Exercice sur l'écart-type.

Bonjour,
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?13,1873472
G. connait l'origine de cet exercice et apparemment la correction est fournie.
Là, j'ai pas le temps, mais je crois qu'il y a des choses à dire.
A suivre.

Bon, je recopie l'énoncé, c'est plus clair.

On prélève 25 pièces dans une production industrielle.
Une étude préalable a montré que le diamètre de ces pièces suivait une loi gaussienne de moyenne 10mm et d'écart-type 2mm.
Entre quelles valeurs a-t-on 85% de chances de trouver l'écart-type de ces pièces ?

l'écart-type est l'emq
Il y a 33% des pièces qui ont un écart entre 0 et 1 emq
il y a 15% des pièces qui ont un écart entre 1 emq et 2 emq
il y a 2% des pièces qui ont un écart entre 2 emq et 3 emq

J'appelle ep l'écart probable, ep = 2/3 écart-type.
il y a 25% des pèces qui ont un écart entre 0 et 1 ep
il y a 16% des pèces qui ont un écart entre 1 ep et 2 ep
il y a 7% des pèces qui ont un écart entre 2 ep et 3 ep
il y a 2% des pèces qui ont un écart entre 3 ep et 4 ep

il est clair que ces pourcentages sont des valeurs arrondies.

On peut supposer que l'énoncé a été copié rigoureusement. Il y est noté "l'écart-type de ces pièces". Il s'agit donc de l'écart-type des 25 pièces prélevées. Puisqu'on les a à disposition, on peut calculer l'écart-type. Naturellement la moyenne utilisée dans la formule est 10 mm et le dénominateur de la formule sera 25, et non (25-1) lorsque la moyenne n'est pas connue.
Etant donné qu'il y a 25 pièces, l'écart-type théorique de cet échantillon est 2/racinr(25) = 0.4 mm.
On admet une tolérance de 85%, donc l'écart-type acceptable est 0.4/0.85 = 0.47 mm, Ce sont les bornes qui répondent à la question.

Ceci est la réponse que je donnerais. La question posée est parfaitement claire, mais je ne suis pas sûr d'avoir raison.

[EDIT] Non, mon calcul est faux. A tout à l'heure.
PS j'aimerais bien voir d'autres réponses.

Bon, le problème est parfaitement défini, contrairement à ce qu'affirme G.
La moyenne des diamètres ainsi que l'écart-type est précisé, aucune ambiguïté.
On a un grand bac plein de pièces, une main innocente en prend 25 au hasard. Là toujours pas de problème.
On mesure ces pièces, on calcule la moyenne, si on veut, mais ça sert à rien, puisqu'on connait le diamètre vrai, et on calcule l'écart-type à partir de ces 25 pièces. Naturellement il est de l'ordre de 2 mm.
La question posée est "entre quelles bornes cet écart-type a une probabilité de 85% de se trouver ?".
C'est un exercice où on demande les bornes qui vont satisfaire une certaine probabilité.
J'en connais qui comme G. diront, "quelle loi ?", ou, "quel choix on fait ?".
Dans la pratique, cette question est parfaitement justifiée. On se permet une tolérance de 85%, c'est le choix qui est fait par le service de vérification. C'est parfaitement défini dans l'énoncé.
Finalement, le pauvre Pablo n'a pas de chance, le message de jma n'est pas vraiment utile et ceux de G. franchement faux.

Bonjour,
Il y a une remarque assez étonnante :

Sy. a écrit:- il y a une infinité d'intervalle de confiance

En ce cas tout contrôle de qualité est invalide. Surprenant, n'est-ce pas ?

Bon, je vais essayer d'argumenter l'affirmation de mon dernier message.
Soit une société qui fabrique des rondelles. Le cahier des charges précise que l'écart-type sur le diamètre des rondelles est "'e.t. < X". Bien-sûr le diamètre théorique de ces rondelles est précisé : DT.
La procédure de vérification indique que chaque semaine, 25 rondelles seront prélevées et mesurées. On souhaite savoir si cette production hebdomadaire est satisfaisante, alors on calcule la moyenne que l'on compare à la moyenne théorique. Le vérificateur prévoit un autre contrôle, pour éviter les erreurs de vérification, par exemple, mauvaise mesure, alors il fait son test sur l'écart-type résultant de la mesure des 25 rondelles.
C'est exactement le contexte de l'exercice proposé. Il y aurait une infinité de solutions ? Cela ne va pas arranger les affaires du vérificateur !

Il est clair que si quelqu'un n'est pas d'accord avec mon analyse, je suis prêt à en discuter.

Un intervalle de confiance de S, de niveau 0.85, est, par définition, un intervalle [a,b] tel que P(S \in [a,b])= 0.85.
Comme dis et confirmé par les différents intervenants il y en a une infinité.
Un(e procédure de) test consiste à en choisir un puis à regarder si, sur l'échantillon donné, l'écart-type empirique est bien dans [a,b].

