Calcul élémentaire.

Merci d'avoir répondu.

Donc les transformations linéaires de lois normales donnent des lois normales.

Idem la multiplication de lois normales qui n'est pas une transformation linéaire donne aussi une loi normale.
C'est bien cela que dit le 8°) ? :
"8°) Donc X*Y = X0*Y0 + eX*Y où eX*Y est la gaussienne centrée d'écart-type (Y02 * σX2 + X02 * σY2)1/2."

Finalement seule la division ne le fait pas et donne une loi de Cauchy.

beagle a écrit: la multiplication de lois normales qui n'est pas une transformation linéaire  donne aussi une loi normale.
C'est bien cela que dit le 8°)

Non ! Vous avez sauté une étape cruciale : c'est le 4°).  On y fait l'approximation de X*Y en négligeant e_X*e_Y par rapport aux autres termes. C'est parce que e_X et e_Y sont très petits devant X₀ et  Y₀ (l'erreur sur la mesure est très petit devant la quantité qu'on mesure, sinon ça ne vaut pas la peine de mesurer !). Mais vous voyez bien que si on avait en fait X₀=Y₀ = 0 (c.-à-d. des variables gaussiennes centrées), il serait complètement délirant de négliger e_X*e_Y puisque c'est alors le seul terme non nul !

Le fait de négliger e_X*e_Y permet de se retrouver avec la somme d'une constante (X₀*Y₀) et de deux variables aléatoires gaussiennes centrées indépendantes (X₀*e_Y et Y₀*e_X). Une propriété importante est que la somme de deux variables aléatoires gaussiennes (centrées) indépendantes est une variable aléatoire gaussienne (centrée). Donc X₀*e_Y +Y₀*e_X est une v.a. gaussienne centrée.

ça marche,
merci pour ces reprécisions en effet.

Pour ce qui est du quotient, attention ! Le quotient de deux variables aléatoires gaussiennes indépendantes suit une loi de Cauchy dans le cas où les deux gaussiennes sont centrées.
Dans le cadre de la discussion de ce fil (théorie des erreurs), ce n'est bien sur pas le cas. Dans ce cadre, on est dans la situation (Y₀+e_Y)/(X₀+e_X) avec X₀, Y₀ des constantes positives et les erreurs e_X et e_Y gaussiennes centrées, très petites devant X₀ et Y₀. Alors, en négligeant les "infiniments petits d'ordre >1" on a
et on peut ensuite dérouler pour arriver au fait que Y/X = Y₀/X₀ + e_Y/X où e_Y/X  est gaussienne centrée d'écart-type σ_X/Y donné par
Même chose que pour le produit, en fait.

ah oui, alors je m'étais trompé il ya de nombreuses années sur maths forum.
J'avais pris les fréquences observées des numéros du loto.
Deux paquets , X était premiere partie des données, Y deuxième partie des données
et ensuite j'avais divisé au hasard les fréquences de X par celles de Y
J'avais donné à examiner à Pierre les 49 données, et il m'avait répondu que mes données ne suivaient pas la loi normale.
Je croyais avoir fait du Cauchy.

Bonjour,
Par définitions (pardon, par connaissance de la théorie des erreurs, issue de la théorie des probabilités), les imprécisions de mesures sont centrées sur 0. C'est une notion fondamentale.
On peut parler d'écart-type d'un appareil de mesure, d'une série de mesures mais pas d'une seule valeur. Par contre, si on fait une série de mesures d'une seule chose, on en calculera une moyenne arithmétique et cette valeur sera assortie d'un écart moyen quadratique, dit écart-type.
Dans les hypothèses d'une certaine "démonstration" X0 et Y0 sont déclarées "vraies valeurs" (on dit généralement valeurs vraies) Ces valeurs sont par définitions inconnues. On ne peut en aucun cas les mettre à droite du signe '='.

Dlzlogic a écrit:Ces valeurs sont par définitions inconnues. On ne peut en aucun cas les mettre à droite du signe '='.  

Bonjour,
Vous avez une philosophie bizarre : si quelque chose est inconnu, il n'existe pas selon vous. Et vous interdisez de faire du calcul littéral avec une quantité inconnue. Que d'interdits ! Vous êtes très négatif.
Je vous rappelle que dans votre simulation, pour produire un échantillon de X, vous avez fixé une valeur X₀=40 et vous lui avez ajouté une erreur e_X aléatoire. Vous vous autorisez donc ce que vous interdisez aux autres. Vous êtes plus raisonnable dans vos simulations que dans vos discours.

