Calcul élémentaire.

Bonjour,
Ref. : https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/946177-formule-dincertitudes-un-produit.html
Sidérant.
Le demandeur sait parfaitement de quoi il s'agit, et il donne la bonne formule pour la somme.
Et Gérard lui dit que c'est faux.
Pour le produit, je me garderai de répondre d'une façon générale, il y a plusieurs méthodes, par exemple la dérivée logarithmique.
Il est vrai, comme le dit Gbzm que la notion d'indépendance entre en ligne de compte, mais il semble ignorer le principe qui consiste à négliger les infiniment petits d'un second ordre. Son intervention est sans valeur.
Donc, le pauvre demandeur n'aura pas sa réponse.
C'est une confirmation sans appel que au moins deux matheux de futura n'ont aucune idée de l'utilité et de l'application de la théorie des probabilités. Quand le demandeur connait la méthode, c'est désolant de lire ce type de message.

Bonjour,
Donc la question posée est quel est l'écart-type sur le produit S = X.Y, connaissant les écart-types sur X et sut Y ex et ey ?.
Il suffit d'utiliser la formule eS = X.ey + Y.ex
Tous les termes à droite du signe '=' sont connus.
Ceci étant dit, je précise que le calcul d'erreur est quelque-chose d'assez difficile. Contrairement à ce que G. affirme, c'est une application importante de la théorie des probabilités. Mais, sauf question précise, je ne m'étendrai pas sur le sujet.
Voir le livre de Mathieu Rouaud
https://www.decitre.fr/livre-pod/probabilites-statistiques-et-approches-multicriteres-9782810624614.html

Ce qui est amusant, c'est que Gérard arrivais bien à la bonne formule après des calculs compliqués, alors qu'il s'agit simplement d'un calcul de différentielle.

Bonsoir,
Très nettement Gbzm essaye de se rattraper.
Pour faire simple,
Soit deux mesures indépendantes qui se composent cumulativement, c'est à dire L=X+Y, l'écart sur L est égal à la racine carrée de la somme des carrés des écarts sur X et Y. Donc la formule de Gbzm est bonne.
Pour les cas de type multiplicatifs, c'est plus compliqué, puisque ce n'est pas direct.
Soit S = X.Y. et dX et dY l'écart sur S est dS = X.dY + Y.dX.
Pour s'en convaincre il suffit de dessiner un rectangle de côtés X et Y et les écarts dX et dY.
On observe que l'écart dX.dY est "oublié" ou perdu. Cela est l'application du postulat que l'infiniment petit de second ordre est négligeable.
La formule donnée par Gbzm est acceptable si X et Y sont de même ordre, ainsi que dX et dY. Sinon, cela mérite une vérification.
Habituellement on admet que deux valeurs sont de même ordre si leur rapport est inférieur à 10 (ou 1/10).
Sauf contre-exemple, je ne pense pas que la relation dS= X.dY + Y.dX soit contestable.
J'observe que le calcul d'erreur n'est pas si simple que l'on pourrait penser.
Et là on n'en est qu'à calculer la composition simple d'écarts.
Dans un prochain message, je dirai un mot sur la composition par ellipse de tolérance.

Bonjour,
Apparemment Gbzm n'est pas d'accord avec ma formule.
J'ai fait la simulation avec des valeurs métriques un peu plus réalistes, mais c'est un détail.
Je rappelle que les valeurs X et Y sont indépendantes, donc aucune hypothèse de relation normale entre ces deux valeurs ne se justifie.
L'écart en X se multiplie en fonction de Y et réciproquement.

Code:

int main() // suivant 191
{
// Ecart-type sur un produit
  randomize();
// X a pour moyenne 40 et Y a pour moyenne 10
// l'écart-type sur X est 0.05 ; sur est 0.02
// quel est l'écart-type sur XY

  float ResS[1000];
// l'intervalle de tolérance est 6 x écart-type centré en 0
  for (int i=0; i<1000; i++)
  {
    int rx=rand();
    float ex=(float)rx/RAND_MAX * 0.3 - 0.15;
    float X=40.00 + ex;
    int ry=rand();
    float ey=(float)ry/RAND_MAX * 0.12 - 0.06;
    float Y=10.00 + ey;
    ResS[i]=X*Y;
  }
  AfficheNormale(espion, ResS, 1000, "\nEcart-tpe d'un produit\n");
  fclose(espion);
  return 0;
}