Parmi l'infinité de solution au moins 4 peuvent choisit pour diverses raisons :
- un intervalle de la forme [0,b] : on accepte si l'écart-type n'est pas trop important (si l'écart type est plus petit ça veut dire que la machine est plus précise que prévue)
- un intervalle de la forme [\sigma - e, \sigma +e] : on a envie d'un intervalle symmétrique du genre valeur de ref +/- écart
- un intervalle de la forme [a,b] tel que P[a,\sigma]=P[\sigma,b] : autant de chance d'être au dessus qu'en dessous de la vraie valeur
- un intervalle de la forme [a,b] de longeur minimale

Bonjour Sylviel,
Un écart-type est par définition positif. On sait, parce que c'est l'énoncé, que l'écart-type de cette fabrication est 2 mm.
Donc, l'écart-type calculé sur les 25 pièces testées sera forcément voisin de 2 mm.
L'exercice consiste à calculer les bornes maximum et minimum, a et b, de l'écart-type calculé sur les 25 pièces. Par raison de symétrie (je pense que c'est évident pour toi), la moyenne de a et b sera exactement 2 mm. Par exemple a =1.50 et b = 2.50.

Tu emploies l'expression "intervalle de confiance", il n'est pas utilisé dans l'énoncé. Il est vrai que ce n'est qu'un problème de vocabulaire.
Je sais bien que il a été dit qu'il y avait une infinité de solution, mais personne n'a dit pourquoi et personne n'a proposé au moins une solution, sauf "relis ton cours". Si un membre considère qu'il manque une hypothèse, il suffit de faite précéder sa réponse de "j'ai considéré que ...". Ben non, rien.
Parmi tes 4 hypothèses, il me parait clair que c'est la quatrième : lors de la vérification si l'écart-type n'est pas dans cet intervalle, alors le lot est refusé, mais je ne vois pas, à part sa formulation, en quoi la deuxième est différente.

Ce serait intéressant que G. copie la correction de l'auteur de l'exercice. Je suis sûr qu'il y a une justification. Bien sûr on devrait s'attendre à ce que G. donne sa propre correction, et les autres pourquoi pas ?
Bonne journée.

J'ai vu ton code, mais comme je ne connais pas ces fonctions, je ne peux rien comprendre.
Voila mon code et le résultat

Code:

int main() // suivant 347
{
/*
*/
  randomize();
  float LesEmq[100];
  float Moy=10.0;
  float epA=4.0/3.0;
  for (int fois=0; fois < 100; fois++)
  {
    float Diam[25];
    float EmqD=0;
    for (int i=0; i<25; i++)
    {
      Diam[i]=TireAlea(Moy, epA);
      EmqD += (Moy-Diam[i])*(Moy-Diam[i]);
    }
    if (fois == 0)
      for (int n=0; n<25; n++) fprintf(espion,"n=%d  d=%0.2f\n",n, Diam[n]);
    LesEmq[fois]=sqrt(EmqD/25.0);
  }  
  AfficheNormale(100, LesEmq, " LesEmq sur 25 pièces  \n");
  return 0;
}
 

LesEmq sur 25 pièces  

Nombre = 100  Moyenne = 1.99  emq=0.25  ep=0.17
Médiane = 2   min= 1.42  max=2.55
Classe 1  nb=   0  0.00%   théorique 0.35% |
Classe 2  nb=   1  1.00%   théorique    2% |H
Classe 3  nb=  10  10.00%   théorique    7% |HHHHHHHHHH
Classe 4  nb=  18  18.00%   théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  21  21.00%   théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  26  26.00%   théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  12  12.00%   théorique   16% |HHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  10  10.00%   théorique    7% |HHHHHHHHHH
Classe 9  nb=   2  2.00%   théorique    2% |HH
Classe 10 nb=   0  0.00%   théorique 0.35% |


Dans le calcul, je ne tiens pas compte des 85%. il faudrait diviser pat 0.85. Mais c'est pas très juste. Cela ferait
2.00 +/- 0.56/0.85.

Dans mon calcul d'il y 2 jours, j'avais obtenu 2.00 +/- 0.47
Donc, en gros, c'est aussi ce que donne Saporta. Ce serait intéressant d'avoir la logique.
Il est sûr que ma division par 0.85 n'est pas du tout justifiée (flemme de prendre une table).

Bon, c'est tout de même dommage qu'un exercice de probabilités, avec application en statistique, dévie sur l'utilisation de tableur pour une simple interpolation linéaire.
Le point sur lequel j'ai voltairement glissé, puisque sans intérêt, devient le sujet de discussion principal.
Vraiment surprenant.
Si le livre de Saporta explique la logique du calcul, le minimum exigible concernant G. est qu'il copie en totalité la correction, et pas seulement le résultat.
Sylviel, étant donné tes bonnes relations dans les forums, tu devrais obtenir facilement cela.

Bonjour,
La direction que prend ce sujet est mauvaise.
D'abord il y a des, disons, "doutes" sur la qualité de l'énoncé. Ce sujet est proposé dans le sous-forum "Statistiques", on est entrain de le faire dévier et de perdre le sujet.
En particulier il a été dit et confirmé qu'il y avait une infinité de solutions. Moi, je n'en vois qu'une, je l'ai calculée de deux façon différentes et j'ai le même résultat que le prof, à la précision près. Sylviel a exposé effectivement des interprétations différentes, mais elles ne correspondent pas à l'énoncé.

La méthode du Khi² est arrivée sur le tapis comme un cheveu sur la soupe. Sauf le côté historique, je ne vois pas l'intérêt de l'enseigner.
Et enfin, il faut faire une interpolation linéaire. Qu'est-ce que ça couterait à Gérard de lui expliquer ? Pourquoi utiliser un tableur pour appliquer la "règle de 3" ?
A propos de la méthode du Khi², j'ai cherché, sans succès, la formulation du calcul de la table. Si quelqu'un a la doc, je suis preneur.
Vous me rétorquerez peut-être "à quoi ça te servira ?" ou "t'as qu'à prendre une table et faire une régression linéaire". Je peux répondre.

