La loi sans mémoire.

Bonjour,
Décidément, il semble que la notion de loi sans mémoire dans le contexte de probabilité est mal compris.
Pour que ce soit plus simple à comprendre, je vais prendre l'exemple des lampes électriques.
Soit un nouveau type de lampes électriques. On veut obtenir des informations : leur capacité de luminosité et leur durée de vie.
1- luminosité. Toutes ces lampes ont été fabriquées de la même façon, elles sont donc considérées comme identiques. Cependant, on sait que les imprécisions de fabrication sont inévitables. On va donc tester la luminosité de chacune des lampes. On disposera d'une série de valeurs numériques. Le postulat de la moyenne et la loi des grands nombres disent que la valeur la plus probable, c'est à dire celle qu'il est le plus raisonnable d'adopter est la moyenne arithmétique. C'est cette valeur qu'on va indiquer sur la notice de fabrication. Parallèlement, le bureau d'étude souhaite savoir la précision de cette valeur. Il va donc calculer l'écart-type. Notons que dans ce cas, le dénominateur de la formule est (N-1), N étant le nombre de lampes testées. On sait que la répartition des valeurs observées est celle de la loi normale et pour vérifier ce point, il n'y a pas d'autre technique que de répartir ces valeurs en classes. Ce dernier point pourra être détaillé si certains ont besoin d'éclaircissement. On a réalisé une "expérience" qui porte sur N épreuves.

2- durée de vie. Là, la mesure consiste à mesurer le temps avant claquage. C'est une mesure destructive. La notion de moyenne n'a pas beaucoup de sens dans ce cas, une façon de le comprendre est de constater qu'on ne peut pas recommencer la même mesure avec la même lampe. La valeur recherchée est telle que la moitié des lampes claquent avant un temps T. Il y a une relation "exacte", ln(2) entre la moyenne et la médiane, alors que dans la mesure de luminosité, la valeur numérique de la médiane est égale à la valeur numérique de la moyenne, à la précision près. Si on a testé N lampes, on a réalisé une épreuve avec N lampes. La loi de cette épreuve est une loi exponentielle. On pourra indiquer le durée de demi-vie observée à partit de cette épreuve, comme on aurait pu se contenter de mesurer la luminosité d'une seule lampe pour l'indiquer sur la notice.
Cependant, le bureau d'étude souhaite connaitre la précision de cette valeur de demi-vie. Il va donc réaliser plusieurs épreuves d'un même nombre de lampes et ainsi calculer l'écart-type et éventuellement vérifier que la répartition de ces épreuves est bien celle de la loi normale.

Les expériences suivant une loi dite "sans mémoire" est que toutes les valeurs sont indépendantes. Il n'y a pas de concentration autour d'une valeur, a fortiori une moyenne. On ne peut pas calculer ou déduire une probabilité. Si on prend une lampe au hasard, il y a une chance sur deux qu'elle claque avant le temps T, mais on ne peut pas refaire l'expérience avec la même lampe : c'est la différence fondamentale qu'il y a avec un tirage à pile ou face.

Ce type d'expérience est assez courant et on connait des exercices qui mettent cela en œuvre, par exemple celui de la caissière de cinéma : le prix du billet est 5€ la file d'attente est constituée de clients qui ont des billets de 5€ ou de 10€.

Bonjour

Décidément, il semble que la notion de loi sans mémoire dans le contexte de probabilité est mal compris.

oh que oui ! Voyons ça...

la loi des grands nombres disent que la valeur la plus probable (...) est la moyenne arithmétique.

le LGN ne dit pas cela du tout.
Un exemple flagrant de ce que vous dites est faux : les lois exponentielles, voir les graphes ci-dessous.
La valeur la plus probable est le mode : c'est la définition du mode !

Dlzlogic a écrit: La notion de moyenne n'a pas beaucoup de sens dans ce cas

si si , elle a bien un sens. De même que la médiane a un sens également.

Les expériences suivant une loi dite "sans mémoire" est que toutes les valeurs sont indépendantes.

Ce n'est pas absolument pas cela.

Il n'y a pas de concentration autour d'une valeur, a fortiori une moyenne.

il y a bien une moyenne (qui vaut 1/lambda) , et il y a "concentration" autour de la valeur 0 (mode = 0 pour les lois exponentielles).

