Pile ou face une réalité dans les simulations

Si vous appelez "rattraper son retard" le fait que la fréquence des piles converge presque surement vers 50%, tout le monde est d'accord et c'est la loi forte des grands nombres démontrée dans l'axiomatique de Kolmogorov.
Si vous appelez "rattraper son retard" votre affirmation que "si pile est en retard au bout de 100 lancers, alors il a plus de chances de sortir que face au 101^e", alors c'est une aberration complète qui, je le répète (Dattier va m'accuser de radoter), contredit l'équiprobabilité des suites de tirages à pile ou face utilisée par tout le monde, et en particulier par J-J. Levallois dans son texte.

Ecrit en même que HumHumHum. On dit peu ou prou la même chose.

La loi des grand nombres dit que la moyenne tend vers la probabilités.

Non (pour la 200eme fois au moins)

La loi des grands nombre dit que la moyenne empirique tends vers l'espérance.

Si on regarde la variable qui compte 1 si on a pile, alors la LGN dit que la fréquence observée (moyenne empirique = nombre de Pile / nombre total)
tends vers la probabilité d'avoir pile (espérance de la variable E(X) = 1* P(X=Pile)+0*P(X=Face).

Après 20 ans de lectures assidues on aurait imaginé que tu aurais fini par comprendre cela...

La probabilité d'un grand nombre de tirages est 50%.

Ce la n'a aucun sens. On parle de probabilité d'un évènement.

Si à un instant donné, cette moyenne des pile est inférieure à 50%, alors, selon le théorème des grand nombre, celle-ci doit tendre vers 50%, ce qui en langage courant se traduira par "rattraper son retard".
Je pense qu'un enfant comprndrait cela.

Tous le problème est ta définition de "rattraper son retard", ton "langage courant" laisse la chose complètement floue.

Si on appelle M_N la fréquence observée de pile sur N tirage, on est tous d'accord pour dire que ça tendra vers 50%.
Par contre cela ne dit absolument pas que la différence entre le nombre de pile (P_N) et le nombre de face (F_N) va tendre vers 0.

Si au bout de 100 tirage j'observe que M_100 = 0.4, (donc que les piles sont significativement en retard) alors M_N tendra quand même vers 50%.
J'ai donc P_100 - F_100 = -20. Et en moyenne, ce retard (nombre de pile - nombre de face) restera le même. Plus précisément :
E[P_N-F_N |  P_100 - F_100 = -20 ] = -20.
Et ceci n'est absolument pas en contradiction avec la loi des grands nombre, car ce "retard" observé à N=100, va être divisé par le nombre de tirage
grandissant.

De même cela n'implique absolument pas que, s'il y a un retard de Piles au bout de 100 tirages il y a plus de chance d'observer Pile que Face au 101ème.
Pour faire ça il faut abandonner l'idée d'être indépendant. C'est ce à quoi Dattier s'amuse ici.

@ Unknown,
Je suppose que tu as suivi les simulation de Gbzm avec son dé à 1000 faces. Comment peux-tu expliquer les résultats ?
Il est clair que si Humx3 veut répondre, il peut aussi le faire.

Bonsoir,

HumHumHum a écrit:Le jeu en vaut-il la chandelle ? Il me semble clair que non, pour les raisons que j'ai données dans mon dernier message.
Vouloir à tout prix aller dans le sens des contre-vérités de Dlzlogic sur le rattrapage, en contredisant au passage le traitement des suites de pile ou face dans le texte de Levallois et en violant l'équiprobabilité sur laquelle Harthong insiste tant, n'est pas une raison valable.

Le monde intellectuel dans lequel tu vis est reposant et stable...

Pour moi : "tout est possible" : vraiment, ce qui fait de moi un illogique, la question pour moi, est comment perdre la boule des mains sans la perdre des yeux...

Tout ce que j'ai dit sur ce forum, n'a d'intêrets que pour moi (mettre mes idées aux claires), à moins que les illogiques deviennent majoritaires...


