Séries de quatre piles

La loi des grands nombres est une loi du monde réel. Elle est démontrée mathématiquement.
La loi normale est une loi du monde réel, démontrée mathématiquement.
Mon expérience personnelle n'a rien à voir là-dedans.
Si on enseigne les probabilités, autant bien le faire.
Concernant les outils informatique, c'est à dire les générateurs de nombres aléatoires, si on les considère tels qu'ils sortent, ce sont des labels et on ne peut pas faire des opérations arithmétique, mais on peut noter leur fréquence d'apparition.
Le fichier de température sur 54 ans s'en fiche des mathématique, de mon expérience etc., mail il confirme totalement la théorie des probabilités, loi des grands nombres et loi normale. C'est à dire la vérification de lois du monde réel.

Que dit que la loi des grand nombre dans le cas d'un tirage de pile ou face.

Si P_n le nombre de pile lors de n tirage, alors limite quand n tend vers plus l'infini de P_n/n=1/2.

A noter que si P_n=1/2*n + racine(n) alors lim P_n/n= 1/2, et ce malgré que lim P_n-F_n= lim 2*racine(n)=+ infini.

Donc le rattrapage n'a que peut de rapport avec la loi des grands nombres.

Je souhaite faire une petite mise au point.
Quand on discute de ce type de problème, manifestement on n'est pas d'accord, mais chacun apporte ses arguments. Quand notre ami Humx3 intervient, chacun le comprend comme parole de vérité, venue d'un spécialiste etc.
Or il ne connait pas, comme de nombreux matheux, la théorie des probabilités, laquelle est censée être enseignée.
A l'évidence, cette loi des grands nombres est bien compliquée à comprendre.
Les méthodes employées pas Humx3 ne sont pas intellectuellement honnêtes : la technique de prendre un bout de phrase hors contexte est trop souvent employée, la méthode qui consiste à dire "donc tu affirmes que [tel spécialiste] a tort" coupe court à toute discussion possible.
J'ai relu quelques messages, mon intervention est parfaitement justifiée. Je précise aussi que Humx3 s'est ré-inscrit sans se présenter, ce qui est rigoureusement interdit dans tous les forums.

Bonsoir,

Eh bien, il s'en est écrit des choses aujourd'hui !
Dlzlogic, je suis très surpris par votre revirement. Hier soir, nous avions pu avoir un échange apaisé, et vous disiez avoir compris l'analyse de l'expérience en termes de somme de variables de Bernoulli ainsi que le fait que la recherche d'une probabilité p de tirer pile compatible avec le nombre d'occurrences de FPPPPF constatés revient à la recherche des solutions d'une équation comprises entre 0 et 1. Le graphe de la fonction que j'ai fourni (sur l'espérance du nombre d'occurrences en fonction de p)  montre qu'il y a bien deux telles solutions  Tout ça, vous disiez l'avoir compris mais, patatras !, aujourd'hui tout s'écroule et vous déclarez que
"La loi des grands nombres dit que la moyenne tend vers la probabilité. Là il démontre que la moyenne tend vers deux probabilités, au choix."
Non, je le répète, je démontre que le nombre d'occurrences constaté est compatible avec deux probabilités p. Et, sur la base de ce nombre d'occurrences uniquement, on ne peut pas décider laquelle de ces deux probabilités est la bonne.
La loi des grands nombres est bien utilisée pour montrer que, sur un million de tirages,  la fréquence des occurrences de FPPPPF est très proche de la probabilité p⁴(1-p)² d'avoir FPPPPF en 6 tirages et c'est justement ça qui conduit à l'équation de degré 6 qui permet de déterminer les p compatibles avec la fréquence constatée pour les occurrences. Cette équation de degré 6 a deux solutions entre 0 et 1.
Permettez moi d'essayer d'expliquer de manière non mathématique le pourquoi de ces deux solutions, pourquoi la probabilité d'avoir FPPPPF part de 0, monte puis redescend à 0 quand la probabilité p de tirer pile croît de 0 à 1. Au début, on a très peu de chances de tirer pile, alors en tirer quatre de suite il ne faut pas y compter. Quand p augmente, il devient de plus en plus facile d'en avoir quatre de suite : ça monte ! Mais à partir d'un certain moment, ça devient tellement facile d'avoir des piles et tellement difficile d'avoir des faces que la suite de piles a extrêmemnt de mal à s'arrêter à 4, de plus en plus de mal : ça redescend ! Et bien sûr quand il devient impossible de tirer face, il est aussi impossible d'avoir une suite de piles qui s'arrête à quatre.

