Calcul élémentaire.

Bonjour,
L'écart moyen quadratique est dit moyenne de second ordre. La moyenne arithmétique étant la moyenne de premier ordre.
L'écart-type est l'écart moyen quadratique d'une liste de nombres arithmétiques (par opposition à label) résultant d'une même opération. La théorie des probabilité indique des caractéristiques particulières à cet écart-type. C'est en aucun cas synonyme de emq.
Donc, vous cherchez à me faire dire des choses que je n'ai pas dites.

Il semble que vous ne comprenez pas très bien ce qu'est un calcul différentiel.
On a la fonction P(X,Y) = X.Y
dS = X.dy + Y.dx
dX et dY sont les écarts en X et en Y.

Le cas de la somme est différent et en effet si S = somme(xi) S= nX ; alors dS = dX . racune(n).

J'ai déjà souvent échangé avec Gbzm, il ne connait pas la théorie des probabilités, mais il connait des formules.
J'ai dit que je me garderai bien de donner des explications générales concernant ces notions, par contre il n'y a pas de doute que dP = XdY + YdX

Dlzlogic a écrit:Il semble que vous ne comprenez pas très bien ce qu'est un calcul différentiel.
S= nX ; alors dS = dX . racune(n).

Dlzlogic, vous rendez-vous compte de l'énormité que vous avez écrite ?
Vous devriez vous reposer un peu. Et profitez-en aussi pour regarder ce qui se passe sur le fil du forum Futura Sciences. Billy 1816 a mis dans le message #8 un lien sur deux documents très intéressants.

Oui, c'est très caractéristique. Je parle du calcul différentiel pour le produit de X et Y (pardon pour la lettre S au lieu de P).
Et vous citez la phrase suivi du calcul de somme où là, les erreurs se combinent quadratiquement.

Je me doutais bien que votre intervention n'avait pour but que de me contredire.

Oui, j'ai lu le message du demandeur et regardé les liens qu'il donnait.

Pour votre gouverne, en calcul différentiel, si S=nX alors bien évidemement dS = n dX et pas racine(n) dX. De même d(X+Y) = dX + dY. Et bien sûr que d(X*Y)= X dy + Y dX
Ça c'est du calcul différentiel. Et ça a des conséquences pour les erreurs absolues (supposées petites) :
Δ(X+Y) = ΔX + ΔY et Δ(X*Y) = X ΔY + Y ΔX
Ici, pas de trace de probabilités. Avec probabilités, on travaille sur les écarts-types de X et Y supposés indépendants et on a
σ(X+Y) = ( (σX)² + (σY)²)^1/2 et σ(X*Y) = ( X² (σY)² + Y² (σX)²)^1/2
(les écarts-types sont supposés petits par rapport aux valeurs des variables).
Regardez les documents mis en lien dans l'autre fil. C'est la formule qui figure dans le paragraphe 2.2.2 "Mesure indirecte" du document 1, et dans le paragraphe 3.2.4 page 22 du document 2.

Le document 1, c'est le site "Culture Sciences Chimie" de l'École Normale Supérieure, le document 2 fait partie des ressources pour l'agrégation de physique de cette même ENS. Contesteriez-vous ces références ?

Bon, vous n'y connaissez rien en calcul d'erreur.
Passons à autre-chose.

Et vous, vous êtes extrêmement désagréable. Puisque vous vous aventurez sur ce terrain, laissez-moi vous dire que vos interventions dans ce fil montrent que vous êtes dans la confusion la plus totale sur ce sujet.
Et à bout d'arguments, tout ce qui vous reste c'est "vous n'y connaissez rien". Piètre réponse !
Selon vous, les enseignants de l'ENS en physique et chimie qui ont écrit les documents n'y connaissent rien non plus, sans doute ?