Ecart-tpe d'un produit
Nombre = 1000  Moyenne = 400.07  emq=1.59  ep=1.06
Médiane = 400.07 Min = 396.29  Max 403.69
    Rapport EMQ/EMA = 1.22  théorique 1.25
Classe 1  nb=   0  0.00%     théorique 0.35%    |
Classe 2  nb=  18  1.80%     théorique    2%    |HH
Classe 3  nb=  81  8.10%     théorique    7%    |HHHHHHHHH
Classe 4  nb= 162  16.20%     théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 239  23.90%     théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 231  23.10%     théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 169  16.90%     théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  83  8.30%     théorique    7%    |HHHHHHHHH
Classe 9  nb=  17  1.70%     théorique    2%    |HH
Classe 10 nb=   0  0.00%     théorique 0.35%    |


J'ai pris l'exemple d'un rectangle, puisque c'est plus visuel et que les valeurs X et Y sont de la même unité et probablement du même ordre de grandeur.
Prenons un autre exemple classique : U = R.I, bien connu des physiciens. Les valeurs de R et de I (µ et s) n'ont aucun rapport en dimension entre elle, donc
dU = R.dI + I.dR sans aucun doute.
Par ailleurs, si on réalise cette expérience plusieurs fois, c'est à dire si on obtient une liste de U, alors la répartition sera normale.

Gbzm a écrit:Le résultat de la simulation est clair ! Il valide bien la formule de Laplace-Gauss.

C'est là qu'on voit les dangers d'utilisation d'outil qu'on ne connait pas.
Ce type de réaction est d'autant pus étonnant que quand je disais que la loi normale s'appliquait, simulation à l'appui, on me répondait "c'est pas vrai, t'y connais rien", et maintenant, peut-être suite aux simulations du dé à 1000 faces et à l'exploitation du fichier de température, Gbzm veut appliquer la loi normale systématiquement.

Bonjour Dlzlogic,
J'ai une petite interrogation à propos du code de votre simulation.
Votre commande

Code:

int rx=rand();

produit un entier aléatoire avec distribution uniforme sur [0, RAND_MAX]. Ensuite

Code:

float ex=(float)rx/RAND_MAX * 0.3 - 0.15;

produit un flottant uniformément réparti sur [-0.15, 0.15]. Correct ? Donc

Code:

float X=40.00 + ex;

produit un flottant uniformément réparti sur [38.85, 40.15]. Pourquoi écrivez-vous "l'écart-type sur X est 0.05" ? Si l'on applique les définitions des probabilités, l'écart-type d'une variable uniformément répartie sur un intervalle de longueur L est  L/(2 x 3^1/2). Donc l'écart type de X est 0.3/(2 x 3^1/2), soit à peu près 0.087 qui est bien différent de 0.05. Êtes-vous d'accord ? Si vous en doutez, vous pouvez vérifier expérimentalement cette affirmation en utilisant votre commande AfficheNormale sur un tableau de 1000 valeurs de votre X.
Au plaisir de lire votre réponse

Bonjour,
J'ai bien compris votre question.
Si je fais une mesure, avec un appareil dont on connait l'écart-type s, on sait que cette mesure est comprise dans l'intervalle [-2/3 s ; 2/3 s] avec une probabilité 1/2, et que cette mesure est comprise dans l'intervalle [-4 s ; 4 s] presque sûrement.
Dans le cas de cette simulation, la valeur numérique de l'écart n'a d'importance que à titre de comparaison. En effet, l'écart-type n'est qu'une unité de travaille pratique pour des utilisations.
Dans le cas de la question posée, on a une valeur pour X et une valeur pour Y et on connait la précision des appareils de mesure que nous appellerons "écart-type", mais on aurait pu l'appeler "écart probable" = ep = 2/3 emq ou "tolérance" = 4 ep ~ 3 emq
En fait, ce qui est important pour le calcul, c'est l'intervalle de l'écart inconnu et qui se trouve dans les valeurs de tolérances.