Bonne soirée.

Bonsoir Dattier,
Je suis comme toi, je suis très étonné des réactions de ces matheux chargés de formation d'étudiants.
Prenons le problème de pile ou face. Ce n'est qu'un support intellectuel utilisé par Bernoulli et ses copains. En aucun cas, ni l'un ni l'autre ne m'a demandé ce qui me faisait dire cela, ils se sont contentés de dire "c'est pas vrai". Ce qui est vrai est que la différence est faible et donc non utilisable et difficile à simuler. Alors, ces grands savants profitent de cela et ne manquent pas l'occasion pour me ridiculiser. J'imagine que cela renforce leur égo.

L'expérience du dé à 1000 faces est particulièrement intéressant, sur trois points
1- Elle vérifie, mais sans démonstration, la conjecture que les décimales de nombres transcendants comme pi, e ou rac(2), ainsi que les nombres fournis par rand() satisfont à la loi normale. Je sais que ça n'intéresse par grand-monde, mais c'est tout de même bon de le signaler.
2- Elle vérifie la validité de la loi des grands nombres. Celle-ci est connue, mais pas vraiment comprise, cf le rattrapage
3- Elle vérifie que la loi normale qui est le second théorème de Bernoulli est une réalité du monde observable.

Ce sont les deux derniers points que j'explique sous toutes les formes depuis 20 ans. Alors, ces braves matheux, ont-ils deux sous de crédibilité ? certainement pas.

Ces matheux chargés de formation d'étudiants...

Il y a peut-être une bonne raison à ça, non ?  
Faut-il encore avoir deux sous de jugeote pour comprendre cette évidence.

Concernant le rattrapage,
Je vous invite à lire cette page qui aborde l'aspect physique du pile ou face, qui montre qu'on ne peut pas attendre un bénéfice lorsqu'on parie sur le coté en retard, sinon il y aurait tout simplement une singularité physique dans notre nature, cela devrait vous parler :
https://dlz9.forumactif.com/t2122-pari-sur-le-pile-ou-face

La conception de Dattier est de jouer avec un sac pré-rempli d'un nombre fini de billes en deux couleurs, et ensuite parier sur la couleur dominante.
C'est une stratégie gagnante (tout le monde, même un enfant, en est convaincu évidemment), facile à vérifier via simulation.
Son discours, ses formules mathématiques et son algorithme cachent un peu trop, à mon goût, cette simple réalité. Mais il a ses raisons personnelles, je le comprends.

Dlzlogic a écrit:Ce qui est vrai est que la différence est faible et donc non utilisable et difficile à simuler.  

Peut-être pouvez-vous (re)commencer à nous expliquer votre stratégie ? peut-être a-t-elle évolué ?

Bonjour,

Quelques corrections.

Dlzlogic a écrit:L'expérience du dé à 1000 faces est particulièrement intéressant, sur trois points
1- Elle vérifie, mais sans démonstration, la conjecture que les décimales de nombres transcendants comme pi, e ou rac(2), ainsi que les nombres fournis par rand() satisfont à la loi normale. Je sais que ça n'intéresse par grand-monde, mais c'est tout de même bon de le signaler.

"Les décimales satisfont à la loi normale", ça ne fait aucun sens. Il y a ici une confusion de Dlzlogic avec la notion de "nombre normal" introduite par Borel. Un nombre est dit normal en base 10 quand, pour n'importe quelle suite de chiffres de longueur n, la fréquence d'apparition de cette suite dans le développement décimal du nombre converge vers 1/10ⁿ, autrement dit toutes les suites de longueur n ont même fréquence d'apparition limite. Un nombre réel est absolument normal quand il est normal dans toute base. Borel a démontré que presque tout réel est normal (la mesure de l'ensemble des non-normaux est nulle), mais on ne sait effectivement toujours pas démontrer la normalité de nombres comme e, π ou √2 (qui n'est pas transcendant).