Dormez bien Dlzlogic, demain sera peut-être un meilleur jour.

Bonsoir,,
Il faut que vous sachiez une chose même si vous ne la comprenez pas. Je connait parfaitement ce genre de phénomène qui est représenté pas la théorie des probabilités. J'essaye de l'expliquer depuis de nombreuses années, mais tous mes interlocuteurs [ceux qui connaissent] me disent que je n'y arriverai pas. Il s'agit de gens qui sont professeurs, membres de l'IGN, confrères dans ma profession de géomètre, etc.
Il y a plusieurs critères qui me permettent de comprendre que ces gens ont raison : je n'y arriverai pas. Par exemple que vous écriviez que ce que je dis signifie que j'estime que Levallois, puis Lévy, puis Harthong ont tort.
Concernant la théorie des probabilités, il y a des choses fondamentales à comprendre, d'abord, le postulat de la moyenne. C'est une notion fort peu connue, mais fondamentale. Elle est citée dans le cours de l'école nationale supérieure du pétrole. Je n'ai pas les références, et il semble que ce cours n'est plus disponible sur le net.
J'ai non seulement toutes les démonstrations voulues et aussi toutes les vérifications possibles. Ces lois des probabilités sont des lois du monde réel observable, donc incontestables.
Les matheux ont établi une axiomatique qui enfoncent certaines portes ouvertes, de choses qui sont démontrer, cela ne semble gêner personne. Par ailleurs, j'ai souvent demandé des exemples concrets d'application de cette new-théorie, jamais eu de réponse.
Je suis ouvert à toutes les discussions, mais je n'accepte pas d'être traité d'ignorant ou d'incompétent en la matière.
Donc, à vous de choisir, soit on discute honnêtement questions-réponse, soit vous vous abstenez.

J'ai oublié de répondre à propos de mon "revirement". J'ai été clair en disant que ce nombre ~15654ne représentait rien de particulier. J'ai suivi votre calcul et je n'ai pas trouvé d'erreur. Ce n'est en aucun cas que j'étais d'accord. Votre argumentation est une contradiction manifeste avec la loi des grands nombre. Tant que je ne trouvais pas la faille, je ne pouvais rien dire. C'est exactement le même type d'astuce que la somme des nombres entiers qui vaut -1/12.
Tiens, c'est bizarre, vous ne m'avez pas demandé comment j'aurais calculé une valeur approchée de l'écart-type ! Mais suis-je bête, vous avez la connaissance totale en la matière, alors pourquoi poser des questions sans intérêt ?

Encore un point sur ce sujet : moi je peux répondre à toutes les questions, vous pas.

Bonjour Dlzlogic,
Comment sortir de ce pataquès ? Peut-être en inversant les rôles.

J'ai fait la simulation d'un million de tirages à pile ou face avec une pièce truquée qui a probabilité p (que je garde secrète) de tomber sur pile. J'ai compté et trouvé 6515 occurrences de séries de 4 piles consécutifs encadrés par des faces.
Je vous demande : quelle probabilité p ai-je utilisé pour ma simulation ?
Vous pouvez répondre avec plusieurs p possibles, et en donnant une marge d'erreur sur vos résultats.

Merci !