Je viens de regarder une vidéo sur le khi²
https://www.youtube.com/watch?v=cVpo6yuesuw
C'est bien expliqué.
A voir.

Bonsoir,
L'énoncé est parfaitement clair et précis. Il a été dit que le nombre de solutions était infini. J'ai suggéré que ceux qui affirment cela commencent leur explication par "supposons que ...". Sylviel a fourni un calcul qui mérite d'être vérifié. G. a donné le résultat de l'auteur de l'énoncé. Par ailleurs le demandeur se débat avec des recherches et essais complètement inutiles. Les membres du forum veulent-il l'aider, c'est à dire le guider ou simplement l'enfoncer ? Je n'ai pas compris l'intérêt de la référence au Khi², apparemment personne n'ose le remettre sur la bonne voie.
Bref, de qui se moque-t-on ?

Dlzlogic a écrit:Bonjour Sylviel,
Un écart-type est par définition positif. On sait, parce que c'est l'énoncé, que l'écart-type de cette fabrication est 2 mm.
Donc, l'écart-type calculé sur les 25 pièces testées sera forcément voisin de 2 mm.
L'exercice consiste à calculer les bornes maximum et minimum, a et b, de l'écart-type calculé sur les 25 pièces. Par raison de symétrie (je pense que c'est évident pour toi), la moyenne de a et b sera exactement 2 mm. Par exemple a =1.50 et b = 2.50.
 

Ben non l'exercice consiste à trouver un intervalle [a,b] tel que l'écart-type empirique sur les 25 pièces ai 85% de chance d'y être
(c'est, par un très léger abus de langage, ce qu'on appelle un intervalle de confiance). Il y a une infinité d'intervalle de ce genre.

ton "par raison de symétrie" est faux : la loi suivi par l'écart-type empirique n'est pas symétrique autour de 2mm. Pour s'en convaincre
il y a une probabilité (faible mais non nulle) que l'écart-type empirique soit strictement plus grand que 4mm, aucune qu'il soit plus petit que 0mm.
Donc les propositions 2 et 4 dans mon messages sont bien deux propositions différentes.

Tu emploies l'expression "intervalle de confiance", il n'est pas utilisé dans l'énoncé. Il est vrai que ce n'est qu'un problème de vocabulaire.
Je sais bien que il a été dit qu'il y avait une infinité de solution, mais personne n'a dit pourquoi et personne n'a proposé au moins une solution, sauf "relis ton cours". Si un membre considère qu'il manque une hypothèse, il suffit de faite précéder sa réponse de "j'ai considéré que ...". Ben non, rien.
Parmi tes 4 hypothèses, il me parait clair que c'est la quatrième : lors de la vérification si l'écart-type n'est pas dans cet intervalle, alors le lot est refusé, mais je ne vois pas, à part sa formulation, en quoi la deuxième est différente.

Comme d'habitude tu dis "c'est clair que parmis les différentes solution celle-ci est celle attendue" sans justification, sans même admettre qu'il y a d'autres solution... Tous les intervenants sur le fil (à part le questionneur - que l'on pratique depuis des années) savent résoudre l'exercice.


Ah, et si on considère qu'il s'agit d'une machine qui produit des pièces qui sont censées faire 10mm et qu'on me dis que l'écart-type à la production est de 2mm, moi ce qui m'interesse c'est qu'il soit inférieur à 2mm, donc je ne vais pas la rejeter si sur mon échantillon l'écart-type est en dessous de 2mm. Du coup je préfères choisir un intervalle de la forme [0,b] qui "clairement" la solution la plus naturelle et donc la seule qui vaille

Par ailleurs si tu n'as pas compris pourquoi on obtient un Chi2 c'est parce que tu n'as toujours pas compris ce qu'est la loi du Chi2.

Bonjour Sylviel,
Merci pour ton intervention.
Sur Les-Mathémetiques.net, Jma a donné une référence sur un cours de l'université de Toulouse : wikistat.fr. Le début est un peu long, mais le section sur les notions de probabilités est particulièrement claire et précise. Par exemple la définition du TCL est donnée et c'est exactement cela. Le raisonnement qui aboutit à la loi des grands nombre est bien expliqué, etc. Je n'ai pas vu de référence à Kolmogorov et c'est vraiment un bon point. Il y est fait référence à l'inégalité de Bienaymé et la conclusion est claire : très intéressant sur le plan théorique, mais pas vraiment utile parce que ce n'est pas assez précis comme résultat. Donc, à lire.    

Sylviel a écrit:Ben non l'exercice consiste à trouver un intervalle [a,b] tel que l'écart-type empirique sur les 25 pièces ai 85% de chance d'y être
(c'est, par un très léger abus de langage, ce qu'on appelle un intervalle de confiance). Il y a une infinité d'intervalle de ce genre.

