique.

Pourquoi la médiane, par exemple, ne pourrait représenter ce que tu appelles "vraie valeur" ?

Pour un très grand nombre de mesures, la médiane est très proche de la moyenne.
La démonstration précise de ce que je dis est dans le cours de Levallois, souvent cité.
Si tu n'as que 2 mesures, quelle est la médiane ?

Si par vraie valeure d'une v.a. tu veux dire son espérance, alors je ne peux être que d'accord avec toi, et cela se démontre par la loi faible des grands nombres.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_des_grands_nombres

Bon, manifestement on est dans le cadre de vulgarisation de notions fondamentales pas toujours faciles à comprendre.
La loi des grands nombres qui est le premier théorème de Bernoulli, n'est ni faible ni forte.
J'ai lu le début de l'article. Si on "utilise" la loi de Cauchy pour un phénomène réel, observable, alors la loi des grands nombres s'applique comme dans tous les cas.
Le coup de la loi de Cauchy est particulièrement intéressant sut le plan rigueur mathématique. On établit une formule, sans aucun antécédent. On constate que cette formule ne répond pas à une certaine définition des probabilités, parvenue par un canal parfaitement indépendant. Je simplifie, mais la finalité est que l'on a trouvé un contre-exemple à une théorie fondamentale. Donc BRAVO.
Reste à trouver des applications de cette loi. On en trouve, mais on n'en parle pas trop, pour la simple raison qu'il faudrait comme hypothèse que les hommes aient des yeux derrière la tête, ce qui est difficile à soutenir dans un amphithéâtre.

Tu pourrais te montrer un peu plus aimable, tu n'y perdrais rien, au contraire...

Pardon si tu as mal jugé mon message.
En maths, c'est pas "comme on veut". Je prends souvent l'exemple de la gravité universelle. On pourrait toujours imaginer des contre-exemples, par exemple l'utilisation des montgolfières, mais cela ne changerait rien à cette loi de gravité universelle.
La théorie de probabilités, c'est un peu pareil, c'est comme ça et on n'y peut rien.

"Le coup de la loi de Cauchy est particulièrement intéressant sut le plan rigueur mathématique. On établit une formule, sans aucun antécédent. On constate que cette formule ne répond pas à une certaine définition des probabilités, parvenue par un canal parfaitement indépendant. Je simplifie, mais la finalité est que l'on a trouvé un contre-exemple à une théorie fondamentale. Donc BRAVO.
Reste à trouver des applications de cette loi. On en trouve, mais on n'en parle pas trop, pour la simple raison qu'il faudrait comme hypothèse que les hommes aient des yeux derrière la tête, ce qui est difficile à soutenir dans un amphithéâtre."

Pour un amoureux de la loi normale, pour qui voit Gauss partout,
je trouve étrange ton aversion pour Cauchy, cette impossibilité d'existence.

Soit x qui suit une loi normale
Soit y qui suit une loi normale
Alors x/y suit une loi de Cauchy

Et on serait dans l'incapacité d'en trouver, hum, hum
Je pense que dans un labo de physique tu devrais en trouver une dans un placard.

beagle a écrit:

Soit x qui suit une loi normale
Soit y qui suit une loi normale
Alors x/y suit une loi de Cauchy

Mathématiquement c'est juste, mais dans la pratique Dlzlogic à raison, physiquement il n'existe pas de phénomène au mesure mesuré (pas que théoriquement) non borné.

Donc empiriquement toute v.a. a une espèrence finie.

Bonsoir Beagle,
Ta remarque est intéressante.
En matière de probabilité, et en fait dans toute question de maths une définition doit correspondre à une application dans le domaine du monde réel qui est le nôtre. Je sais bien que la mécanique quantique ne rentre pas dans ce cadre, mais c'est un autre problème.
La loi de Cauchy se matérialise et se vérifie par exemple par l'impact visuel d'un projecteur sur un écran de dimension infini.
Le premier théorème de Bernoulli, connu sous le nom de "loi des grands nombre" dit que la moyenne des impacts visuels sur l'écran correspond à la valeur la plus probable peut être vérifiée facilement. On peut en déduire logiquement que la loi de Cauchy respecte, comme les autres phénomènes aléatoires, la loi des grands nombres.
On a formalisé cette loi de Cauchy, tout va bien, sauf que elle ne satisfait pas à d'autres hypothèses théoriques d'autres auteurs. Fort bien, est-ce un argument suffisant pour dire que la loi des grands nombres n'est pas toujours vraie ?

Bon, il y avait longtemps qu'on n'en avait pas parlé :

L'intérêt de se chatouiller le cortex avec des questions comme ça ?
Le hasard n'a pas de mémoire c.-à-d. qu'il y a autant de chance à la roulette de tirer la suite 0_0_0_0_0_0.... que 15_2_37_8_10_11...

La réponse strictement mathématique est simple. La probabilité d'avoir 6 fois en suivant la case 0 est (1/40)^6.
[ je suppose qu'il y a 40 cases dans une roulette]
La probabilité d'avoir le premier 0 est 1/40.
La probabilité d'avoir 15 au premier coup est 1/40.
Donc il est vrai que la probabilité d'avoir six 0 en suivant est la même que d'avoir successivement 15, 2, 37, 8, 10, 11.
Autrement dit, la probabilité d'avoir un 7è 0 est la même que d'avoir 25 dans le second cas, ou d'avoir un 9 si les 6 coups précédents ont fait 9.
Mais cela n'a strictement rien à voir avec une éventuelle mémoire du hasard, mais permet à certains de dire que la loi des grands nombres n'existe pas.