Parlons a écrit:    "la loi des grands nombres disent que la valeur la plus probable (...) est la moyenne arithmétique."

le LGN ne dit pas cela du tout.
Un exemple flagrant de ce que vous dites est faux : les lois exponentielles, voir les graphes ci-dessous.

C'est pas bien de faire une citation hors de son contexte. Cette citation était dans le paragraphe "1- luminosité" et là la loi des grands nombres s'applique : plus on fait d'essais, plus on se rapproche de la valeur vrai qui, en l'occurrence est la moyenne arithmétique.

Oui, j'ai lu des articles sur le mode en statistique. Ce serait intéressant de "démontrer" que c'est la valeur la plus "probable". Outre que ce n'est utilisable qu'avec des variables discrètes, ce serait une bonne manière de refuser le postulat de la moyenne.
   

Parlons a écrit:    Dlzlogic a écrit:
   La notion de moyenne n'a pas beaucoup de sens dans ce cas

si si , elle a bien un sens. De même que la médiane a un sens également.

On peut montrer facilement que la moyenne est la valeur la plus probable dans le cas de "lois avec mémoire", cette explication visuelle et élémentaire n'est pas possible pour une "loi sans mémoire". Pour les lois "sans mémoire", c'est la médiane qui est caractéristique. Le rapport ln(2) se démontre mathématiquement.

Dans tes explications, c'est quoi lambda ? Quand on mesure des durées de vie, où trouve-t-on la valeur de lambda ?

Il n'y a pas à prouver que le mode est la valeur la plus probable : c'est la définition du mode !
Pour les lois continues,
le mode est le maximum de la fonction de densité.

Quant au  postulat de la moyenne, c'est un postulat, c'est-à-dire que c'est une hypothèse de départ de travail... On n'a pas à le prouver !

on peut montrer facilement que la moyenne est la valeur la plus probable dans le cas de "lois avec mémoire"

c'est totalement faux, ça aussi !

Il n'y a que quelques lois de probabilité ( dont la loi normale) qui ont leur moyenne comme valeur la plus probable.
Pour la plupart des lois de probabilité, avec ou sans mémoire, la moyenne n'est pas la valeur la plus probable.

Le paramètre lambda d'une loi exponentielle et l'inverse de son espérance. Autrement dit, le paramètre lambda est l'inverse de la durée de vie moyenne.

voir l'article de Wikipédia

Parlons a écrit:Le paramètre lambda d'une loi exponentielle et l'inverse de son espérance. Autrement dit, le paramètre lambda est l'inverse de la durée de vie moyenne.

D'abord, pour mémoire, je sais lire.
Donc pour calculer une durée de vie, on va partir de la durée de vie moyenne.
Pour obtenir la durée de vie moyenne, on a besoin de lambda, qui est l'inverse de la moyenne !!
C'est l'histoire de l’œuf et la poule, on commence par quoi ?
Très nettement, tu n'as jamais simulé le calcul d'une durée de vie ! Rappelle-toi l'exercice de la caissière de cinéma. On a fait le calcul sans connaitre lambda, c'était pas marqué sur la caisse.

Autre question : sauf si c'est marqué dans l'énoncé, comment sait-on de quelle loi il s'agit ?

Autre question : sauf si c'est marqué dans l'énoncé, comment sait-on de quelle loi il s'agit ?

cette question, on peut raisonnablement en comprendre la réponse que si on connait un minimum de théorie, ce qui n'est pas votre cas.

Dlzlogic a écrit:D'abord, pour mémoire, je sais lire.

Vu toutes vos fautes techniques et lacunes, il est clair que vous ne savez pas lire les mathématiques en théorie de probabilités.

Donc pour calculer une durée de vie, on va partir de la durée de vie moyenne.
Pour obtenir la durée de vie moyenne, on a besoin de lambda, qui est l'inverse de la moyenne !!
C'est l'histoire de l’œuf et la poule, on commence par quoi ?

vous partez dans tous les sens, votre discours est totalement désordonné. C'est effarant.

Ce qui est le plus étonnant, c'est que 80% de vos phrases sont mathématiquement fausses,
ce qui est un record en soi (même les étudiants font moins d'erreurs),
mais que vous continuez comme si vous connaissiez tout ça et pas vos interlocuteurs.

Très nettement, tu n'as jamais simulé le calcul d'une durée de vie !