Par ailleurs, la notion d'écart-type = écart moyen quadratique n'a de signification que dans le cas d'un grand nombre de mesures réalisées suivant le même protocole (d'où le nom de loi uniforme) où la répartition des écarts à la moyenne sera conforme à la répartition normale.

Je sais bien que les formulaires donnent pour chaque loi une "valeur" d'écart-type, mais si on réalise une expérience réelle quelconque, les résultats seront toujours normalisés s'il n' a eu ni faute ni tricherie. Je rappelle que l'utilisation d'un générateur de nombres aléatoires produit une expérience dite de même loi que si les valeurs utilisées correspondent à quelque-chose d'aléatoire, par exemple le comptage d'apparition des faces d'un dé (à 1000 faces par exemple).

Il est vrai que la répartition des écarts des valeurs de X ne suit pas la répartition normale, parce que les valeurs utilisées ne résultent pas d'expérience réelle. Je peux naturellement refaire la simulation en forçant la dispersion normale. Cela ne changera pas le fait que l'écart sur le produit XY sera tel que dit précédemment.
On peut comparer ce résultat à l'aire des traits horizontaux ajoutée à l'aire des traits verticaux, L'épaisseur de ces deux traits étant totalement indépendants et ne résultent pas du même protocole.

Pour le plaisir, j'ai refait un passage en utilisant un fonction que je viens de faire mais pas vraiment testée.

Code:

int main() // suivant 191
{
// Ecart-type sur un produit
  randomize();
// X a pour moyenne 40 et Y a pour moyenne 10
// l'écart-type sur X est 0.05 ; sur est 0.02
// quel est l'écart-type sur XY

  float ResS[1000];
// l'intervalle de tolérance est 6 x écart-type centré en 0
  for (int i=0; i<1000; i++)
  {
    float X = Tire_Alea(40.0, 0.05, 12.);
    float Y = Tire_Alea(10.0, 0.02, 12.);
    ResS[i]=X*Y;
  }
  AfficheNormale(espion, ResS, 1000, "\nEcart-tpe d'un produit\n");
  fclose(espion);
  return 0;
}

Ecart-tpe d'un produit
Nombre = 1000  Moyenne = 399.99  emq=0.66  ep=0.44
Médiane = 400.01 Min = 398.00  Max 401.99
    Rapport EMQ/EMA = 1.25  théorique 1.25
Classe 1  nb=  3  0.30%     théorique 0.35%    |H
Classe 2  nb=  20  2.00%     théorique    2%    |HH
Classe 3  nb=  71  7.10%     théorique    7%    |HHHHHHHH
Classe 4  nb= 162  16.20%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 234  23.40%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 254  25.40%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 166  16.60%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  70  7.00%     théorique    7%    |HHHHHHH
Classe 9  nb=  17  1.70%     théorique    2%    |HH
Classe 10 nb=  3  0.30%     théorique 0.35%    |H


Je dois mettre au point le problème d'intervalle.
De toute façon, cette fonction sera vite remplacée par l'algorithme de Box-Muller.

Pour le plaisir, j'ai refait un passage en utilisant un fonction que je viens de faire mais pas vraiment testée.

Code:

int main() // suivant 191
{
// Ecart-type sur un produit
  randomize();
// X a pour moyenne 40 et Y a pour moyenne 10
// l'écart-type sur X est 0.05 ; sur est 0.02
// quel est l'écart-type sur XY

  float ResS[1000];
// l'intervalle de tolérance est 6 x écart-type centré en 0
  for (int i=0; i<1000; i++)
  {
    float X = Tire_Alea(40.0, 0.05, 12.);
    float Y = Tire_Alea(10.0, 0.02, 12.);
    ResS[i]=X*Y;
  }
  AfficheNormale(espion, ResS, 1000, "\nEcart-tpe d'un produit\n");
  fclose(espion);
  return 0;
}