Les réactions de certains membres qui n'apportent rien sont très désagréables. Elles ferment la porte à tout échange.
En ce qui me concerne, de part mon pouvoir de modérateur, j'ai toujours le choix entre laisser l'importun dire des bêtises, sachant que toute intervention constructive sera critiquée systématiquement, ce qui entrainera une suspension, laquelle permettra aux membres normaux de pouvoir échanger paisiblement, ou bannir ce membre tout de suite, ce qui ramènera le calme plus rapidement.

Personnellement, je suis pour la pluralité des points de vue, donc pour que Hum puisse s'exprimer librement ici, en restant, bien sûr, dans les limites acceptables de la politesse, ce qui pour l'instant est le cas.

Et je suis sûr que Beagle est du même avis que moi.

Bonsoir,
Nous avons discuté avec Beagle de la propagation des incertitudes dans le cas d'un quotient. J'ai écrit que la formule sur l'écart-type du quotient, pour des erreurs accidentelles petites, est
Pour le calcul différentiel, on a  d(X/Y) =  dX/Y -  X*dY/Y² = X/Y * (dX/X - dY/Y). La formule sur l'incertitude absolue (erreurs maximales) qu'on en déduit est
Bien sûr on peut faire une simulation. Comme j'ai beaucoup plus l'habitude de travailler en python qu'en C, j'ai récupéré le code fourni par GBZM dans le fil sur Futura Sciences et j'ai fait les petites modifications nécessaires pour passer du produit au quotient. Ça donne ça :

Code:

import random as rd
import math

def testquotient(n,mx,stdx,my,stdy) :
    Sx=0 ; Sy=0 ; Sxsury=0
    Sx2=0 ; Sy2=0 ; Sx2sury2=0
    for _ in range(n) :
        x = rd.gauss(mx,stdx) ; x2 = x*x
        y = rd.gauss(my,stdy) ; y2 = y*y
        Sx += x ; Sy += y ; Sxsury += x/y
        Sx2 += x2 ; Sy2 += y2 ; Sx2sury2 += x2/y2
    Mx = Sx/n ; My = Sy/n ; Mxsury = Sxsury/n
    Stdx = math.sqrt((Sx2-Sx*Sx/n)/(n-1))
    Stdy = math.sqrt((Sy2-Sy*Sy/n)/(n-1))
    Stdxsury = math.sqrt((Sx2sury2-Sxsury*Sxsury/n)/(n-1))
    print("moyenne de x : Mx = {:.3f} ; écart-type de x : Stdx = {:.3f}"\
          .format(Mx,Stdx))
    print("moyenne de y : My = {:.3f} ; écart-type de y : Stdy = {:.3f}"\
          .format(My,Stdy))
    print("moyenne de x/y : Mxsury = {:.3f} ; écart-type de x/y : Std(x/y) = {:.4f}"\
          .format(Mxsury,Stdxsury))
    print("Mx/My*(Stdx/Mx + Stdy/My) = {:.4f}"\
          .format(Mx/My*(Stdx/Mx+Stdy/My)))
    print("Mx/My*sqrt(Stdx^2/Mx^2 + Stdy^2/My^2)) = {:.4f}".\
          format(Mx/My*math.sqrt(Stdx**2/Mx**2+Stdy**2/My**2)))

Je fais un essai sur un échantillon de 1000 quotients avec X de "vraie valeur" 40 + une erreur gaussienne centrée d'écart-type 0.05 et Y de "vraie valeur" 10 + une erreur gaussienne centrée d'écart-type 0.02 :

Code:

testquotient(1000,40,0.05,10,0.02)

Voici le résultat :
moyenne de x : Mx = 40.000 ; écart-type de x : Stdx = 0.052
moyenne de y : My = 10.000 ; écart-type de y : Stdy = 0.019
moyenne de x/y : Mxsury = 4.000 ; écart-type de x/y : Std(x/y) = 0.0094
Mx/My*(Stdx/Mx + Stdy/My) = 0.0129
Mx/My*sqrt(Stdx^2/Mx^2 + Stdy^2/My^2)) = 0.0093

C'est bien sûr la formule avec des termes quadratiques qui est vérifiée, comme pour le produit.

Dattier a écrit:Personnellement, je suis pour la pluralité des points de vue, donc pour que Hum puisse s'exprimer librement ici, en restant, bien sûr, dans les limites acceptables de la politesse, ce qui pour l'instant est le cas.