Je viens de lire un peu le cours de chimie.
Ben oui, ils connaissent le calcul d'erreur, Le calcul sur une somme de mesures est très clair, vous devriez le lire. Voir 2.2.
Lorsque les incertitudes portent sur un produit, le problème est plus compliqué, c'est la raison pour laquelle j'ai précisé dans mon premier message que je ne m'avancerai dans des réponses sur un cadre général.
Oui, la formule donnée en 2.2.2 est bonne, mais c'est le cas général où il me semble imprudent de s'aventurer dans le cadre d'échange sur un forum.
La question posée, je me permets de la rappeler est quelle est l'incertitude sur un produit P(X, Y)= X.Y sachant les incertitudes dX et dY ?
La réponse est dP = X.dY + Y.dX
Pour vous en convaincre il suffit de dessiner un rectangle et les incertitudes en largeur et en hauteur.

Ce qui me fait dire que vous n'y connaissez rien c'est votre réflexion "ici, il n'est pas question de probabilités" à propos du calcul de la somme.    

Au passage, j'ai observé que ce cours fait bien la distinction entre les erreurs systématiques et les erreurs accidentelles, c'est une notion très importante en calcul d'erreur et totalement inconnue des matheux.

PS. J'ai continué à lire le cours sur les incertitudes, rien à redire, sauf qu'il n'y a pas de justification des formules.

Avez-vous remarqué que la formule du pararagraphe 2.2.2 pour l'incertitude sur C₂=C₁ * V₂/V₁, que je recopie
est exactement la formule que j'ai donnée pour les écarts-types (je ne l'ai donnée que pour un produit de deux, on la retrouve en oubliant V₁ dans la formule ci-dessus) et n'est pas la formule dP = XdY +Ydx que vous donnez pour un produit P=X*Y ? La formule que vous donnez, comme je l'ai déjà expliqué, vaut pour les incertitudes absolues (L’incertitude absolue est l’erreur maximale que l’on peut effectuer en déterminant une mesure sur un appareil, phrase recopiée du document "alloprof" mis en lien sur le fil de Futura Sciences).
Vous ressortez l'histoire de l'aire du rectangle. Apparemment vous n'avez pas lu ce que j'écrivais plus haut : si l'on raisonne en termes de dispersion statistique, il est clair que les erreurs par excès (resp. par défaut) sur la largeur vont être comprensées par les erreurs par défaut (resp. par excès) sur la hauteur. C'est le même phénomène que pour les sommes : les erreurs par excès sur un composant de la somme sont compensées par les erreurs par défaut sur un autre, et donc l'écart-type de la somme est plus petit que la somme des écarts-types. Posez-vous, et réfléchissez sereinement à ce que je viens d'écrire sans partir du principe (erroné) que je n'y connais rien.

Oui, vous arguments sont "logiques" mais surtout intuitifs.
Il y a une longue tradition et expérience dans ce domaine.
Vous ne m'avez pas dit quelles sont vos sources de connaissance en matière de calcul d'erreur. En fait, cette information est indispensable pour que je trouve les mots pour vous expliquer ce dont on parle, si vous le souhaitez. Si ça ne vous intéresse pas, alors ce sera beaucoup plus simple.

Récapitulons.
Vous dites que la formule pour l'incertitude du produit
u(X*Y)/(X*Y) = (u(X)²/X² + u(Y)²/Y² )^1/2
est fausse. Pourtant vous la vérifiez avec votre simulation. Pourtant c'est un cas particulier de la formule du 2.2.2 du site "Culture Sciences Chimie" dont vous admettez qu'elle est correcte..
Que puis-je en déduire sur votre capacité à donner des leçons claires sur ce sujet ?

Il est très rare, voire exceptionnel, que je dise qu'une formule est fausse. Donc je n'ai pas dit cela.
Par contre à la question posée "Soit P(X,Y) = X.Y que vaut dP connaissant dX et dY." j'ai donné la réponse dP = X.dY + Y.dX.
Je n'ai rien dit d'autre, sauf qu'il est dangereux de balancer des formules sans connaitre les hypothèses, surtout dans un contexte de forum.
J'ai dit aussi que le calcul d'erreur était assez difficile à comprendre, surtout pour quelqu'un qui n'a aucune connaissance de la théorie des probabilités.

