A propos de diversions

Bonjour,

A propos des cordes de Bertrand.

Le seul tirage uniforme que l'on connaisse facilement c'est celui de points sur une portion de droite et bien servont nous de cela pour reconnaître un tirage qui se dit uniforme.

Ainsi on va dire que un tirage de corde est "dit uniforme" ou "uniformisant" si pour toute droite donnée, la trace de la corde (l'intersection de la droite et de la corde est un point) tirée  sur la droite correspond à un tirage uniforme.

Et il se trouve que seul le tirage fêtus de paille est dit uniforme, contrairement aux 2 autres.

PS : on peut étendre la définition de tirage uniformisant ou dit uniforme pour tout tirage de formes relativement compact...


Bonne  journée.

Bonjour Dattier,

Nous sommes bien d'accord que seul le tirage qui correspond au protocole "fétus de paille" assure une distribution uniforme des droites supports des cordes et donne l'uniformité selon la définition tarabiscotée que vous donnez.
Par contre, permettez moi de ne pas être d'accord que "Le seul tirage uniforme que l'on connaisse facilement c'est celui de points sur une portion de droite". On connaît facilement plein d'autres distributions uniformes par rapport à des mesures ayant des propriétés de symétrie pour des groupes agissant sur des espaces (mesure de comptage, mesure de Lebesgue, mesure sur l'espace des droites du plan etc.). Une distribution uniforme sur une partie mesurable de mesure finie non nulle d'un tel espace est une distribution qui a une densité constante par rapport à la mesure.

Ce qu'il y a de bien avec cette définition, c'est que tout tirage uniforme est dit uniforme.

Pour une trace, non vide, sur la droite (que l'on a ordonné), on prend le Sup de l'ensemble trace, pour le tirage sur la droite.

Bonjour,
J'ai souvent utilisé ce test de la corde de Bertrand pour une raison très simple.
Si on a les idées claire à propos de la théorie des probabilité, alors on sait très bien qu'il n'y a qu'une seule réponse possible. Il n'est pas évident de pouvoir déterminer laquelle, mais ce dont on est sûr, c'est qu'il n'y en a qu'une seule, et c'est jamais "ça dépend" ou "c'est comme on veut". Jacques Hartong a fait la démonstration, mais les matheux sont spécialistes pour l'utilisation de petites phrases citées hors de leur contexte.
On a déjà énormément discuté sur ce sujet, je souhaitais juste faire ce test pour des motifs que l'on imagine.

non, non Hartong peut ètre lu
il ne dit pas cela.
Il dit c'est indéterminé car manque d'hypothèse,
et si on fait une expérience précise, alors cette expérience rentre dans le cadre d'une des 3 façons possibles  de faire (voire d'autres).

Que l'expérience la plus naturelle soit déterminée par ceux qui veulent le penser ainsi
est possible (je m'y suis prété entre deux des solutions)
mais ce n'est pas sous couvert de Hartong.

Le dire comme Pierre est juste une incomprehension de lecture du texte de Hartong.

Bonsoir Beagle,
C'est marrant de lire à quel point tu es affirmatif, tu as des sources, où c'est juste ton intuition ?

J' ai les sources du livre d' Hartong.
J'en fais la meme lecture que l'immense majorité des gens qui l'ont lu.

Ta réponse est très intéressante.
La notion de preuve ne dépend pas de la lecture d'un cours, aussi précis et argumenté que celui de J. Hartong, mais de la façon dont on le comprend et qu'on l'interprète.
Il est vrai que dans son cours, on peut lire quelque-chose comme "on ne sait pas". Puis après des pages d'explications, de références à d'autres auteurs incontestés, on peut lire "donc on voit bien que c'est la solution". Suit la description d'une expérience, volontairement complètement débile, qui vérifie l'aspect aléatoire incontestable (ventilateur, absence d'aimants, tracé invisible), où la seule variable ne peut être que la hasard. Mais les matheux ne retiennent que "on ne peut pas savoir" et considèrent que cette "expérience" n'expose qu'une seule des solutions possibles.
J'ai trouvé et expliqué deux méthodes de démonstration, naturellement plus simple, mais abordable par un non scientifique.
Je tiens à préciser que cette histoire de la corde de Bertrand est utilisée dans le seul but de valider l'axiomatique de K. où la théorie fondamentale qui justifie l'étude des probabilités est soigneusement mise de côté.
C'est tout de même assez extraordinaire, JH utilise ce "paradoxe" pour expliquer une chose fondamentale et les matheux réussissent à le détourner dans l'autre sens. C'est assurément un exploit assez remarquable pour des gens dont justement la "qualité" primordiale est censée être la rigueur.
Par ailleurs tous les exemples, essais, vérifications de toute sorte vérifient cette unicité du hasard et la validité de la théorie.  