Ecart-tpe d'un produit
Nombre = 1000  Moyenne = 399.99  emq=0.66  ep=0.44
Médiane = 400.01 Min = 398.00  Max 401.99
    Rapport EMQ/EMA = 1.25  théorique 1.25
Classe 1  nb=   3  0.30%     théorique 0.35%    |H
Classe 2  nb=  20  2.00%     théorique    2%    |HH
Classe 3  nb=  71  7.10%     théorique    7%    |HHHHHHHH
Classe 4  nb= 162  16.20%     théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 234  23.40%     théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 254  25.40%     théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 166  16.60%     théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  70  7.00%     théorique    7%    |HHHHHHH
Classe 9  nb=  17  1.70%     théorique    2%    |HH
Classe 10 nb=   3  0.30%     théorique 0.35%    |H


Je dois mettre au point le problème d'intervalle.
De toute façon, cette fonction sera vite remplacée par l'algorithme de Box-Muller.

Bonsoir,
Il me semble utile d'apporter quelque précision à propos de l'utilisation des générateurs de nombres aléatoires.
D'abord un préalable indispensable. Un bon générateur de nombres aléatoire produit une suite de nombres qui a deux caractéristiques fondamentales :
1- la connaissance d'une suite de ces nombres ne permet pas de connaitre, en aucune façon, le nombre suivant bien que la formule utilisée est élémentaire
2- la caractéristique des résultats est telle que chaque nombre produit a autant de chances de sortir que les autres.
J'ajoute, et c'est très important, c'est que les nombres sortis ne sont pas des nombres au sens mathématique, c'est à dire que les opérations arithmétiques entre eux n'a pas de sens. En d'autres termes, ce sont des objets qui portent un label.

Ces générateurs sont couramment utilisés dans des simulations, mais si on considères les nombres produits comme des nombres mathématiques on fait fausse route.
Des quantités de simulations ont été faites et qui vérifient cela.

Application : dans le cas de l'énoncé en cours, cette utilisation des résultats "numériques" d'un gestionnaire de nombres aléatoires ou ceux d'une fonction produisant des valeurs suivant une certaine loi est équivalent. Les écarts en X et en Y n'ont aucune relation entre eux.

Je suis désolé, mais vous n'avez pas vraiment répondu à ma question.
Votre première simulation était tout à fait intéressante et compréhensible. Si ça ne vous dérange pas, je propose qu'on reste avec celle-là. Le seul point qui me posait problème était l'écart-type pour la variable X que vous avez codée (et aussi pour la variable Y). Vous écrivez en commentaire que l'écart-type sur X est 0.05 et que celui sur Y est 0.02. Les calculs élémentaires que l'on apprend en théorie des probabilités indiquent qu'ils sont respectivement de 0.087 et 0.035. Êtes-vous d'accord avec cette correction ?
Je suppose que vous avez utilisé votre fonction AfficheNormale sur des tableaux de 1000 valeurs pour X et 1000 valeurs pour Y. Pouvez vous donner les résultats obtenus, s'il vous plait ?
De mon côté, j'ai repris vos fonctions X et Y de votre première simulation et j'ai trouvé, sur un échantillon de 1000 à chaque fois, des écarts-types respectivement de 0.087 et 0.034., qui sont en accord avec les résultats donnés par les formules théoriques. Je me permets donc d'insister, sans vouloir vous offenser : que trouvez-vous comme écarts-types pour vos fonctions X et Y de votre première simulation, avec votre fonction AfficheNormal ? Merci par avance pour votre réponse que je lirai sans doute demain matin.
Bon repos !

Vous écrivez en commentaire que l'écart-type sur X est 0.05 et que celui sur Y est 0.02. Les calculs élémentaires que l'on apprend en théorie des probabilités indiquent qu'ils sont respectivement de 0.087 et 0.035. Êtes-vous d'accord avec cette correction ?

Ces écart-types de 0.05 et 0.02 résultent de différentes observations et/ou calculs, ce sont les hypothèses de base. Je ne comprends pas comment ils pourraient résulter de quoi que ce soit d'autre ; explication indispensable.

Je suppose que vous avez utilisé votre fonction AfficheNormale sur des tableaux de 1000 valeurs pour X et 1000 valeurs pour Y. Pouvez vous donner les résultats obtenus, s'il vous plait ?

La fonction AfficheNormale ne fait que comptabiliser les écarts à la moyenne et afficher les résultats. Ce n'est qu'une fonction d'affichage des résultats.