2- Elle vérifie la validité de la loi des grands nombres. Celle-ci est connue, mais pas vraiment comprise, cf le rattrapage

La façon dont il faut comprendre "rattrapage" pour que cette affirmation soit correcte a déjà été expluée maintes fois, en particulier ici : https://dlz9.forumactif.com/t2121p50-pile-ou-face-une-realite-dans-les-simulations#25142

3- Elle vérifie que la loi normale qui est le second théorème de Bernoulli est une réalité du monde observable.

La loi normale n'est toujours pas un théorème, mais le théorème central limite, plus précisément son extension aux chaînes de Markov, dit que dans une suite de chiffres tirés au hasard (chaque chiffre tiré uniformément dans {0,...,9}, de manière indépendante), le nombre d'occurrences en n tirages d'une séquence donnée, convenablement normalisé, converge en loi vers la loi normale standard.

Pourquoi est-ce que je parle de chaîne de Markov ? Parce que c'est le bon cadre pour étudier les occurrences d'une séquence donnée. Si la séquence des 3 derniers chiffres en n tirages est c_n-2 c_n-1 c_n, la séquence suivante sera c_n-1 c_n 0 ou ... ou c_n-1 c_n 9, chacune avec probabilité 1/10. On voit donc que cette situation n'est pas celle de tirages successifs d'un dé à 1000 faces représentées par les séquences de 3 chiffres.

Bonjour Humx3,
Merci pour ces corrections.
Pour la 2è : oui, on l'a dit maintes fois "c'est pas vrai". Parfait n'en parlons plus.
Pour la troisième, c'est plus compliqué pour plusieurs raisons :
1- pages 144, 145 et 146 de son cours inspiré de celui de Lévy, Levallois évoque le second théorème de Bernoulli.
2- puis il en fait la démonstration
3- puis il précise "cette probabilité est une loi à un seul paramètre h c'est la loi connue sous le nom de loi normale".
4- puis il y a le TCL dont l'origine est très floue. Il y a ce fameux terme "somme" qui peut être compris de différentes manières, "ensemble", somme arithmétique, combinaison. On en a souvent parlé.

Donc, ma question : quelles sont les caractéristiques d'une affirmation pour qu'elle soit qualifiée de théorème et quelles sont ces caractéristiques qui manquent pour pouvoir dire que la loi normale est un théorème?
Par ailleurs on sait bien que les lois de probabilités indépendantes ne s'additionnent pas mais se combinent, donc, ce terme de somme utilisé dans le TCL a beaucoup plus le sens de "ensemble". Mais ceci est un détail.

Petit rappel,
Vous avez dit à l'occasion de je ne sais plus quoi que le tirage à pile ou face avait une répartitions normale. C'est tout à fait exact mais comme ce sujet est tout à fait au centre de nos préoccupations, il me parait souhaitable de le vérifie par une simulation en utilisant un générateur quelconque.

Dlzlogic a écrit:quelles sont les caractéristiques d'une affirmation pour qu'elle soit qualifiée de théorème et quelles sont ces caractéristiques qui manquent pour pouvoir dire que la loi normale est un théorème?

Un théorème est une assertion démontrée. La loi normale n'est pas une assertion, c'est une loi de probabilité, au même titre que la loi exponentielle, la loi binomiale, la loi géométrique, la loi de Cauchy etc.. La loi de Cauchy, la loi exponentielle, la loi binomiale ne sont pas des théorèmes, ce sont des lois de probabilités. Ce qui vous induit peut-être en erreur, c'est que la loi des grands nombres, elle, est un théorème et pas une loi de probabilité.
Depuis le temps qu'on vous l'explique, vous auriez tout de même pu vous sortir de cette erreur !