Question simulation, vous tombez très mal... vous ne pouvez pas savoir à quel point.
Alors là, je ris très fort, car je passe mon temps à faire des simulations de toutes sortes.
 
Simuler une durée par loi exponentielle est très facile, mais je suis certain que vous ne savez pas faire.
Montrez un peu votre compétence en la matière, cela changera un peu de vos insultes grossières.

Je vous laisse la journée de demain pour essayer de nous montrer cela (ou pas !),
et ensuite je dirai comment simuler de durée de vie par loi exponentielle, avec une moyenne de vie quelconque fixée.
Une ligne, une toute petite, suffira sans problème.

Parlons a écrit:Je vous laisse la journée de demain pour essayer de nous montrer cela (ou pas !),
et ensuite je dirai comment simuler de durée de vie par loi exponentielle, avec une moyenne de vie quelconque fixée.
Une ligne, une toute petite, suffira sans problème.

Oui, c'est ça le problème : qu'on me donne la solution je vous dirai la méthode.
Il se trouve que la préoccupation de la totalité des utilisateurs, sauf les matheux naturellement, c'est qu'ils n'ont rien à faire de résoudre un exercice : dans mon exemple des lampes, on met à leur disposition un stock de lampes et on leur demande de calculer la durée de demi-vie, pareil pour les éléments radioactifs et des tas d'autres exemples.
Donc, je confirme, si tu as besoin d'une durée moyenne pour calculer une durée de demi-vie, c'est que tu n'as jamais fait de simulation de ce genre de chose. Tu lis l'article de Wikipédia qui va bien et tu verras qu'il suffit de diviser par ln(2).

Un blabla qui montre que vous ne savez pas faire ces fameuses simulations d'une loi exponentielle. J'attends toujours avec impatience votre méthodologie, mais je crains qu'on ne voit jamais rien venir de concret, comme d'habitude.

Merci de rappeler la ratio entre médiane et espérance d'une loi exponentielle. Je n'ai pas besoin de faire de simulation pour cela.
Vous pouvez aussi me rappeler les tables Pythagore si cela vous chante...

Vous avez parlé de faire une simulation de loi exponentielle.
Alors on verra demain si vous savez faire ! J'en doute vraiment...
Ne soyez pas impatient, Je vous donnerai la formule (je l'ai sous les yeux) qui permet de simuler une expérience suivant la loi exponentielle, en fixant la médiane ou la moyenne, peut-importe, la difficulté n'est pas là du tout.

En attendant, respirez, ça ira mieux.

Bonjour
Allez, la plaisanterie a assez duré.

Dlzlogic a écrit:Très nettement, tu n'as jamais simulé le calcul d'une durée de vie !

Très nettement, tel est pris celui qui croyait prendre :
Dlzlogic ne sait pas simulé une loi exponentielle, alors que c'est très simple.

posons x = - m.ln(1-z)  où z est pris au hasard dans [0,1[ par loi uniforme : z= rand()

Alors x suit la loi exponentielle d'espérance m

Si on veut simuler la loi exponentielle de demi-vie d , alors on pose m = d/ln(2), et x = - d/ln(2) .ln(1-z)   suit la loi exponentielle de demi-vie d.

Conclusion pour Monsieur Dlzlogic :
respectez vos interlocuteurs dans toutes circonstances... et essayer de les comprendre quand ils en savent bien davantage que vous !!!
Ne reportez pas vos lacunes sur les autres. Si nous ne savez pas quelque chose, cela ne signifie pas que les autres l'ignorent aussi.
Si nous ne savez pas quelque chose, cela ne signifie pas que la chose est sans intérêt.

Pour mémoire, voilà le code de simulation d'une expérience suivant une loi exponentielle et la vérification que toute expérience suivant la même loi (même protocole) a une répartition suivant la loi normale.