Bon, la question posée est le calcul de l'incertitude de S=X.Y, à partir de l'incertitude sur X et sur Y.
Si votre question porte sur autre chose, il vaudrait mieux le préciser.

Après relecture de votre message, j'ai vraiment l'impression que vous partez de résultats issus de théorie que vous n'explicitez pas pour en déduire je ne sais trop quoi. En bon français, ça s'appelle "mettre la charrue avant les bœufs".

Je tiens à préciser que, soient deux valeurs X et Y d'incertitude dX et dY, alors l'incertitude sur X.Y d(X.Y) = X.dY + Y.dx.

Bonjour, j'espère que vous avez passé une bonne nuit.
Je suis parfaitement d'accord avec vous qu'une explication est indispensable. Mais sauf votre respect, c'est bien à vous de donner cette explication.
De mon côté j'ai bien expliqué pourquoi le X que vous construisez ainsi :

Code:

    int rx=rand();
    float ex=(float)rx/RAND_MAX * 0.3 - 0.15;
    float X=40.00 + ex;

a un écart-type de 0.087 et pas de 0.05 comme vous l'écrivez dans les commentaires. Ça vient du fait que X est uniformément réparti sur un intervalle de longueur L=0.3 et que la variance pour une variable uniformément répartie sur un intervalle de longueur L est L^2/12. C'est confirmé par le fait que j'ai fait une simulation sur un échantillon de 1000 valeurs produites par votre algorithme et que l'écart-type sur cet échantillon est bien 0.087.
Et de votre côté ? Veuillez m'en excuser, mais je ne peux pas prendre au sérieux votre phrase "Ces écart-types de 0.05 et 0.02 résultent de différentes observations et/ou calculs, ce sont les hypothèses de base." Il n'y a aucune observation dans votre simulation, juste la production de valeurs de X par l'algorithme que j'ai rappelé ci-dessus. Sur quoi vous basez-vous pour affirmer qu'un échantillon de valeurs de X produit par cet algorithme a un écart-type de 0.05 ?
Vous avez tous les outils pour vérifier si votre affirmation est justifiée ou non. Vous qui connaissez bien votre commande AfficheNormale, vous savez parfaitement qu'elle calcule l'écart moyen quadratique (emq) ou écart-type du tableau de valeurs que vous lui fournissez. Il vous suffit donc de faire tourner ce petit code :

Code:

    int main()
    {
      randomize();
    
      float X[1000];
      {
        int rx=rand();
        float ex=(float)rx/RAND_MAX * 0.3 - 0.15;
        float X[i]=40.00 + ex;
      }
      AfficheNormale(espion, X, 1000, "\nEcart-type de X\n");
      fclose(espion);
      return 0;
    }


J'espère ne pas m'être trompé, je ne suis pas familier du langage C. Mais si je me suis trompé, vous pourrez corriger sans peine. S'il vous plait, quelle est la valeur de l'emq que retourne la commande "AfficheNormale" ? Je ne peux pas le faire à votre place, je n'ai pas cette commande.
Pourquoi est-ce que ce point sur l'écart-type de X demande à être éclairci ? Justement parce qu'on s'intéresse à la façon de calculer l'écart type du produit XY à partir de X, de Y et des écarts-type de X et de Y.  Il est donc important que l'on soit bien d'accord sur les écarts-types de X et de Y à la base, vous n'êtes pas d'accord ?

Bonjour,
Maintenant j'ai compris votre question.
Oui, je connais l'expression de l'écart-type pour une loi uniforme. (Même coefficient au signe près que la somme des entiers de 0 à oo )
Avec un générateur de nombres aléatoires, on peut simuler une telle liste, dans le monde réel, c'est beaucoup plus difficile. L'exemple typique du loto produit des numéros qui respectent la répartition normale et pas la répartition uniforme.
Ceci est un long débat.
Si on exploite une suite de nombres modulo 100 d'un générateur, et que le résultat est le comptage des sorties des numéros de 00 à 99, on aura une répartition conforme à ce que donnera toute expérience aléatoire dans le monde réel, c'est à dire une répartition normale.
En d'autres termes, avec un ordinateur on arrive à produire une liste de "nombres" de répartition uniforme, ce qu'il est presque impossible à faire dans le monde réel.