Parlant de différentielles, je suis parfaitement d'accord avec d(XY)= X dY + Y dX. On peut le voir "à la physicienne" à partir de (X+dX)(Y+dY) = XY + Y dX + X dY + dX dY et en négligeant dX dY.
De même pour d(X+Y) = dX + dY, qu'on peut voir avec (X +dX) + (Y + dY) = (X+Y) +dX +dY.

le calcul d'erreur [est] assez difficile à comprendre, surtout pour quelqu'un qui n'a aucune connaissance de la théorie des probabilités.

C'est parfaitement exact, et ce fil en donne la preuve.

Hum a écrit:De même pour d(X+Y) = dX + dY, qu'on peut voir avec (X +dX) + (Y + dY) = (X+Y) +dX +dY.

Ben non, si S(X, Y) = X +Y ; alors dS(X.Y) = racine(dX² + dY²)
Quelle est votre formation ? Peut-être autodidacte comme G.

Il vous faudrait avoir un minimum de cohérence. Si vous écrivez d(X+Y) = racine(dX² + dY²), c'est que pour vous X et Y sont indépendants et que d veut dire "écart type" ou incertitude égale à k fois l'écart type. Mais alors, on a d(X * Y) = racine(Y² * dX² + X² * dY²). Je préfère écrire σ pour un écart type ou u pour une incertitude, mais bon.
Dans le fil sur Futura Sciences, GBZM a écrit une démonstration de cette formule (je l'ai déjà écrit plus haut, mais ça vous a sans doute échappé). Si vous le souhaitez, je peux essayer de détailler cette démonstration.

Pour l'instant, le seule chose que je vous demande est de préciser, c'est la source de votre connaissance. Grandes écoles, laquelle, école généraliste, type X, autodidacte, autre (à préciser).
C'est marrant que vous fassiez une fixette sur l'écart-type. Ce n'est qu'une unité de calcul. Les militaires utilisent l'écart moyen arithmétique, pour les calculs, j'utilise l'écart probable.
Je crois que votre méconnaissance de ces notions est maximale.

Gbzm a écrit:Si vous avez une tolérance et que vous choisissez une modélisation uniforme de l'erreur, cela veut dire que les résultats sont uniformément répartis dans un intervalle de longueur . Or la variance d'une distribution uniforme sur un intervalle de longueur est L²/12. Je vous laisse conclure.

Là, c'est très clair. Billy ne parle absolument pas de modélisation de l'erreur, encore moins uniforme. Cette fameuse loi uniforme n'existe que dans les livres, ou plutôt si on fait une expérience suivant le même protocole, donc suivant la loi uniforme, alors les résultats seront répartis suivant la loi normale. Donc toute valeur calculée pour un écart type = L²/12 est fausse par définition.
Ceci est fondamental.
Dans la question posée il y a une seule valeur et aucune modélisation.

Pour éviter les incompréhensions. Si on utilise un générateur de nombres aléatoires de base, on va obtenir une suite de labels qu'il faut absolument distinguer des valeurs numériques représentant une quantité. Il est vrai que le calcul utilisant ces labels comme si c'étaient des valeurs numériques donnerait ce que certains prennent pour une répartition uniforme.

Bonjour,
Je vois que cette discussion vous préoccupe et vous fait veiller très tard. Ce n'est pas bon pour vous, cela vous fait raconter un peu n'importe quoi. Prenez les choses plus sereinement.

Si on utilise un générateur de nombres aléatoires de base, on va obtenir une suite de labels qu'il faut absolument distinguer des valeurs numériques représentant une quantité.

C'est une vue des choses pour le moins originale ! J'aimerais vous poser à ce sujet quelques questions :
1°) Comment faites vous pour prévenir votre ordinateur et vos logiciels que les nombres aléatoires qu'ils produisent ne sont pas des nombres mais des étiquettes ? Ils ne font pas la différence entre ce que produit

Code:

  int rx=rand();

et un entier (de type int) ordinaire. Ou alors vous pensez aussi que les entiers de type int sont tous des étiquettes et rien d'autre ?
2°) Si vous pensez sérieusement que les nombres aléatoires ne sont que des étiquettes et qu'on ne peut pas les utiliser dans des calculs, pourquoi programmez-vous des simulations comme ça :

Code:

    int rx=rand();
    float ex=(float)rx/RAND_MAX * 0.3 - 0.15;
    float X=40.00 + ex;
    int ry=rand();
    float ey=(float)ry/RAND_MAX * 0.12 - 0.06;
    float Y=10.00 + ey;
    ResS[i]=X*Y;

Attention ! Vous faites des calculs (division, soustraction, addition, produit) avec des étiquettes !