Exemple d'assertion démontrée : Soit (X_n) une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées d'espérance μ finie et d'écart-type σ fini non nul. Alors la variable aléatoire
(moyenne centrée réduite des X_n) converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale standard.
En d'autres termes, pour tout réel x, P(Z_n <= x) converge vers la valeur en x de la fonction de répartition de la loi normale standard (celle que l'on lit dans la table de la loi normale).
Cette assertion démontrée s'appelle Théorème Central Limite

Par ailleurs on sait bien que les lois de probabilités indépendantes ne s'additionnent pas mais se combinent, donc, ce terme de somme utilisé dans le TCL a beaucoup plus le sens de "ensemble".

Non, le terme "somme" qui figure dans l'énoncé ci-dessus a bien le sens d'une somme arithmétique de variables aléatoires. Il n'y a aucun flou, aucune ambiguïté là-dessus.
La phrase "les lois de probabilités indépendantes ne s'additionnent pas mais se combinent" est vraiment trop approximative, au point de ne rien vouloir dire. Ce qui est vrai : si X₁ et X₂ sont des variables aléatoires indépendantes d'écarts types σ₁ et σ₂ respectivement, alors l'écart-type de leur somme X₁ + X₂ est √(σ₁² + σ₂²).

Vous avez dit à l'occasion de je ne sais plus quoi que le tirage à pile ou face avait une répartitions normale.

Non, sûrement pas.
Revenez avec une citation précise de ce que j'ai écrit, sans la déformer, et je la justifierai

D'accord. Alors je fais l'assertion suivante "toute expérience aléatoire du type mesure directe, observation, comptage, les différentes valeurs étant indépendantes, a une répartition normale des écarts à la moyenne".
Cette assertion a été démontrée et vous dites que ce n'est pas un théorème ? Surprenant !
Je sais bien Olivier Garet a écrit son théorème 3 qui dit le contraire, mais il ne m'a pas donné d'exemple, Le pourriez-vous ?
Par contre j'ai donné des quantités de vérifications de mon assertion. Alors soyons un peu sérieux !

Vous avez dit à l'occasion de je ne sais plus quoi que le tirage à pile ou face avait une répartitions normale.

Non, sûrement pas.
Revenez avec une citation précise de ce que j'ai écrit, sans la déformer, et je la justifierai

Oh si, et vous avez eu raison, mais bien-sûr je ne chercherai pas le message concerné. C'est d'ailleurs une conclusion immédiate du TCL Il ne faut pas en avoir honte. Je suis bien placé pour savoir que c'est très mal vu dans certains milieux.

Tiens, une petite anecdote. Il y a un bout de temps, un membre, diplômé d'une école que je connais, a posé une question précise. Il se trouve que j'ai eu au téléphone un autre membre qui avait réagi à la question. Bref, nous avons échangé sans témoin, puisque nous étions tous les deux hérétiques, mais lui, plus prudent que moi, gardait ses connaissances pour lui. Pour des raisons de sécurité, je ne donnerai pas plus de détail.

Votre dernier message est vraiment trop ridicule.
Passons à l'avant-dernier.

Vous êtes vraiment désespérant. Il ne me semble pas que j'écrive en chinois. Vous faîtes semblant de ne pas comprendre, ou vous ne comprenez vraiment rien ?

Alors je fais l'assertion suivante "toute expérience aléatoire du type mesure directe, observation, comptage, les différentes valeurs étant indépendantes, a une répartition normale des écarts à la moyenne".
Cette assertion a été démontrée et vous dites que ce n'est pas un théorème ?

Soyons plus précis : les mesures directes d'une même quantité, faites avec le même protocole, ont une répartition normale centrée sur la valeur vraie. Je n'ai pas de problème avec cette assertion. Sa version mathématisée est un théorème prouvé par exemple dans les articles de Lévy sur la théorie des erreurs. Cette assertion parle de la loi normale, mais ce n'est pas la loi normale.
C'est comme si vous affirmiez que le triangle rectangle est un théorème parce que le théorème de Pythagore parle de triangle rectangle.  Le triangle rectangle n'est pas une assertion. Il serait donc stupide de dire que c'est un théorème.  La loi normale n'est pas une assertion. Pourtant vous n'arrêtez pas de répéter que c'est un théorème.