Bonjour Humx3,
Ces histoires ne m'intéressent pas.
C'est la théorie des probabilités qui m'intéresse.
Il y a plusieurs années un membre de Maths-Forum, Imod, ne voulait pas croire à l'application de la loi des grands nombres. Comme c'est un individu honnête, il a fait une simulation de ce qu'on peut appeler le "rattrapage". Le principe est très simple, deux joueurs A et B jouent à pile ou face. Le joueur A joue au hasard, le joueur B joue en appliquant la loi des grands nombres. Il est évident que c'est B qui gagne.
Naturellement cette simulation n'a pas plu à certains matheux, et à Nuage en particulier. Alors il a clamé, assez haut pour que certains l'entendent et me le rappellent quelques années plus tard que c'est le générateur qui n'est pas bon (c'était celui de Imod), et il a sorti son générateur GenRand. J'ai beaucoup lu sur les générateurs, si vous voulez on peut en parler.

Non, votre énigme ne m'intéresse pas. Imaginons, on vous commande un sondage. La population est bien délimitée et on cherche la proportion du groupe A par rapport au groupe B. Vous imaginez dire au demandeur, après une étude couteuse "ben, c'est p% ou q%".
Ce genre d'énigme ne m'intéresse pas. Un auteur a dit "Les probabilités, c'est beaucoup trop important pour le confier aux mathématiciens."

"Il y a plusieurs années un membre de Maths-Forum, Imod, ne voulait pas croire à l'application de la loi des grands nombres. Comme c'est un individu honnête, il a fait une simulation de ce qu'on peut appeler le "rattrapage". Le principe est très simple, deux joueurs A et B jouent à pile ou face. Le joueur A joue au hasard, le joueur B joue en appliquant la loi des grands nombres. Il est évident que c'est B qui gagne."

j'ai refait ici meme sur ton site cette expérience avec le retard des séries pile ou face,
et on gagne une fois sur deux à jouer le retard,
une fois sur deux on aurait gagné à jouer l'avance.
Ceci sur la base de différents générateurs , ceux des logiciels Mersenne Twister, et idem avec générateurs du web non Mersenne Twister.

Et cette expérience de gain au retard, tu n'as pas réussi à mener la moindre expérience depuis 20 ans pour le montrer ...

Dlzlogic a écrit:Encore un point sur ce sujet : moi je peux répondre à toutes les questions, vous pas.

Tout le monde peut constater que ce n'est pas tout à fait vrai. Je répète la question à laquelle vous ne voulez (pouvez ?) pas répondre :

J'ai fait la simulation d'un million de tirages à pile ou face avec une pièce truquée qui a probabilité p (que je garde secrète) de tomber sur pile. J'ai compté et trouvé 6515 occurrences de séries de 4 piles consécutifs encadrés par des faces.
Je vous demande : quelle probabilité p ai-je utilisé pour ma simulation ?
Vous pouvez répondre avec plusieurs p possibles, et en donnant une marge d'erreur sur vos résultats.

Quelques remarques :

1°) Un expérimentateur veut avoir des informations sur une certaine quantité. Il ne peut pas avoir accès directement à cette quantité mais à une deuxième quantité qui est liée à la première. Il fait une expérience pour mesurer cette deuxième quantité. Cela lui permet de dégager un petit nombre de possibilités (disons deux) pour la première quantité, mais sans pouvoir décider entre ces deux possibilités. C'est tout de même un progrès important, n'est-ce pas ?
Ici la première  quantité est la probabilité inconnue pour la pièce de retomber sur pile, la deuxième est le nombre d'occurrences constatées de FPPPPF en un million de tirages.

2°) Vous pourriez sans peine avoir une solution approchée à ma question en étudiant le graphique que je vous ai déjà fourni :

3°) Vous prétendez que mon argument est contraire à la loi des grands nombres. En quoi, s'il vous plait ?

P.S. Ce fil que j'ai initié a maintenant dépassé les 1000 vues. Dlzlogic, vous devriez m'être reconnaissant d'apporter une telle fréquentation à votre forum.
PPS. Il n'y a pas que Dlzlogic qui peut répondre à la question que j'ai posée et rappelée ci-dessus, bien entendu.