Concernant le chapitre de JH je t'assure que mathématiquement il est parfaitement incontestable : le hasard est unique et l'énoncé de Bertrand a une solution unique, rigoureuse, reproductible, telle que l'explique Jacques Harthong.

Eh bien non, Dlzlogic, vous avez une mauvaise lecture de ce chapitre de Jacques Harthong.
Et je remarque que vous faites toujours une fixation sur Kolmogorov.

Dlzlogic a écrit:J'ai trouvé et expliqué deux méthodes de démonstration, naturellement plus simple

Vous voulez parler de votre histoire de cerceau ? C'est effectivement une démonstration astucieuse, mais elle se place bien dans le cadre de la distribution uniforme des droites support des cordes.
Ce sur quoi Jacques Harthong insiste, c'est sur l'équiprobabilité, ou sur l'uniformité d'une distribution. Et ce qu'il écrit, c'est que cette uniformité peut se manifester au niveau de la distribution des droites support des cordes, ou de la distribution des extrémités des cordes, ou de la distribution des milieux des cordes. Quand on fixe un protocole d'expérience comme les fétus de paille ou vos cerceaux, alors c'est l'uniformité de la distribution des droites support des cordes. Si on choisit le protocole des deux billes dans la roulette, c'est l'uniformité de la distribution des extrémités. C'est simplement ça, il n'y a pas de quoi en faire tout un plat.

Oui, Humx3, vous répétez toujours la même chose.
Ma comparaison avec le cerceau n'est qu'une explication, pas une démonstration.
Ce papier est plus rigoureux Peut-être plus difficile à comprendre.
http://www.dlzlogic.com/aides/Bertrand_corde.pdf
Le problème important, et je constate que vous preniez bien soin de l'éluder, c'est l'unicité du hasard, c'est à dire de la notion d'aléatoire. C'est une notion fondamentale, sans laquelle l'étude des probabilités et de toutes ses applications, par exemple la statistique, n'aurait aucune justification.
J'ai déjà posé la question suivante : prenons n'importe quelle expérience réelle, statistique, mesure, contrôle ou je ne sais quoi, à votre choix, on l'examine on la décortique et on justifie chaque étape. Je n'ai jamais eu de réponse. En aurez-vous une ?
Je précise que ma question est sérieuse. Gbzm s'est emmêlé les pinceaux sans le savoir avec ses simulations tout à fait remarquables avec ses dés à 1000 faces, arriverez-vous à tromper les gens aussi bien que lui ?

Juste un mot pour compléter.
J'ai proposé une expérience très simple pour vérifier cette réalité de notion de hasard, vous avez choisi de ne pas la faire, c'est votre choix, mais tant que que vous ne l'aurez pas faite, cela vous retire toute justification de me contredire.

Bon dimanche Dlzlogic,

Vous parlez votre expérience de l'élève de 5e ? Celle dont vous présupposez les résultats sur la base de vos dogmes personnels , sans l'avoir jamais faite et sans avoir de référence là-dessus ?
Allons, soyons sérieux ! Comme manifestation du "hasard pur", cette expérience présente pas mal de biais : le tracé de la corde que fera l'élève dépend fortement de la représentation mentale qu'il a d'une corde d'un cercle et des images de corde qu'il aura pu voir.. La terminologie arc de cercle et corde induit déjà une telle représentation. Il ne s'agit pas du tout ici de faire estimer à vue par plusieurs élèves la taille d'un objet., où on peut penser que les erreurs d'estimation relèvent des résultats classiques de la théorie des erreurs accidentelles de mesure.
Je le répète une nouvelle fois, si vous avez fait ou si vous avez une référence sur une telle expérimentation, je suis curieux d'en voir les résultats.