Si vous le voulez bien, reprenons notre sérieux et revenons au sujet de notre fil : l'incertitude sur un produit.
Finalement, plutôt que de détailler la démonstration esquissée par GBZM dans le fil sur Futura Sciences je préfère prendre les choses par un autre bout. Pour que vous puissiez bien suivre la démarche et expliciter vos objections si vous en avez, je vais numéroter les étapes.

1°) On a une mesure X d'une quantité dont la vraie valeur est X₀, entachée d'une erreur accidentelle e_X qui est gaussienne centrée d'écart-type σ_X : X = X₀ + e_X ; e_X est très petit par rapport à X₀.
2°) Même chose pour Y = Y₀ + e_Y, avec e_Y gaussienne centrée, indépendante de e_X, d'écart type σ_Y ; e_Y est très petit par rapport à Y₀.
3°) On effectue le produit X*Y = (X₀+e_X)*(Y₀+e_Y) = X₀*Y₀ + X₀*e_Y + Y₀*e_X + e_X*e_Y.
4°) Dans ce qui précède on peut négliger e_X*e_Y, car c'est un "infiniment petit du second ordre" (très petit devant les autres termes). On arrive ainsi à
X*Y = X₀*Y₀ + X₀*e_Y + Y₀*e_X .
5°) Puisque e_Y est une gaussienne centrée d'écart-type σ_Y,  X₀*e_Y est une gaussienne centrée d'écart-type X₀*σ_Y .
6°) De même Y₀*e_X est une gaussienne centrée d'écart-type Y₀*σ_X, qui est indépendante de X₀*e_Y car e_X et e_Y sont indépendantes.
7°) Comme vous l'avez appris, la somme  X₀*e_Y + Y₀*e_X de deux gaussiennes centrées indépendantes est une gaussienne centrée, et les écarts-types se composent quadratiquement : l'écart-type de la somme est
(Y₀² * σ_X² + X₀² * σ_Y²)^1/2.
8°) Donc X*Y = X₀*Y₀ + e_X*Y où e_X*Y est la gaussienne centrée d'écart-type (Y₀² * σ_X² + X₀² * σ_Y²)^1/2.

Vous pouvez si vous voulez remplacer partout dans ce raisonnement remplace écart-type par écart-probable (ou n'importe quelle autre quantité du type k * écart-type), si vous êtes plus à l'aise avec.

Prenez le temps de bien lire soigneusement cette démonstration, et si vous avec des demandes d'explication ou des objections, n'oubliez pas de mentionner le n° du point qui vous pose problème. Cela facilitera la clarté de la discussion.

Non, je ne répondrai pas à votre demande d'étaler mes titres et diplômes. Vous savez très bien que l'argument d'autorité est un mauvais argument. Je vous demande donc simplement de lire mes arguments scientifiques avec attention. Vous devriez avoir suffisamment de connaissances et de capacités de réflexion pour juger s'ils sont corrects ou non, sans avoir besoin d'un argument d'autorité.

Bonjour,

Hum a écrit:1°) On a une mesure X d'une quantité dont la vraie valeur est X0, entachée d'une erreur accidentelle eX qui est gaussienne centrée d'écart-type σX : X = X0 + eX ; eX est très petit par rapport à X0.

C'est une affirmation parfaitement gratuite.
On a une mesure X. Qui vous dit qu'elle est entachée d'une erreur ? quel est le contexte de l'expérience ? Etc.
Supposons que votre affirmation 1) soir vraie, alors la suite est vraie, je n'ai jamais dit le contraire.
Dans la question posée à l'origine, on n'a aucune information sur les termes du produit, on ne peut donc faire aucune hypothèse.