Code:

int main307() // suivant 307
{
/*
La caissière a 4 billets de 5 €
50 clients ont un billet de 5€ les 50 autres un billet de 10 €
Quelle est la probabilité que la caissière satifsasse tout le monde
*/
  randomize();
  int MOY[500];
  for (int fois=0; fois<500; fois++)
  {
    int CaisseVide=0;  // la caisse est vide
    int Res[1000];  // ne concerne que le nb de billets vendus
    for (int ess=0; ess<1000; ess++)
    {
      int Bvendu=0;
      int caisse = 2;  // nombre de billets de 5€
      int Nb5=50;
      int Nb10=50;
      for( int cl=0; cl<1000; cl++)
      {
        int r=rand()%200;
        bool B10=false;
        if (r < 100) B10=true;
/*
        if (r < 100)  // c'est un billet de 10
        {
          if (Nb10 > 0)  { Nb10--;  B10=true; }
          else Nb5--;  // on sait que B10 == false
        }
        else
        {
          if (Nb5 > 0) Nb5--;
          else { Nb10--; B10=true; }
        }
*/
        if (B10 == true)
        {
          if (caisse > 0)
          {
            caisse--;  // elle rend un billet de 5€
            Bvendu++;
          }
          else
          {
            CaisseVide++;  // la caisse est vide
            break;
          }
        }
        else // c'est un billet de 5€
        {
          caisse++;
          Bvendu++;
        }
      }
      Res[ess]=Bvendu;  // nombre de billets vendus
//fprintf(espion,"nombre de billets vendus %d  Nb10=%d  Nb5=%d\n",Bvendu, Nb10,Nb5);
    } // fin des 1000 essais
//    fprintf(espion,"\nLa caisse est vide %d fois sur 1000 essais",CaisseVide);
    if (fois == 0)
      AfficheNormale(1000, Res, "\n Proportions de billet vendus  ");
    MOY[fois]=CaisseVide;
  } // fin des 100 fois
  AfficheNormale(500, MOY, "\n Proportions de Caisse-vide : moyennes sur 500x1000  ");
  fclose(espion);
  return 0;
}


Pour info, le numéro d'ordre 307 signifie que c'est le 307è petit programme que j'écris dans le cadre de discussion. Maintenant j'en suis à plus de 500.

Pour reprendre ton expression, ce n'est pas parce que tu ne sais pas quelque-chose que ce n'est pas vrai.

Oh, un programme qui sort de nulle part !

Informatiquement, la formule pour simuler une loi exponentielle prend une ligne :  x = -m . ln(1- rand () ) = -d/ln(2) . ln(1- rand () )
Votre code est donc une horreur pédagogique.

Les maths, ce n'est pas des pages et des pages de code informatique.

Je n'ai aucune envie de lire du code pour comprendre un truc aussi simple que la loi exponentielle.

EDIT :
en fait, je l'ai parcouru par simple curiosité.  C'est vraiment terrible, des boucles, des conditions, etc
...et la loi exponentielle dans tout cela ?? Il n'y a pas un seul réel, pardon flottant, dans votre programme.
Au mieux, il y aura quelque part la loi géométrique tronquée.

C'est typiquement le genre de méthode (des pages et des pages de code, pour faire quoi au final... ??? )
qu'il faut éviter si on veut comprendre quelque chose en proba-stat.
Un petit programme bien écrit, juste pile comme il faut, avec les bons outils, oui bien sûr.

Maintenant tout est clair.
Pour toi, les probabilités ne sont qu'un chapitre des maths. Que les matheux se soient accaparés ce chapitre des probabilité, ce n'est pas mon problème. Je n'ai aucune idée de la raison de cela, simplement, je constate que les probabilités, c'est à dire ces notions utiles ne sont pas abordées.
Quand j'ai parlé de simuler une expérience suivant la loi exponentielle, il ne s'agissait naturellement pas d'appliquer une formule, mais de simuler une expérience telle que l'étudiant moyen puisse observer que le résultat a une répartition suivant une fonction exponentielle.

Pour résumer, en gros et dans le monde réel, il y a deux types d'expériences, c'est à dire deux types de variables aléatoires (variable aléatoire = fonction), les variables aléatoire avec mémoire et les variables aléatoires sans mémoire.
Les premières ont une répartition normale, les secondes ont une répartition exponentielle.
J'ai constaté que les matheux ont réussi à découper tout cela en rondelles en oubliant soigneusement les notion fondamentales.
Autre point important, quand on parle de simuler une expérience quelconque, le jeu ne consiste pas à appliquer la formule, mais à mettre en œuvre, avec les outils informatiques dont on dispose, de façon à obtenir un résultat conforme à ce qui est enseigné, c'est à dire vérifier les formules. Toi, tu fais l'opération inverse, c'est à dire, "je connais la formule, donc je l'applique".

Parlons a écrit:Oh, un programme qui sort de nulle part !