Oui, vous avez raison, depuis 20 ans je dis des bêtises.
Alors pourquoi on tente d'apprendre des notions de probabilités aux étudiants ?
A quoi ça sert ?
Est-ce vrai ?
Mais comme d'habitude je n'aurai pas de réponse.

Oui, qu'il y ait plus de 1000 vues, c'est tout de même très ennuyeux, pour la bonne raison qu'il y a beaucoup de monde qui sera probablement persuadé que les probabilités, c'est du bidon.

Au contraire, on peut voir dans ce fil que les probabilités, c'est quelque chose de sérieux et que grâce aux mathématiques, on peut dire des choses sensées dans ce domaine, par exemple répondre à la question que j'ai posée. C'est juste une petite énigme sans prétention, mais qui met en oeuvre des résultats de base de probabilités (dont la loi des grands nombres), notamment pour la discussion des marges d'erreur.
À ce propos, je vous aurais bien demandé comment vous faites pour évaluer ces marges d'erreurs sur le résultat, mais il ne faut pas mettre la charrue avant les boeufs : difficile de discuter de la marge d'erreur sur un résultat quand ne peut ou ne veut pas donner ce résultat, n'est-ce pas ?

Le problème des marges d'erreur, intervalle de confiance etc. est une conséquence et une application de la loi normale et pas de la loi des grands nombres. Laquelle "loi normale" ne fait pas partie de l'axiomatique de Kolmogorov.

Bonsoir,

Un petit commentaire sur les 1000 vues. Il faut pour avoir un bon indice de fréquentation du site (en lecture) : il faut diviser par le nombre de post, ainsi on est à 12.3 lectures par post.

Ce qui n'est pas beaucoup comparer par exemple aux 36 lectures par post du fil, quand on en a les moyens financier on prouve ce que l'on veut.

PS : j'interviens sur les sujets qui m'intéressent, et il peut arriver que cela n'intéresse que moi, et dans ce cas je fais avec...

Bonne soirée.

Merci Dattier, ça me rassure. Bien-sûr, j'avais fait le calcul, ce genre d'intervention de Humx3 fait partie des méthodes d'intimidation et de désinformation.
Je connais bien ce genre d'activité, c'est de cette façon là que lui et ses copains on réussi à me faire exclure de quasiment tous les forums.
Je rappelle une petite histoire, Gbzm ou l'un de ses clones a ouvert un fil disant, en substance : "Bonne nouvelle, la formation avec le CNAM n'aura pas lieu". C'est la méthode employée et je suis sincèrement désolé que certains membres n'en aient pas conscience.
Quand on veut discuter avec quelqu'un, son honnêteté intellectuelle est un préalable indispensable.

Laquelle "loi normale" ne fait pas partie de l'axiomatique de Kolmogorov.

Ce qui est parfaitement naturel, puisque le théorème central limite se démontre parfaitement dans le cadre de la formalisation de Kolmogorov. On ne va donc pas s'amuser à le mettre dans les axiomes !
Un petit ajout au graphe de tout à l'heure qui permet de voir où sont les probabilitiés compatibles avec les 6515 occurrences :


Vraiment, Dlzlogic, ne voyez-vous pas les deux possibilités pour la probabilité de tirer pile ?

Concernant la relation entre l'axiomatique de K. et la loi normale, je l'ai évoquée avec Sylviel, il m'a assuré qu'il allait me faire la démonstration nécessaire, naturellement, j'attends toujours.
Par ailleurs, le document ci-dessous
http://www.dlzlogic.com/aides/DocENtxt.pdf
écrit par un organisme hors de tout soupçon, ne semble pas confirmer vos affirmations.
Pour certains de vos collègues, la loi normale est l'une des lois de probabilités qu'un étudiant doit connaitre. Pour moi, c'est la loi fondamentale dans le domaine concerné, puisque c'est une loi du monde réel observable.