Oublions la marge de 85% qui ne fait que nécessiter un calcul supplémentaire et nécessite de sortir une table de répartition. D'abord, la question posée concerne l'écart-type. Sa définition est parfaitement précise, je ne la rappelle pas. Mais une fois n'est pas coutume, le diviseur ne sera pas (N-1), mais N, puisque la moyenne vraie est connue. Si on fait 1 mesure, on peut calculer l'écart à la moyenne, en l'absence d'autre mesure, c'est l'écart-type. Etc. avec deux, trois ... 25. Les 25 pièces ont été prélevées de façon aléatoire, on sait que c'est le TCL qui s'applique, donc la répartition des écarts est symétrique par rapport à la moyenne, donc symétrique par rapport à 2 mm. D'autre part, on sait que l'écart-type d'un ensemble de N mesures est égal à l'écart-type / racine de N. Il n'y a aucun option particulière, aucun choix de modèle, c'est juste une application stricte de la théorie.
J'ai fait le calcul par deux méthodes différentes, numérique et par simulation. J'obtiens le même résultat que le corrigé.  
Il est possible et même probable que l'écart d'une pièce soit supérieur à 4mm, cad 2 écarts-type, oui, 5% des pièces auront probablement un écart supérieur à 4mm, mais certainement pas l'écart-type sur les 25 pièces. De la même façon, il est impossible que l'écart-type soit 0, ce qui impliquerait que les 25 pièces mesurent exactement 10mm, ce qui est impossible.

Sauf tes réponses, je n'en ai pas vu d'autres à part la correction, naturellement.  

Sylviel a écrit:Ah, et si on considère qu'il s'agit d'une machine qui produit des pièces qui sont censées faire 10mm et qu'on me dis que l'écart-type à la production est de 2mm, moi ce qui m'interesse c'est qu'il soit inférieur à 2mm, donc je ne vais pas la rejeter si sur mon échantillon l'écart-type est en dessous de 2mm. Du coup je préfères choisir un intervalle de la forme [0,b] qui "clairement" la solution la plus naturelle et donc la seule qui vaille Twisted Evil

D'après l'énoncé, la moyenne est 10mm et l'écart-type est 2mm. Donc, il est certain, à la précision près que la répartition des écarts à la moyenne est celle de la loi normale. C'est à dire qu'il y aura 7 pièces sur 1000 qui auront un écart supérieur à 6mm. Une petite parenthèse, le rapport entre la moyenne et l'écart-type est trop faible. Heureusement, la valeur de la moyenne 10mm ne rentre pas dans le calcul.
Il n'y a que 67% des écarts qui seront inférieur à l'écart-type 2mm. C'est pas pour autant que 33% des pièces sont hors tolérance, donc que le lot doit être rejeté, par contre, si l'écart-type sur les 25 est hors de l'intervalle [a,b], alors oui, le lot n'est pas conforme.

Concernant le Khi², j'ai cité une vidéo qui explique très bien son intérêt et son utilisation. Il faut tout de même savoir que cette méthode est directement issue du TCL.  
En l'occurrence, le Khi² n'a rien à faire dans cet exercice.

PS. Je suis sûr que Lake sur Ile-Math pourra tenir exactement le même discour que moi. Mais je suis sûr qu'il est prudent et qu'il ne le fera pas en public pour éviter de se faire virer pour hérésie, comme je l'ai été.

Une fois de plus tu mélanges tout. Pas de TCL ici puisque l'on part avec des loi normale dès le départ.
Pas de "méthode du Chi2" mais juste la reconnaissance d'un loi connue (différente de l'uniforme, la normale ou l'exponentielle)
et l'utilisation d'une table de sa fonction de répartition.

On va faire très très simple dans le vague espoir que tu acceptes de te remettre en question.
Je prends deux va X et Y qui sont des gaussiennes d'espérance nulle et de variance 1.
Je m'intéresse à V = (X^2 + Y^2)/2, et je cherche un intervalle tel que P(V\in [a,b]) = 0.85

Il se trouve que par définition (https://math.unice.fr/~diener/StatL2/COURS5.pdf ou https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_du_%CF%87%C2%B2 par exemple)
X^2 + Y^2 = 2V est une loi du Chi2 à deux degré de liberté. Cette loi n'est pas symétrique autour de 2. (voir la densité de proba sur wiki par exemple).
On peut se servir d'une table (ou d'un logiciel) pour voir que P(2V \in [0,3.8]) = 0.85
donc P(V \in [0,1.9]) = 0.85

Bonjour,
Je vais essayer de répondre. Je connais très bien l'article de Wiki, donc, je me conterai du pdf de math.unice.
Dans la définition 1, quand on parle de N variables aléatoires, il s'agit de N valeurs d'une variable aléatoire X que l'on note généralement x1, x2, ... xn, ou de N fonctions X1, X2, ... Xn. S'il s'agit de N fonctions, j'ai un peu de mal à imaginer ce que peut être une telle fonction au carré. D'ailleurs dans la formule on a (Xi-m)². Comme m est un nombre, je ne vois pas comment on peut faire l'opération soustraction entre une fonction et un nombre. Sauf explication, j'en conclue que les Xi représentent les valeurs, c'est à dire les observations.
Cette méthode du Khi² permet de comparer 2 phénomènes, c'est à dire un phénomène observé que l'on compare au phénomène théorique. D'après mes lectures, c'est Mendel qui est à l'origine de la méthode. Au tout début du XXè il n'y avait pas d'informatique, donc il fallait trouver une technique. Le principe est de classer les résultats selon un certain critère. Le nombre d'éléments contenus dans chaque classe est comparé au nombre d'éléments théorique de chaque classe, et après un calcul simple et sur peu de nombre, on peu entrer dans une table et en déduire si on est meilleur ou moins bon.
L'application donnée dans la vidéo est très claire. D'une part on a une affirmation (répartition théorique) du nombre de clients par jour de la semaine, sauf le dimanche, donc 6 nombres, et d'autre part, on a un comptage réel.
Mendel a utilisé cette méthode.
Par ailleurs, il me semble que le nombre de degrés de liberté est égal à N-1 classes.
Dans la définition, il est précisé que les N variables aléatoires suivent la [même] loi normale. Et, si ces N variables suivent une autre loi, apparemment on ne peut pas appliquer cette définition. Cela ne pose-t-il pas un problème ? Pour mémoire, il y a une seule loi normale : la loi normale centrée réduite. Toutes autres peuvent se ramener à celle-là par un simple changement d'échelle et une translation.