J'ai écrit ce programme à l'occasion de l'exercice proposé par Gbzm. Il est très probable que j'en ai fait une copie sur le forum, en plus de l'affichage des résultats.
J'ai bien aimé ta distinction entre loi géométrique et loi exponentielle ! Quand on fait une expérience de comptage, l'opérateur ne se préoccupe pas du nom de la loi : il compte et note.

Dlzlogic a écrit:Maintenant tout est clair.

Tant mieux si la théorie des probabilités est claire maintenant.  

Les formules simples comme celle que j'ai donnée, on les retrouve facilement quand on comprend de quoi il s'agit :
une intégrale à calculer et une équation à résoudre, pas de mystère.
Et pour la loi exponentielle, c'est extrêmement simple, en deux lignes !
Encore une fois, ce que vous ignorez ne l''est pas forcément des autres intervenants :
la formule donnée, la justification de la formule, comment la retrouver quand on ne la connait pas, etc.

Mais vous, vous cumulez les lacunes :
pas de connaissance de formules (au delà de la moyenne), pas de connaissances théoriques.
Même les deux formules (d'estimateurs) d'écart-type, vous ne savez pas d'où elles viennent et à quoi elles correspondent réellement. C'est dire.

simuler une expérience telle que l'étudiant moyen puisse observer que le résultat a une répartition suivant une fonction exponentielle.

C'est justement ce que les étudiants apprennent à faire, avec pleins d'autres choses au delà de ces questions de base (qui sont nécessaires j'en conviens).
Il se trouve que la simulation que vous demandez ne nécessite qu'une seule ligne, alors que vous imaginez tenir un trésor là-dedans avec votre programme.
Déception pas facile à gérer, je comprends.

Dlzlogic a écrit: Que les matheux se soient accaparés ce chapitre des probabilité, ce n'est pas mon problème. Je n'ai aucune idée de la raison de cela, simplement, je  constate que les probabilités, c'est à dire ces notions utiles ne sont pas abordées.

Les probabilités ne sont pas abordées dans le chapitre Probabilités ?!

Les probabilités ont toujours été travaillées par des matheux, depuis Pascal jusqu'à nos jours.
Bien sûr, beaucoup de scientifiques les utilisent,  et c'est aussi avec/pour eux que la théorie avance (comme la géométrie, l'algèbre, etc).

l'opérateur ne se préoccupe pas du nom de la loi : il compte et note

Pour vous, les probas-stat se résument à du comptage, un calcul de fréquence et de moyennes, sans s'occuper de la théorie. C'est vraiment pauvre et dangereux.


On commence comme cela, oui, mais ensuite il faudrait quitter l'âge de pierre, non ?
Heureusement que les ingénieurs n'en sont pas restés à votre niveau de comptage.
Quand on connait un peu de théorie, on raisonne un peu plus, et on compte un peu moins, on aborde des questions plus utiles et intéressantes.

Ces notions utiles (au delà du calcul de comptage, fréquences et de moyennes que vous réalisez avec de beaux programmes !)
sont largement abordées dans les formations de mathématiques appliquées, mais vous ne connaissez pas tout cela, loin de là.

Allez, je vous souhaite un bon petit délire sur votre rocher (= une grosse pierre, ça tombe bien) avec les lois de probabilité !!!
Respirez, ça ira mieux.

Pour être clair, je vais donner un autre exemple de simulation. Le but est naturellement de faire une expérience qui vérifie la théorie.
Soit l'expérience à vérifier : la chute des corps est représentée/numérisée par une fonction parabolique.
Je n'ai pas trouvé de méthode via l'informatique. Si on demande à Parlons de simuler la chute d'un corps, il va faire un programme de deux ou trois lignes et va appliquer la formule bien connue y=x², avec éventuellement des constantes. Je ne sais pas s'il sera content, mais au moins il sera sûr d'avoir fait une simulation. Moi, je vais prévoir un système où une bille tombe et ses différentes positions seront photographiées, avec un obturateur régulier, de façon à pouvoir mesurer les positions de la bille.

Un autre exemple. Je veux vérifier la forme de la courbe de Gauss. Je vais écrire un programme qui simule la chute de billes et change de sens, aléatoirement à chaque étage, et je regarde le nombre de billes dans les godets. Parlons aurait tout simplement dessiné la courbe de Gauss à partir de la formule bien connu et aurait ajouté : "Voila, moi je connais la théorie et j'ai fait la simulation voulue".