Restons dans le sujet de ce fil, si vous le voulez bien. Vos digressions incessantes donnent le tournis.
Vraiment, vous ne voyez pas les deux probabilités compatibles avec les 6515 occurrences de FPPPPF ??? Ne voyez vous pas que la droite horizontale bleue est à l'ordonnée 6515 ?

Je crois que j'ai été assez précis.
Ma première réponse a été "rien".
Je confirme que cette question ne m'intéresse pas.
Je suis tout disposé à échanger à propos des probabilités. Je me souviens de deux sujets évoquées assez souvent.
1- le problème de la caissière de cinéma. Il me semble que je vous ai montré que la loi normale était une loi du monde réel observable. Je ne suis pas sûr que vous ayez compris
2- à propos de la discussion sur la validité des générateurs de nombres aléatoires, vous avez réalisé des simulations parfaitement valables avec un dé à 1000 faces. Ce que vous ne semblez pas avoir compris, c'est que cette simulation, tout à fait incontestable, vérifié en totalité ce que j'expose depuis une vingtaine d'années. Je rappelle que parallèlement, il y a eu la demande d'un prof concernant la répartition normale et la réponse de Sylviel qui a indiqué la référence à un fichier de température, lui aussi, parfaitement incontestable, et que l'analyse de ce fichier vérifie parfaitement les lois des probabilités du monde observable.

J'ai bien compris votre démarche : la théorie des probabilités (pas celle de K.) n'est pas valable, on trouve des contre-exemples, on peut faire des exercices dont la réponse est du type que "la somme des nombres entiers vaut -1/12, avec confirmation et référence". Je ne joue pas avec ça.
Cela ne me semble pas digne d'un professeur émérite.

Bonjour,
Encore une fois restons dans le sujet de ce fil.

Comme le voit toute personne de bonne volonté, la droite bleue d'ordonnée 6515 coupe le graphe rouge de la fonction  p |----> 10⁶ * p⁴ * (1-p)² en deux points d'abscisses respectivement environ 0,35 et 0,9. Si on remplace cette résolution graphique de l'équation  
p⁴ * (1-p)² = 6515/10⁶ par une résolution sur machine, on trouve les deux solutions :

1000000 tirages avec probabilité p de tomber sur pile.
Nombre d'occurrences de FPPPPF : 6515
On en déduit les possibilités suivantes pour p :
p = 35.33% ± 0.45%
p = 90.05% ± 0.24%

Un petit mot sur les marges d'erreur. J'ai déjà expliqué comment je les calculais, je ne vais pas trop revenir dessus. Je signale juste que la loi du nombre d'occurrences qui est une somme de beaucoup de variables de Bernoulli (presque) indépendantes chacune avec une très petite chance de succès n'est pas très loin d'une loi de Poisson, donc a un écart type en gros égal à la racine carrée de son espérance. La loi des grands nombres assure que l'on peut sans grand danger remplacer la racine carrée de l'espérance du nombre d'occurrences par la racine carrée du nombre d'occurrences constaté.
Je veux revenir plutôt sur un point qui peut sembler intrigant : pourquoi est-ce que la marge d'erreur sur p est bien plus petite du côté 0,9 que du côté 0,35 ? Le raisonnement précédent donne une marge d'erreur sur l'espérance du nombre d'occurrences, c.-à-d. sur la hauteur de la ligne bleue. On comprend alors facilement que la marge d'erreur sur la hauteur de la ligne bleue induit une marge d'erreur sur l'abscisse des points d'intersection avec la courbe rouge qui est d'autant plus petite que la pente de la courbe rouge est grande en valeur absolue. Or on voit bien que la courbe rouge est nettement plus pentue du côté 0,9 que du côté 0,35.

Je peux maintenant lever le secret : j'ai fait ma simulation avec p = 0,9. On voit donc que la possibilité 90.05% ± 0.24% est parfaitement dans les clous. Les calculs probabilistes menés avec rigueur, ça marche !