Bonjour,

HumHumHum a écrit:Soyons plus précis : les mesures directes d'une même quantité, faites avec le même protocole, ont une répartition normale centrée sur la valeur vraie. Je n'ai pas de problème avec cette assertion. Sa version mathématisée est un théorème prouvé par exemple dans les articles de Lévy sur la théorie des erreurs. Cette assertion parle de la loi normale, mais ce n'est pas la loi normale.
C'est comme si vous affirmiez que le triangle rectangle est un théorème parce que le théorème de Pythagore parle de triangle rectangle.  Le triangle rectangle n'est pas une assertion. Il serait donc stupide de dire que c'est un théorème.  La loi normale n'est pas une assertion. Pourtant vous n'arrêtez pas de répéter que c'est un théorème.

Mais quand même, c'est qui le matheux, toi ou Dlzlogic.

Tu ne devrais pas avoir peur de savoir que Dlzlogic désigne par loi normale, à la fois un théorème ou une distribution, l'un ou l'autre selon le contexte.

Normalement un matheux n'a pas peur, que quelqu'un appelle le théoréme de Pyhtagore, le triangle rectangle, dans la mesure où tu le sais, cela ne devrait te poser aucun problème, je ne sais plus quel matheux (Hilbert peut être ?) avait dit, on peut remplacer dans la théorie d'Euclide, les mots points par assiettes, droites par tables,..., tant que l'on conserve la relation entre les termes, cela ne change rien à la théorie.

Pourtant tu le sais, Dlzlogic a un vocabulaire qui lui es propre et trés diffèrent de celui des matheux...

C'est bien Dattier, vous avez fait votre B.A. de la journée.
Petite question : Dlzlogic n'est-il pas censé être un être doué de compréhension ? Pourquoi alors comprend-il de travers, systématiquement et avec obstination, ce qu'on lui explique ? Pourquoi écrit-il, quand je lui explique que la loi normale n'est pas une assertion, donc a fortiori pas un théorème, que je nie que les erreurs accidentelles ont une répartition normale ?

HumHumHum a écrit:
Petite question : Dlzlogic n'est-il pas censé être un être doué de compréhension ? Pourquoi alors comprend-il de travers, systématiquement et avec obstination, ce qu'on lui explique ? Pourquoi écrit-il, quand je lui explique que la loi normale n'est pas une assertion, donc a fortiori pas un théorème, que je nie que les erreurs accidentelles ont une répartition normale ?

Ecoute qui veut comprendre l'autre, visiblement c'est toi qui veut comprendre Dlzlogic et non l'inverse, non ?

Donc commence par adopter son vocabulaire, pour discuter avec lui, et tu verras que finalement vous êtes d'accord, sauf si tu te complais dans ce dialogue de sourds.

D'un côté je fais des affirmations positives vérifiées par des statistiques réelles, vous Humx3, faites des affirmations négatives, argumentées par rien du tout, naturellement.
Que vous ne compreniez pas des expressions comme "écart à la moyenne" ou des trucs comme ça, pas de souci, mais au moins apportez un semblant de preuves à vos affirmations systématiquement négatives.

@ Humx3
Habituellement en mathématique on peut prouver ses théorèmes ou au moins donner un exemple suffisamment crédible.
Il semble qui vous êtes un disciple de Olivier Garet, donc à défaut d'apporter une démonstration valable de son théorème 3 dont il a été question dans son livre, pouvez-vous au moins donner un exemple reproductible. Il me semble que c'est la moindre des choses pour un théorème en mathématique.
Il se trouve que sur ce point, je produis une référence précise.

J'ai bien aimé votre affirmation que vous m'avez expliqué que mon assertion concernant la loi normale n'est pas une assertion. Il me parait nécessaire que vous complétiez cette "explication". Vous vous limitez à faire des affirmations négatives.