Concernant l'exercice sur le calcul de l'intervalle pour l'écart-type, je ne comprends pas le rapport. Le test du Khi² permet de comparer deux ou plusieurs répartitions et de déduire la conformité, c'est à dire un test binaire, alors que le calcul de l'intervalle consiste à donner deux nombres, a et b, bornes de cet intervalle.
Il est dommage que ce cours ne contienne pas au moins un exemple numérique, puisque dans tous les cas, c'est ce dont il s'agit.

Dans ton exemple V = (X² + Y²)/2, pourrais-tu me donner un exemple réel ou imaginé d'une application ?

J'aimerais bien avoir la méthode (formule) ayant servi à établir la table du Khi². Puisqu'on en parle souvent, j'aimerai bien faire des tests.

PS. concernant la réponse à l'exercice proposé, il est clair que la bonne réponse est a=1.5 b=2.5 (volontairement, j'ai arrondi).
Si tu as un autre intervalle, il faudrait le prouver (calcul) et le vérifier (simulation).

Dans la définition 1, quand on parle de N variables aléatoires, il s'agit de N valeurs d'une variable aléatoire X que l'on note généralement x1, x2, ... xn, ou de N fonctions X1, X2, ... Xn.

N variables aléatoires signifie N fonctions et pas N valeurs d'une variable aléatoire.

S'il s'agit de N fonctions, j'ai un peu de mal à imaginer ce que peut être une telle fonction au carré. D'ailleurs dans la formule on a (Xi-m)². Comme m est un nombre, je ne vois pas comment on peut faire l'opération soustraction entre une fonction et un nombre. Sauf explication, j'en conclue que les Xi représentent les valeurs, c'est à dire les observations.

Soit f la fonction qui a x associe sin(x). Tu as aussi du mal à imaginer ce que peut vouloir dire f^2 ?? Ou f - 1 ?
alors écrivons le en toute lettre :
f^2 est la fonction qui a x associe (sin(x))^2
f -1 est la fonction qui a x associe sin(x) -1

Cette méthode du Khi² permet de comparer 2 phénomènes

Je (ni personne sur ce thread des math.net) n'ai pas parlé du test du Chi2. J'ai parlé d'une variable aléatoire suivant une loi du Chi2.
Comme dis sur wiki (ou sur le pdf) c'est une variable aléatoire définie comme somme de carré de gaussienne indépendantes.
Arrête de tout mélanger.

Dans la définition, il est précisé que les N variables aléatoires suivent la [même] loi normale. Et, si ces N variables suivent une autre loi, apparemment on ne peut pas appliquer cette définition. Cela ne pose-t-il pas un problème ?

On répète :
si X est une loi normale centrée réduite alors X^2 est une loi du Chi^2 à 1 degré de liberté. C'est la définition d'une loi du Chi^2.
si X et Y sont deux loi normales centrées réduites alors X^2 + Y^2 est une loi du Chi^2 à 2 degré de liberté. C'est la définition d'une loi du Chi^2.

Si X est une loi exponentielle alors X^2 n'est pas une loi du Chi^2 à 1 degré de liberté.

Concernant l'exercice sur le calcul de l'intervalle pour l'écart-type, je ne comprends pas le rapport. Le test du Khi² permet de comparer deux ou plusieurs répartitions et de déduire la conformité, c'est à dire un test binaire, alors que le calcul de l'intervalle consiste à donner deux nombres, a et b, bornes de cet intervalle.

Tu ne comprends pas le rapport parce qu'on te parle d'une loi du Chi^2 pas du test associé.

Dans ton exemple V = (X² + Y²)/2, pourrais-tu me donner un exemple réel ou imaginé d'une application ?

Ah oui, tu ne vois pas le rapport avec l'exercice... Je prends un écart-type de 1mm pour simplifier l'écriture.
X est l'erreur sur la taille de la première pièce (c'est bien, par hypothèse, une loi normale centrée réduite)
Y est l'erreur sur la taille de la seconde pièce (c'est bien, par hypothèse, une loi normale centrée réduite)
la variance de cet échantillon de 2 pièces est donc V = (X^2 + Y^2)/2.
C'est une variable aléatoire qui suis une loi du Chi^2 à 2 degré de liberté.

J'aimerais bien avoir la méthode (formule) ayant servi à établir la table du Khi². Puisqu'on en parle souvent, j'aimerai bien faire des tests.

PS. concernant la réponse à l'exercice proposé, il est clair que la bonne réponse est a=1.5 b=2.5 (volontairement, j'ai arrondi).
Si tu as un autre intervalle, il faudrait le prouver (calcul) et le vérifier (simulation).

La lecture c'est visiblement pas ton fort...

Sur wikipédia c'est le premier paragraphe : https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_du_%CF%87%C2%B2 qui donne la formule de la densité et de la fonction de répartition d'une loi du Chi2.