Application : comme vous l'avez précisé, les listes de X et de Y, munis de leurs écarts aléatoires, suivent une répartition uniforme, mais leur produit a bien une répartition normale.
J'avais trouvé une "image" : vous lancez un dé à jouer, il suit une loi uniforme, vous notez le résultat, il respecte la répartition normale. C'est l'application directe du TCL.

Vous ne répondez toujours pas. Pourquoi refusez-vous d'indiquer quel est l'emq pour un échantillon de 1000 valeurs de X produites par votre algorithme ?
Quel est l'emq pour le X avec lequel vous avez fait votre simulation ? Vous avez très bien pu produire l'emq pour le produit XY : vous avez trouvé

Code:

Ecart-tpe d'un produit
Nombre = 1000  Moyenne = 400.07  emq=1.59  ep=1.06
Médiane = 400.07 Min = 396.29  Max 403.69

emq=1.59.
Ne me faites pas croire que vous ne sauriez pas produire l'emq pour un échantillon de 1000 valeurs de X et un échantillon de 1000 valeurs de Y.

Je pensais avoir été clair, mais je recommence.
J'ai fait une simulation sur 1000 X. On a effectivement une répartition uniforme.

Code:

Ecart-tpe d'un tirage uniforme
Nombre = 1000  Moyenne = 40.00  emq=0.09  ep=0.06
Médiane = 39.99 Min = 39.85  Max 40.15
    Rapport EMQ/EMA = 1.15  théorique 1.25
Classe 1  nb=  0  0.00%     théorique 0.35%    |
Classe 2  nb=  0  0.00%     théorique    2%    |
Classe 3  nb= 102  10.20%     théorique    7%    |HHHHHHHHHHH
Classe 4  nb= 223  22.30%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 197  19.70%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 171  17.10%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 189  18.90%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb= 118  11.80%     théorique    7%    |HHHHHHHHHHHH
Classe 9  nb=  0  0.00%     théorique    2%    |
Classe 10 nb=  0  0.00%     théorique 0.35%    |


Si on fait la même simulation avec Y, on aura quelque-chose de similaire.
Puis si on fait le produit XY, on obtient une répartition normale.

Il me semble que vous faites une fixation sur l'emq. C'est une valeur qui se calcule très simplement,
Je reprécise
Je fais 1000 fois les opérations suivantes
Calcul d'un X avec un écart calculé avec rand, donc loi uniforme (emq dans intérêt)
Calcul d'un Y avec un écart calculé avec rand, donc loi uniforme (emq dans intérêt)
Multiplication XY Création de la liste
Affichage. C'est la fonction AfficheNormale. Cette fonction calcule la moyenne, la médiane, l'écart-type, etc. et affiche le résultat avec par classe, les nombres et le graphisme en barre.
On vérifie que le résultat de cette opération "multiplication de deux nombres avec écarts aléatoires" a bien une répartition normale, comme toute opération suivant des hypothèses comparables.

Merci !
Comme vous le constatez, vous trouvez un emq de 0.09, donc bien loin du 0.05 que vous annoncez, et qui est en accord avec ce que j'écris depuis le début : écart-type pour X de 0.087.
Et vous pourrez vérifier de la même façon que l'écart-type pour Y est de 0.035. et pas 0.02.
Venons en maintenant au lien avec l'écart-type que vous trouvez pour XY : 1.59

Si on appliquait la formule
on aurait

Si on appliquait la formule de Gauss
on aurait

Vous êtes bien d'accord que ce que vous trouvez dans votre simulation (1.59) est bien plus proche de 1.65 que de 2.27 ? Votre simulation est donc bien un élément important de la discussion.

Oui, je crois que j'ai bien compris.
Il y a en cours une discussion sur la fraude dans le domaine scientifique. L'auteur du bouquin qui est interviewé a bien précisé qu'il n'y avait pas de fraude dans le domaine des mathématiques. Voici un contre-exemple très intéressant : on peut trouver, sans sourciller, une méthode pour minimiser la valeur d'un écart-type. C'est un peu dans le même contexte que le biais dans ce même écart-type. On dit qu'il est biaisé alors que c'est une faute de calcul (ou de connaissance).