Pour compléter le message de Dattier, j'ai très bien compris et depuis longtemps, la soi-disant théorie des probabilités qui est enseignée, malgré les indications de l'EN.
Je dis, j'explique et je montre que cela se limite seulement à une théorie des proportions, issue de la théorie des ensemble et que la théorie des probabilités est constituée d'éléments beaucoup plus importants et que leur compréhension est indispensable à toutes les applications qui en découlent, par exemple, la statistique, les contrôles, les tests de validité etc.

Olivier Garet est Aléa sur lesmathématiques.net, non?
Plutot sympa et compétent.
c'est quoi le théorème 3 ?

Salut Beagle,
Oui, je sais qui est O.G.
Bien sur j'ai observé que depuis un bout de temps ou ne le voit plus.
J'ai acheté son bouquin il y a quelques années. J'espérais surtout trouver un chapitre 1 avec des définitions claires, bref des choses de base. Ca n'a pas été le cas, par contre, ça ne m'a pas empêché de le lire. Puis en page 5 j'ai vu ce fameux "théorème 3". C'est le genre de théorème qui peut être "vrai" dans un monde abstrait. Je lui ai demandé poliment un exemple d'application et naturellement je n'ai pas eu de réponse pour la simple raison que ce "théorème" est faux dans le monde réel. Il y a eu la demande de détail d'un membre du forum concernant la "démonstration" de ce théorème, OG a répondu, la démonstration se trouvait 300 pages plus loin.
D'accord que Aléa est assez sympa, mais ce qu'il enseigne ne tient pas debout.
J'ai déjà raconté cela à l'époque. Ce n'est pas moi qui ai réveillé ce sujet, c'est Humx3. Si tu veux des détails, apparemment c'est un de ses disciples alors il sera ravi de d'expliquer.

Ecoute qui veut comprendre l'autre, visiblement c'est toi qui veut comprendre Dlzlogic et non l'inverse, non ?

Vous faites erreur, Dattier.
Je comprends parfaitement qu'il n'y a absolument rien de sérieux dans le discours de Dlzlogic sur les probabilités. Juste des aberrations comme son histoire de rattrapage ou sa lecture de travers du paradoxe de Bertrand, que vous essayez de sauver jusqu'à la mauvaise foi, et des dogmes rabâchés ad nauseam.
J'apporte des corrections, étayées par des références précises, des démonstrations et des simulations. Pourquoi est-ce que cela vous dérange tant ?

Tu sais Beagle, si les notions que j'explique et qui sont naturellement parfaitement connues de ceux qui ont construit ces différents tests tellement utilisés, n'étaient pas vrais alors tous ces tests, statistiques etc. n'auraient aucune justification. Et le plus amusant serait qu'un connaisseur souhaitant nuire demande des justifications, ce serait la cata. Les hérétiques, tels que moi, seraient incapables de se défendre contre des gens comme Aléa, Hum et Cie. Quelle serait l'autorité qui permettrait de clarifier les choses ? Des gens comme Mathieu Rouaud, l'EN, JJ etc n'y arrivent pas dans le cadre de leur université ou des forums, alors que se passerait-il sur la place publique ?
Tout ça pour dire que c'est indispensable d'en parler, encore et encore.

D'ailleurs, il y a un exemple réel de cette situation supposée : le générateur de nombres aléatoires nommé GenRand. Je me suis déjà exprimé sur ce point, mais je recommence. Un générateur de nombres aléatoires honnête fournit une suite de nombres qui ont certaines caractéristiques relatives à la théorie des probabilités. Des petits malins on crée un outil qui respecte rigoureusement exactement cette théorie en oubliant l'aléatoire. Souviens-toi l'intervention de Nuage avec ce générateur, il a réussi à te convaincre que je disais des bêtises.
J'ai un nouveau, je vais voir.