Moi j'ai une question : dans le cours de chimie donné en lien, on voit des valeurs divisées par racine(3). D'où cela vient-il ? J'ai précisé que ce cours manquait d'explication. Cela signifie qu'un étudiant pourra apprendre par cœur les formules, mais sans explication, il aura du mal à les retenir. Pour cette valeur divisée par racine(3), c'est moi qui ai besoin d'explication.

PS Cela inquiète aussi Billy :

Billy a écrit:On définit souvent les écarts types en multipliant les tolérances par [1/rac(3)], j'ai lu que cela caractérisait le choix de modélisation d'une loi uniforme mais je n'ai pas très bien compris.

Votre objection au point 1) est assez surprenante.
Considérez ce que vous avez vous-même fait dans votre simulation. Je rafraichis votre mémoire :

Code:

    int rx=rand();
    float ex=(float)rx/RAND_MAX * 0.3 - 0.15;
    float X=40.00 + ex;

Vous avez choisi une "vraie valeur" X0=40 puis vous y avez ajouté une erreur aléatoire ex pour obtenir X=X0+ex. C'est donc exactement mon point 1) que vous contestez, à ceci près que votre erreur ex n'est pas gaussienne mais uniformément répartie sur [-0.15, 0.15]. Mais comme vous savez qu'en théorie de la mesure on estime que les erreurs accidentelles sont gaussiennes (avec de bonnes raison, voir les articles de Paul Lévy), vous avez essayé par la suite de fabriquer une erreur gaussienne. Votre objection au point 1) revient a dire que ce que vous faites vous-même est infondé. Un peu fort de café, non ?

Pour ce qui est de la question du √3 dans

Si un écart est donné par le constructeur sous la forme Δc = ±h, alors l’incertitude est de la forme : h/√3

GBZM a déjà répondu à Billy. Au lieu d'essayer de comprendre cette réponse, vous vous êtes permis des commentaires comme

Dlzlogic a écrit: Billy ne parle absolument pas de modélisation de l'erreur, encore moins uniforme

alors que

Billy a écrit:j'ai lu que cela caractérisait le choix de modélisation d'une loi uniforme mais je n'ai pas très bien compris.

Bref vous dénigrez à tort et à travers au lieu d'essayer de comprendre. Vous pensez que c'est une attitude constructive qui vous permettra de progresser ?

J'avoue que je ne sais pas si de votre part c'est de l'incompréhension ou de la mauvaise foi. Je pense que la seconde hypothèse résulte de la première.

Dans la question d'origine on a deux valeurs X et Y munies d'une imprécision dX dY connue ou inconnue, mais dont on connait la valeur numérique, ce n'est pas précisé. Quelle est l'imprécision sur le produit. La réponse est X.dY + Y.dX . Il n'est pas question de faire des hypothèses hasardeuses. Les membres qui on répondu auraient dû poser des questions à Billy. Par ailleurs les réponses de Gérard et Gbzm ne concordent pas.

J'en reviens à ma question : pourquoi cette division par rac(3).

Oui, je viens de voir que ça ne gène personne de confondre loi uniforme et variation uniforme. Comme quoi, on maths, "c'est comme on veut".
@ Beagle, si tu ne comprends pas, je t'expliquerai.

Dans la question d'origine on a deux valeurs X et Y munies d'une imprécision dX dY connue ou inconnue, mais dont on connait la valeur numérique, ce n'est pas précisé. Quelle est l'imprécision sur le produit. La réponse est X.dY + Y.dX . I

Pourriez-vous m'expliquer ce que veut dire "deux valeurs X et Y munies d'une imprécision dX dY connue ou inconnue, mais dont on connait la valeur numérique" ?
Soit ; vous parlez ici d'imprécision absolue (erreur maximale, si vous voulez). Alors à la question "Quelle est l'inprécision sur la somme ?", vous devez répondre dX + dY, comme le montre la figure :

Dlzlogic a écrit:Oui, je viens de voir que ça ne gène personne de confondre loi uniforme et variation uniforme. Comme quoi, on maths, "c'est comme on veut".
@ Beagle, si tu ne comprends pas, je t'expliquerai.

je veux bien.