Pour l'exercice j'ai proposé (et testé) plusieurs intervalles (je l'ai fait avec un écart-type de 1 au lieu de 2, mais c'est linéaire, il suffit de multiplier par 2),
j'ai même mis le code à disposition (je le redonnes ici avec une fonction de test par simulation en sus). On constate que, sur 10^7 tirage mes 3 intervalles
donnent la proba attendue, alors que [1.5,2.5] donne 0.92.

Et finalement considérons le cadre suivant : je suis un industriel, je commande une machine qui est censée produire des pièces de 10mm. Elle annonce, sur papier, un écart-type de 2mm. Je peux en produire 25 pour vérifier si la précision réelle de la machine est bien celle annoncée. Dans quel cas vais-je me plaindre auprès du fournisseur ?
Dans ce cas la solution naturelle est (pour un seuil 0.85) : je me plain si l'écart-type empirique n'est pas dans [0, 2.272].
En effet si j'ai un écart-type de 1mm au lieu de 2 cela veut dire que j'ai été "upgradé" et que la machine est mieux que prévu. Aucune raison de la rejeter.

Code:


using StatsFuns, Statistics
σ = 2

function α_max(n, level)
    return σ*sqrt(chisqinvcdf(n,1-level)/n)
end

function left_prob(n,α)
    a = α^2*n/σ^2
    return chisqcdf(n,a)
end

function right_prob(n,β)
    b = β^2*n/σ^2
    return 1-chisqcdf(n,b)
end

function confidence_interval(n, α, level)
    if α > α_max(n, level)
        print("left side of confidence interval should not be higher than ", α_max(n, level))
    else 
        b = chisqinvcdf(n,level + left_prob(n,α))
        β = σ*sqrt(b/n)
    end
    return β
end

function MC_test(n,Nmc,a,b)
  count = 0
  for i in 1:Nmc
    S = sigma*randn(n)
    res = std(S,corrected = false, mean = 0)
    if a < res < b
      count += 1
    end
  end
  return count / Nmc
end

Bonjour Sylviel.
Ta comparaison d'une variable aléatoire à une fonction qui prend une ou plusieurs valeurs ne tient pas. Mais c'est pas grave.

Sylviel a écrit:Tu ne comprends pas le rapport parce qu'on te parle d'une loi du Chi^2 pas du test associé.

Bon d'accord, j'ai été un peu vite, mais pourquoi évoquer la loi du Khi² alors qu'il suffit d'appliquer les relations liées à la loi normale ?
Donc, la démarche est la suivante :
1- on a une valeurs de l'écart-type observé.
2- on sait que la variable "écart-type observé" est une variable aléatoire, donc qui suit la loi normale. Comment le sait-on ? (moi, je sais, c'est le TCL)
3- on décide d'utiliser la loi du Khi², on sait que c'est possible
4- on en sort une valeur, par je ne sais quel miracle, mais ça ne correspond pas aux 2 bornes demandées.
Bref, j'ai du mal à comprendre.

Bien-sûr, il serait intéressant d'avoir le détail du calcul du corrigé. Apparemment l'auteur de l'exercice raisonne de la même façon que moi. S'il y a plusieurs solutions, voire une infinité, comment en sortir une seule, pourquoi celle-là et pas une autre ? Pourquoi justement le corrigé et mes deux méthodes donnent-ils le même résultat ?
Je vais essayer de transposer ton code.
L'autre sujet en cours, écart d'un flux résulte du même raisonnement. Mais là, ce n'est pas un exercice, c'est un cas réel, et ça devient grave.

Bon, impossible de transposer ton code, puisqu'il utilise des fonctions que je ne connais pas.
Je vais essayer d'utiliser les formules données par Wiki, mais il y 2 choses qui me posent problème.
1- k est un entier, le nombre de degrés de liberté. Dans la formule, il est divisé par 2. Pour les puissances, ça ne pose pas vraiment de problème, mais pour la fonction gamma, qui vaut (n-1)! où n est un entier, que faire si n est impair ?
2- cette notion de degré de liberté n'est pas claire pour moi. J'ai lu que c'était N-1 classes. Alors, pourquoi, pourquoi pas, bref c'est pas clair.
Tu me diras que je peux calculer la table et comparer avec des tables existantes, mais j'aime comprendre ce que je fais.

D'autre part, il est bien précisé que la loi du Khi² est utilisée pour faire le test du même nom. Je n'ai pas vu d'autres utilisations de cette loi.
Par ailleurs, il est clair que si une variable aléatoire suit la loi normale, elle suivra forcément la loi du Khi², c'est d'ailleurs une méthode de contrôle de normalité.
Bref, je ne suis pas plus avancé. A partir d'une table existante, je peux très bien trouver une formule de la forme y = f(k,x) ainsi que x = f(k,y), mais ça servirait à quoi ?

Ta comparaison d'une variable aléatoire à une fonction qui prend une ou plusieurs valeurs ne tient pas. Mais c'est pas grave.

C'est pas "ma comparaison" c'est ce que l'on utilise tout le temps, partout, dans tous les cours de proba.
Une variable aléatoire réelle c'est une fonction de Omega (l'ensemble des possible) dans R.
Par exemple sur un lancer de pièce Omega c'est {P , F}.
Si je gagne 2 sur Pile et rien sur face la variable aléatoire du gain c'est la fonction G qui est définie par
G(P) = 2
G(F) = 0

Et la variable aléatoire G^2 c'est la fonction qui est définie par
G(P) = 4
G(F) = 0

Bon d'accord, j'ai été un peu vite, mais pourquoi évoquer la loi du Khi² alors qu'il suffit d'appliquer les relations liées à la loi normale ?