L'écart-type d'une loi uniforme ne peut jamais être observé lors d'une expérience.
Les écarts en X et en Y n'ont aucune relation, ils sont indépendants. Un simple petit graphique confirme le calcul de Gérard (une fois n'est pas coutume).

Vous êtes très désobligeant. Vous m'accusez de fraude ? Où aurais-je fraudé ? Gauss aurait fraudé ? Ou bien est-ce vous qui avez fraudé, puisque mes arguments reposent entièrement sur les simulations que vous avez faites ?
Je vous en prie, essayez de tenir des propos raisonnables et demeurez dans le cadre d'une discussion scientifique de bon aloi.
Il y a deux choses qu'il ne faut pas confondre :

1) D'une part, on peut faire des calculs de tolérance, ou d'erreurs, ou d'incertitude : quand on écrit X = 40 ± ΔX, avec ΔX=0.15, on interprète cela comme 39.85 < X < 40.15. De même Y = 10 ± ΔY, avec ΔY=0.06, veut dire 9.94 < Y < 10.06. Alors on a Δ(X*Y) = Y*ΔX + X*ΔY, donc ici Δ(X*Y)=3.9 et 396.1 < X*Y < 403.9. C'est bien ce qu'on constate dans votre simulation puisque la valeur minimum que vous trouvez pour le produit est 396.29 et la valeur maximale 403.69. Mais ici il n'y a pas de probabilité, juste de l'algèbre ou de l'analyse élémentaire.

2) On peut aussi faire intervenir les probabilités et raisonner en termes d'écart-type. C'est une approche différente, où on ne s'intéresse plus aux erreurs maximales mais aux erreurs probables. Et la, dans le cas de produit de variables indépendantes, c'est bien la formule de Gauss (que j'ai écrite plus haut, je ne vais pas la réécrire) qui est pertinente comme l'a montré sans contestation possible votre simulation.

Bien, vous semblez avoir oublié que ma spécialité, à part la programmation, est justement la mesure, la théorie de la mesure et par conséquent, la théorie des probabilités.
Cette théorie a été initiée par des gens comme Laplace, Gauss, Bernoulli. En fait elle est mal connue et en tout cas ignorée des mathématiciens. Vers 1930 Kolmogorov, pour des motifs que je devine, a fait table rase de toutes ces connaissances et a imaginé sa théorie des probabilités.
Depuis quelques décennies, les probabilités sont au programme dès le lycée. Catastrophe pour les profs, ces notions d'imprécision, fondamentale dans le domaine de la mesure leur sont totalement inconnues. Les informations disponibles étaient surtout disponibles dans l'axiomatique de K., autrement dit rien, pour preuve, des choses parfaitement démontrées sont devenues des axiomes, la formule fondamentale (loi normale) était complètement oubliée.

Et l'écart-type. D'après ce que j'ai compris (contact avec des matheux), cette expression vient d'une sorte de normalisation, suite à la mondialisation de l'information.
Le schéma est simple : des spécialistes parlent de l'écart moyen quadratique, héritage de Gauss, Bienaymé et plus près de nous, Lévy. Il est clair que les notions de emq et loi normale sont intimement liées. Donc l'emq est devenu "écart-type", évidemment type de répartition normale. Mais par manque de formation la loi normale a été considérée comme l'une des lois à enseigner aux élèves et on a gardé l'utilisation de cette expression "écart-type" en oubliant complètement sa signification. Gros avantages pour les professeurs, cela peut générer des tas de cours, d'exercices, qu'importe si ce n'est pas rigoureux, ce n'est qu'un exercice dans lequel on fournit les hypothèses.
J'ai écris un certain nombre de papiers concernant ce sujet, par exemple :
http://www.dlzlogic.com/aides/Notions_de_probabilite.pdf
http://www.dlzlogic.com/aides/Piege_variance.pdf

Il y a eu suffisamment de simulations et vérifications pour confirmer tout cela. En particulier l'exploitation du fichier de température qui serait un très bon support de TD informatique.