Bonjour

Je n'ai pas 50 élèves de 5 e sous la main.

Par contre on peut s'en sortir avec les moyens que chacun d'entre nous a.

En tapant sur ton moteur de recherche préféré : image de corde d'un cercle niveau 5e collège.

Ps : on remarque clairement un biais.


Bonne journée.

D'accord Dattier, donc vous réalisez l'expérience (en précisant votre protocole) et vous nous dites les résultats que vous trouvez.
Vous avez ajouté l'idée des images de corde trouvées sur internet pendant que j'écrivais mon message. C'est une bonne idée.

Ceux qui veulent plus d'image, peuvent en proposer d'autres.

Sinon à partir de ces 2 images on a une corde typique (espérence de notre tirage) : le milieu de la corde est à environs 2/3 de rayon du centre du cercle.

D'autres images :


On constate assez bien le biais que j'avais signalé plus haut. En particulier, on dessine les cordes de façon à ce qu'elles ne ressemblent pas à des diamètres.

Bonjour Humx3,
Allez, faites semblant de ne pas avoir compris que l'histoire des 50 élèves d'une classe de 5è, ce n'était qu'une image. Votre mauvaise foi dépasse tout ce qu'on peut imaginer de la part d'un adulte.
L'exercice dont je parle est celui qui consiste à grouper des issues successives de 7 pile ou face en nombre binaires de 0 à 127 en décimal et d'observer le résultat.
C'est au moins la troisième fois que je vous le rappelle.

Bonjour Dlzlogic,

Vous vous rétractez donc de votre affirmation sur les 50 élèves d'une classe de 5e ? Vous avez raison, ce n'était absolument pas tenable.

Nous avons donc droit à une nouvelle diversion, cette histoire de groupements de 7 tirages successifs à pile ou face. Est-ce bien différent des tirages de groupes de trois chiffres ? Il s'agit toujours d'une suite de N tirages avec remise dans une urne contenant p boules (p=128 dans le 1er cas, 1000 dans le second). Le score S_i,N de la boule n°i est une variable aléatoire de loi la loi binomiale de paramètres N et p.
La loi forte des grands nombres (établie par Borel dans le cas de suites de variables de Bernoulli comme ici) nous dit que, quand N tend vers l'infini, les fréquences S_i,N/N de sortie des p boules tendent presque sûrement vers 1/p.
Le théorème central limite (théorème de de Moivre - Laplace pour les suites de variables de Bernoulli) nous dit aussi que la loi de (S_i,N - N*p)/(N * p * (1-p))^1/2 converge quand N tend vers l'infini vers la loi normale standard.
On peut aussi regarder la distribution des p valeurs de S_i,N pour i=1,...,p. Les variables aléatoires S_i,N ne sont pas indépendantes car leur somme est la constante N. Mais si p est grand (127 ou 1000 c'est déjà pas mal), elles sont "presque indépendantes" et on peut donc constater, quand N est grand aussi, une distribution à peu près gaussienne de moyenne p * N et d'écart-type (N * p * (1-p))^1/2 pour les valeurs des S_N,i, i=1,...,p.
Tout ça est tout à fait standard, même et surtout avec l'axiomatique de Kolmogorov. Alors, quel est le but de votre "exercice" ? Faire un code pour une simulation qui valide ces résultats bien connus ?

Ben oui, faire la simulation et expliquer par quel miracle on arrive à ce résultat.
En fait vous faites parie de cette nouvelle(1) catégorie de gens qui appliquent des résultats sans comprendre la raison.

(1) autrefois on avait beaucoup plus de rigueur. Vous parlez du tirage avec un dé à 1000 faces. Beagle est persuadé que si on continue on arrivera à une répartition uniforme. Et d'ailleurs, vous, qu'en pensez-vous ? Son argument "incontestable" : on fait un tirage uniforme, on obtiendra une répartition uniforme. Déjà qu'il a du mal à comprendre la loi des grands nombres et une application simple : pile est en retard, alors a-t-on intérêt à jouer pile ?