Dlzlogic est très chagrin que la réponse consiste en la fourniture de deux possibilités. C'est la vie ! La possibilité p = 0,3533 ne peut pas être écartée sur la seule base du nombre d'occurrences constaté. En effet, une simulation d'un million de tirages avec cette probabilité 0,3533 de tirer pile donne par exemple 6457 occurrences de FPPPPF, quasiment la même chose que le 6515 obtenu avec la probabilité 0,9.

Comment faire pour éliminer la mauvaise possibilité ? Il faut nécessairement avoir une autre information, par exemple le nombre d'occurrences de séries de 5 piles encadrés par des faces. Je prends un exemple :
Je fais une série d'un million de tirages avec probabilité p = 0.45 de tomber sur pile. Je constate 12481 occurrences de FPPPPF et 5585 de FPPPPPF. Si je me base uniquement sur les séries de 4, j'en déduis :

1000000 tirages avec probabilité p de tomber sur pile.
Nombre d'occurrences de FPPPPF : 12481
On en déduit les possibilités suivantes pour p :
p = 45.12% ± 0.51%
p = 84.27% ± 0.34%

Deux possibilités pour p. Mais si je prends en compte l'information supplémentaire sur les séries de 5, je constate que 5585/12481 = 0,447... très proche de 0,45, ce qui me permet d'écarter la deuxième possibilité pour ne garder que la réponse  p = 45.12% ± 0.51%, encore une fois parfaitement dans les clous !

Excusez-moi, je crois vous avoir fatigué avec ce message long et assez dense (bien que sans grande difficulté). Mais je crois aussi avoir fait le tour maintenant de cette petite énigme. J'ai dit ce que j'avais à dire et je peux m'arrêter là. Je n'interviendrai plus sur ce fil qu'en cas de question clairement en rapport avec le sujet.

Bonne journée !

Mes calculs de ce matin donnaient pour intervalle de confiance à 95%
0.350 à 0,356
ou
0.899 à 0.902

Je dirai ce midi , les deux raisons au moins qui me font apprécier cet exo.

Exo soit dit en passant que savaient faire les mathématiciens avant Kolmogorof il me semble,
donc les critiques sur cet exo de Pierre me semblent excessives et liées à une non motivation à rentrer dans un exo proposé par GBZM
qui peut se comprendre également.

Bonjour Beagle,
Pour un intervalle de confiance à 95%, vous prenez plus ou moins 2 écarts-types tandis que dans mes calculs j'ai pris plus ou moins 3 écarts-types, histoire d'avoir ceinture et bretelles.
Vous êtes à 35,3% ± 0,3% alors que je suis à 35,3% ± 0,45% et à 90,05% ± 0,15% alors que j'ai 90,05% ± 0,24%. C'est vraiment tout à fait cohérent !

Nous sommes d'accord que pour avoir une meilleure confiance il faut écarter l'intervalle de confiance,
ou que en resserrant l'intervalle de confiance cela se fait en augmentant le risque de se tromper.

Deux chose comme ça qui viennent à l'esprit, mathématiques puis déjà évoqué statistiques et sciences.

Si on se fait avoir si facilement en pensant à solution unique versus plusieurs solutions,
c'est probablement l'habitude des phénomènes linéaires si cela monte tout le temps ben avant c'est bas après c'est haut, on ne revient pas à un niveau donné
(inverse si cela décroit tout le temps).
Je pense que les mathématiciens par la pratique , l'expérience se prémunissent contre cette tendance cognitive.

Toujours mathématiquement mais cela fait la base de la prochaine réflexion est le travail en équivalence ou non.
Le seulement si, le si et seulement si de ma jeunesse.
Lorsque l'on regarde la pièce équilibrée, on attend telle fréquence des 4F.
Mais ici on se fait avoir à considérer les deux comme équivalent.
La fréquence de 4F n'entraine pas un " alors pièce équilibrée".