Je crois que tous les problèmes viennent de deux points différents.
1- quand on fait une simulation avec un générateur ordinaire, c'est à dire qui renvoie des entiers compris entre 0 et RAND_MAX, on génère des nombres qui ne sont pas des nombres arithmétiques que l'on peut multiplier ou ajouter, mais des labels. On rencontre exactement le même problème avec un dé à jouer, le nombre de taches sur les faces sont des labels. Si on veut simuler une expérience du monde réel, il faut comptabiliser les apparitions de chaque label. C'est l'expérience qui a été faite avec un dé à 1000 faces. Les lois des probabilités se vérifient. Je suis persuadé que tous les générateur de nombres aléatoires procèdent de la même façon, que les résultats soient compris entre 0 et 1 n'est qu'un trompe l’œil, la division pas RAND_MAX est faite en base.

2- la valeur appelée "écart-type" n'a de sens que si la liste obtenue a une répartition conforme à la loi normale. On peut toujours calculer l'écart moyen quadratique d'une liste de valeurs numériques, mais le résultat ne mérite le nom d'écart-type que si cette liste est normale.

Je tiens à rajouter un mot concernant le message de HumHumHum à 14H53.
Oui, dans certains contextes non-professionnels et approximatifs on peut voir des choses comme L=112.32 +-15. Cela ne veut strictement rien dire. Je n'insiste pas.
Par contre les calculs précis sont généralement assortis de l'expression assez bizarre "intervalle de confiance". Quand on connait les notions de probabilité, on arrive à traduire.
Dans le cas de la présente discussion, c'est à dire comment calculer la valeur de précision ou d'incertitude pour le produit de 2 nombres, les explications ont été données, mais invoquer l'application de formule alors que les hypothèses ne sont pas satisfaite ne rentre pas dans le cadre des mathématiques.
Il n'est pas bien de donner de fausses informations à des étudiants qui posent une question précise.

Bon dimanche,
Revenons à notre sujet, si vous le voulez bien.
Vous ne contestez plus que l'écart-type (ou écart moyen quadratique, ces deux termes sont synonymes) de la variable X de votre simularion soit 0.087. Bizarrement, vous contestez maintenant que X ait un écart-type au prétexte que votre X n'a pas une distribution normale, mais une distribution uniforme sur un intervalle. Il est curieux que cela ne vous ait pas empêché d'affirmer, je cite : "l'écart-type sur X est 0.05" (votre message du 23 février à 21h09). Il est vrai que ce n'est pas très réaliste de modéliser dans une simulation une erreur par une distribution uniforme. Je note d'ailleurs que dans le fil sur le forum Futura-Sciences auquel vous faites référence, GBZM utilise bien une modélisation gaussienne pour ses x et y.
Mais qu'importe ! Votre simulation comme la sienne vérifient bien la formule de propagation de la dispersion statistique de Gauss
qui s'applique pour des variables indépendantes avec des écarts-types très petits par rapport aux valeurs.
Pour votre simulation plus haut, je vous ai expliqué que cette formule donne un écart-type de 1.65 sur le produit X*Y. Vous trouvez 1.59. J'ai refait votre simulation 30 fois et j'ai trouvé
1.63, 1.65, 1.63, 1.63, 1.65, 1.63, 1.64, 1.64, 1.62, 1.64, 1.63, 1.65, 1.63, 1.63, 1.65, 1.64, 1.63, 1.65, 1.63, 1.64, 1.64, 1.64, 1.65, 1.63, 1.62, 1.63, 1.61, 1.64, 1.63, 1.62
C'est toujours bien moins que l'écart-type de 2.27 que donnerait votre formule.

Ceci se comprend bien en reprenant l'exemple de la surface d'un rectangle : statistiquement, il y a  compensation entre mesures par excès (resp. par défaut) de la largeur x et mesures par défaut (resp. par excès) de la hauteur y, ce qui fait que l'écart type de x*y, sous hypothèse d'indépendance, est bien plus petit que y * écart-type(x) + x * écart-type(y).

Petit ajout :
Toujours dans le fil que vous donnez en référence, GBZM a mis une démonstration de la formule de propagation de la dispersion statistique pour un produit de variables indépendantes, qu'on peut lire dans le message #3, avec une coquille qui est corrigée dans le message suivant. Avez-vous lu et compris cette démonstration ?