Parce qu'on ne peut pas

on sait que la variable "écart-type observé" est une variable aléatoire, donc qui suit la loi normale. Comment le sait-on ? (moi, je sais, c'est le TCL)

Alors non, l'écart-type de l'échantillon suis une loi dérivée du Chi2 et pas une loi normale.
Preuve évidente : une loi normale a toujours une probabilité non nulle d'être négative, pas un écart-type.

Encore une fois tu ne sais pas appliquer le TCL puisque tu n'as jamais accepté d'en lire réellement l'énoncé.

on décide d'utiliser la loi du Khi², on sait que c'est possible

Tu dis n'importe quoi, un coup tu dis que la va suis une loi normale, ensuite tu dis qu'elle suis une loi du Chi^2...

S'il y a plusieurs solutions, voire une infinité, comment en sortir une seule, pourquoi celle-là et pas une autre ? Pourquoi justement le corrigé et mes deux méthodes donnent-ils le même résultat ?

Il y a une infinité de solution. Tu peux en choisir une, celle que tu veux, et éventuellement justifier ton choix.
Le choix symmétrique [a-e,a+e] peut se justifier, mais alors tu auras plus de chance d'observer ton écart-type dans [a-e,a] que dans [a,a+e].

Je vais essayer d'utiliser les formules données par Wiki, mais il y 2 choses qui me posent problème.
1- k est un entier, le nombre de degrés de liberté. Dans la formule, il est divisé par 2. Pour les puissances, ça ne pose pas vraiment de problème, mais pour la fonction gamma, qui vaut (n-1)! où n est un entier, que faire si n est impair ?

Vu que tu ne comprends toujours pas ce qu'est une variable aléatoire X et ce qu'est son carré je pense que tu peux oublier de comprendre ce genre de chose.

2- cette notion de degré de liberté n'est pas claire pour moi. J'ai lu que c'était N-1 classes. Alors, pourquoi, pourquoi pas, bref c'est pas clair.
Tu me diras que je peux calculer la table et comparer avec des tables existantes, mais j'aime comprendre ce que je fais.

Une loi du Chi2 a n degré de liberté c'est une somme de n va normale centrée réduite indépendantes. (Qu'est ce qu'on se répète...)

D'autre part, il est bien précisé que la loi du Khi² est utilisée pour faire le test du même nom.

Oui l'approche théorique du test consiste à montrer que la statistique de test du Chi^2 tends vers une loi du Chi^2 (à n-1 degré de liberté dans le cas du test d"adéquation à une loi).

Je n'ai pas vu d'autres utilisations de cette loi.

Ben le fil en question en est une...

il est clair que si une variable aléatoire suit la loi normale, elle suivra forcément la loi du Khi²,

Je suis mort de rire.

Non une variable aléatoire est soit une loi normale, soit une loi du Chi2, soit une loi exponentielle soit une loi uniforme soit autre chose,
mais pas les deux en même temps.

Encore une fois preuve hyper simple ; un Chi 2 est toujours postifi, pas une normale...

Bon, juste une petite réaction.

Sylviel a écrit:Il y a une infinité de solution. Tu peux en choisir une, celle que tu veux, et éventuellement justifier ton choix.
Le choix symmétrique [a-e,a+e] peut se justifier, mais alors tu auras plus de chance d'observer ton écart-type dans [a-e,a] que dans [a,a+e].

S'il y a une infinité de solutions, peux-tu en donner une ou deux autres, avec justification.
Si tu as plus de chance d'observer l'écart type sur les 25 pièces dans [a-e;a], que dans [a;a+e], peux-tu faire une simulation pour le vérifier ?
Dans un message le 17 octobre, j'ai édité un programme qui calcule cela.
La définition du tirage des 25 pièces est un échantillon aléatoire sur un ensemble de moyenne M et d'écart-type 2.

Cet exercice est tout à fait sans le sujet :
https://www.maths-forum.com/superieur/exercice-statistiques-t211601.html

Bonjour Sylviel,
Tu sais, en math, quand on affirme quelque-chose, soit on dit que c'est un postulat, qu'on ne sait pas le démontrer, mais qu'on a un grand nombre de choses qui nous permettent de l'admettre et on produit au moins un exemple, soit cela résulte d'une certaine théorie connue et reconnue, éventuellement on en rappelle les principaux fondements (postulats, théorèmes) et on réalise la démonstration. Si on estime que la démonstration est trop compliquée, on peut toujours considérer cette affirmation comme un postulat et on est revenu à l'alternative précédente.
Dans le contexte de ce fil, tu as affirmé deux choses très précises
1- il y a une infinité de solutions qui répondent à la question posée : "déterminer les bornes a et b entre lesquelles se trouvera l'écart-type sur 25 pièces". La tolérance de 15% est un problème à part.
2- Il y a plus de chance d'observer l'écart type sur les 25 pièces dans [a-e;a], que dans [a;a+e], "a" étant l'écart-type de la fabrication, en l'occurrence 2 mm.
Il me parait indispensable que tu le prouves d'une façon ou d'une autre.

@ Sylviel,
Bon, j'ai trouvé la réponse à ma question :

1- k est un entier, le nombre de degrés de liberté. Dans la formule, il est divisé par 2. Pour les puissances, ça ne pose pas vraiment de problème, mais pour la fonction gamma, qui vaut (n-1)! où n est un entier, que faire si n est impair ?