Il n'y a aucun miracle dans ces résultats : ce sont des théorèmes bien établis, et j'en connais la démonstration.
Ce qu'il y a d'uniforme, c'est que les fréquences de sortie des p boules tendent toutes vers 1/p (car la loi de tirage des p boules est uniforme).

une application simple : pile est en retard, alors a-t-on intérêt à jouer pile ?

La réponse est simple : quel que soit le retard de pile, on a qu'une chance sur deux de gagner en misant sur pile. Une nouvelle fois, je vous rappelle ce fait simple : FFFFFFFFFF a autant de chances de sortir que FFFFFFFFFP. Et, s'il vous plait, ne venez pas prétendre que c'est contraire à la loi des grands nombres. Rappelez vous qu'un argument important dans le texte de Levallois est l'équiprobabilité des 2¹⁰ suites possibles de P et F.

Bon, vous ne voulez pas essayer de comprendre, par exemple en posant des questions sur ce que vous ne comprenez pas, sur la signification de "tendre vers" ou "converger", vous n'essayez pas de répondre aux deux exercices de la fin de mon papier, mais ça ne vous empêche pas de dire haut et fort "Moi, je sais".

Souhaitez-vous que je vous explique la convergence presque sûre dans la loi forte des grands nombres ? Ou la convergence en loi dans le théorème central limite ?

Il y a le premier théorème de Bernoulli connu sous le nom de "Loi des grand nombres". Cette loi implique que si, au jeu de pile ou face, Pile est en retard alors Pile a plus de chance de sortir.
Tant que vous n'aurez pas compris ça, ce sera inutile de parler de probabilités. C'est pour le même type de raison que pour la corde de Bertrand, votre réponse est "C'est comme on veut" etc.
Pour preuve, vous n'avez pas réagi à mon papier sur la corde de Bertrand
http://www.dlzlogic.com/aides/Bertrand_corde.pdf

Cette loi implique que si, au jeu de pile ou face, Pile est en retard alors Pile a plus de chance de sortir.

Vous répétez tout le temps cette contre-vérité ; c'est lassant, je vous ai déjà expliqué je ne sais combien de fois que vous contredisez ainsi l'équiprobabilité des suites de P et F qui est une composante essentielle dans la démonstration du "théorème de Bernoulli" que vous pouvez lire p.143 dans le texte de Levallois.
Une simple question : comment quantifiriez-vous ce "plus" ? Vous comprenez bien que si vous êtes incapable de quantifier ce "rattrapage", ce n'est pas de la science, juste une croyance, une croyance erronée en l'occurrence.

vous n'avez pas réagi à mon papier sur la corde de Bertrand
http://www.dlzlogic.com/aides/Bertrand_corde.pdf

C'est faux. J'ai bien écrit (vérifiez) que c'était une idée astucieuse de fixer la droite et de tirer au hasard un cercle de rayon donné coupant cette droite. Et j'ai aussi écrit que le tirage uniforme de ce cercle (on a une distribution uniforme de la distance du centre de ce cercle à la droite) revient à faire un tirage uniforme de la droite support de la corde ; on est donc dans le même niveau d'intervention du "hasard pur" que pour le protocole des fétus de paille.

Dlzlogic a écrit:Bonsoir Beagle,
C'est marrant de lire à quel point tu es affirmatif, tu as des sources, où c'est juste ton intuition ?

C'est marrant de te lire écrire cela.

Il y a eu de très nombreuses discussions sur le sujet, te montrant des phrases très précises du livre d'Harthong,
qui justifie qu'il dit exactement la même chose que tous les autres bouquins qui parlent de ce paradoxe,
exactement la même chose que tous les mathématiciens,
exactement la même chose que tous les intervenants (excepté Dattier) avec qui tu as échangé dessus...

Et tu te contentes de dire "vous sortez les phrases du contexte, c'est MOI qui est ai raison et c'est tout".

A chaque fois.

Tu n'as qu'a faire une recherche sur ce forum pour le vérifier.