Et je suis sûr que Beagle est du même avis que moi.

oui, tout à fait.
Il appartient à Léon de conclure et décrocher à un moment sur on ne se mettra pas d'accord, afin de ne pas finir au clash comme toutes les dernières réapparition de Léon.

Ce fil de discussion va dans le sens de Pierre, sur l'importance de la loi normale.
Les raisons qui font que l'on retombe excessivement dessus.
Donc oui comme le disent Hartong et Pierre, dans le monde vivant, " la vraie vie " "le monde réel" de Pierre, le plus souvent on va tomber sur de la loi normale.
Mais il ne me semble pas que cela soit nié par le monde mathématique.
Celui que je cotoie par exemple les tests statistiques,
c'est tellement vrai que l'on divise les tests en paramétriques ou non paramétriques selon que l'on peut accepter la loi normale ou non des données.

La nuance que je ferai avec Pierre, c'est que cela ne vient pas d'une force mystérieuse comme la gravitation.
Je pense que l'enseignement de la loi binomiale permet de comprendre par l'arbre de proba, par son équivalent vertical de la planche de Galton,
ben on comprend très bien la dispersion rare des extrèmes et la concentration à la moyenne.

Bonjour,
Très nettement, Billy n'a rien compris.
Ce n'est d'ailleurs pas étonnant, considérant les réponses qu'il a obtenues.
La division par rac(3) n'a, pour moi, aucune justification.
La question de Gérard : "quelle loi" est particulièrement comique, puisque toutes les formules données sont basées sur le fait, parfaitement exact, que la loi mise en œuvre correspond au second théorème de Bernoulli, démontré pour une expérience aléatoire et utilisé dans le cadre de la théorie des erreurs.
Pour mémoire, la loi uniforme n'existe qu'en théorie et toute expérience aléatoire de même protocole (ie qui suit la loi uniforme) produit un résultat de répartition conforme à la répartition normale.
@ Beagle, La répartition normale ne résulte pas d'une "force mystérieuse" inventée par Gauss et ses copains, mais d'une constatation mainte fois vérifiée et dans tous les domaines, puisque c'est un théorème démontré.

Encore du dénigrement gratuit de votre part, Dlzlogic.
Je sui allé voir les dernières réponses. Je pense que Billy a compris pas mal de choses, et la dernière réponse de gg0 est parfaitement correcte.
Il est vrai que si on est dans le cadre de la théorie des erreurs, l'erreur accidentelle est considérée comme une variale aléatoire gaussienne centrée, avec de bonnes raisons expliquées par Paul Lévy.
En ce qui concerne la loi uniforme, vous faites une double erreur : la première est que vous vous trompez sur ce que veut dire "loi uniforme" (rien à voir avec "expérience aléatoire de même protocole"), la seconde est que les loi uniformes existent bel et bien : par exemple, dans le problème de Bertrand, quand on jette des fétus de paille et qu'on prend pour cette expérience la modélisation raisonnable de la distribution uniforme des droites support des cordes.

Hum a écrit:la seconde est que les loi uniformes existent bel et bien : par exemple, dans le problème de Bertrand, quand on jette des fétus de paille et qu'on prend pour cette expérience la modélisation raisonnable de la distribution uniforme des droites support des cordes.

Oui, tous les fétus de paille sont lancés suivant le même protocole = ventilateur ==> loi uniforme.
Mais si on mesure la longueur des cordes une fois tombées au sol, alors une obtiendra une répartition normale, et certainement pas une répartition uniforme.

Mais si on mesure la longueur des cordes une fois tombées au sol, alors une obtiendra une répartition normale

C'est complètement faux. Je peux l'expliquer et le démontrer, mais pas ce soir. Là, je dois aller préparer des spaghetti alle vongole. À plus tard.

Bonjour Dlzlogic,
Nous nous sommes régalés avec les spaghetti alle vongole.
Revenons à la répartition des longueurs de cordes dans le cas d'un tirage uniforme des droites supports des cordes. Les longueurs de ces cordes varient entre 0 et d où d est le diamètre du cercle. En notant x la longueur de la corde, la fonction de densité de la distribution des longueurs est  (1/d) * (x/(d²-x²)^1/2). Je ne donne pas la démonstration mathématique de cette formule, je pense d'après vos réactions à d'autres démonstrations que j'ai présentées que cela ne vous intéresse pas. Voici le graphe de cette fonction de densité pour d =2 (il y a une asymptote verticale pour x=d) :
Rien à voir avec une gaussienne, comme vous pouvez le constater !
Il vaut mieux faire des mathématiques sérieusement que de répéter des formules magiques qui n'ont aucun sens dans ce contexte.