La fonction Gamma est une généralisation directe de la notion de factorielle pour des nombres réels non entiers. Ca, je pense que tu aurais pu me le dire !
Je vais chercher une forme facile de calcul de cette fonction pour a réel.
Je la donnerai ici.

Tu as vraiment du mal avec la lecture. J'ai prouvé mathématiquement et testé par simulation les résultats que j'avance. Tu sais c'est mon métier et j'y est été formé. Contrairement à toi.

1- il y a une infinité de solutions qui répondent à la question posée : "déterminer les bornes a et b entre lesquelles se trouvera l'écart-type sur 25 pièces". La tolérance de 15% est un problème à part.

Dans mon post sur les maths.net j'ai donné :

- l'intervalle de plus petite longeur est [0.792,1.197]
- l'intervalle symmétrique (au sens de la masse de proba) est [0.784,1.189] (quasiment le même que le précédent mais pas tout à fait)
- un intervalle naturel est de vouloir l'écart-type empirique pas trop élevé, et donc de choisir [0, 1.136]

à l'époque j'avais pris pour écart-type 1mm (et non 2), donc pour avoir les intervalles pour un écart-type de 2mm il faut tout multiplier par deux...


Avec le code fournit plus haut
[Pour info :
randn(n) génère 25 réalisations indépendantes de loi normale centrée réduite
std(S, corrected=false, mean=0) permet de calculer l'écart-type de S (en 1/n et avec moyenne connue),
chisqcdf(n,a) donne la fonction de réapartition d'une loi du chi2 à n degréde liberté en a ]
j'obtiens sur 5 simulations de 10^7 tirages (pour chacun des intervalles) :
0.8495431 0.8498482 0.8496799 0.8495781 0.849472    proba-théorique : 0.8496
0.8503147 0.8501338 0.8502618 0.8501407 0.8500202  proba-théorique : 0.8502
0.849536 0.8495831 0.8492823 0.8493787 0.8493526    proba-théorique : 0.8494

Remarque 1 : les écarts à 0.85 viennent de l'arrondi fait dans le post sur les math.net.
Remarque 2 : tous les intervenants sont d'accord pour dire qu'il y a bien une infinité de solutions.
Quant à celles que j'ai présentées je leur ai toutes données une justification (la plus petite, une symétrique au sens des proba, une qui ne rejette pas un écart-type observé trop faible
par exemple pour décider d'accepter ou non une machine)

Il y a plus de chance d'observer l'écart type sur les 25 pièces dans [a-e;a], que dans [a;a+e], "a" étant l'écart-type de la fabrication, en l'occurrence 2 mm.
Il me parait indispensable que tu le prouves d'une façon ou d'une autre.

Ben je l'ai déjà justifié de deux manière :
1) la loi d'un chi2 n'est pas symétrique.
2) Si elle était symétrique la médiane serait 2, donc il y aurait 50% de chance d'être dans [0,2] (puisque positive) et 50% d'être dans [2,4] (par symmétrie) donc 0% d'être dans [4,+oo[ ce qui est évidemment faux.
mais puisque seul les simulations semblent trouver valeur à tes yeux faisons la simulation (5 fois sur 10^7 tirages)
[1.7,2] --> 0.3772716 0.3772582 0.3775593 0.3770835 0.3774903
[2,2.3] --> 0.3328199 0.3328954 0.3327001 0.3329671 0.3330656

[1.5,2] --> 0.498332 0.498322 0.4980705 0.4983223 0.498318
[2,2.5] --> 0.4263214 0.4261553 0.4261542 0.4257769 0.4259256

Etrangement les simulations confirment exactement la théorie...

Ah et pour la route, avec n = 25 la proba que l'écart-type soit au dessus de 4 est de 6.10^-11 donc on ne l'observeras pas par simulation.
En revanche pour n = 5 elle est de 0.00125 Simulons :
[4,+oo[ --> 0.0012621 0.0012441 0.0012497 0.0012453 0.0012642
Et bien sur tout cela est positif donc
]-oo,0] --> 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Et pour terminer, la théorie dis que la proba que l'écart-type soit dans [2-0.47, 2+0.47] est de 0.90467 (on est loin du 0.85 demandé)
Simulons :
[2-0.47, 2+0.47] --> 0.9046489 0.904786 0.9045759 0.904805 0.9044795

Tiens, le code pour calculer la probe que l'écart-type d'un échantillon de n individus soit dans intervalle [a,b]:

Code:


function prob_inter(n,a,b)
       return chisqcdf(n,n/σ^2*b^2)-chisqcdf(n,n/σ^2*a^2)
end


Sinon dans ton code ne réponds pas à la question (à savoir compter le nombre d'écart-type observé dans un intervalle donné),
utilise une fonction "TireAlea" dont on ne sais pas si elle génère bien un aléa gaussien etc...


Bon ce que je te propose maintenant c'est que tu fasses une affirmation précise sur la distribution de ces écart-types empiriques
qui seraient Gaussien (tu n'as pas répondu a comment ils peuvent être Gaussien et positif d'ailleurs...) du genre :
j'affirmes que Prob(ecart-type empirique \in [2-0.5,2+0.5]) = ... si possible avec un paramètre à la place de 0.5, mais je veux bien une
valeur numérique. Et on verras si les simulations confirment...