Lois sans mémoire et les autres.

Bonjour,
C'est un sujet qui a été évoqué ces temps-ci et je voudrais préciser les choses.
Il me semble assez simple de définir une loi sans mémoire.
On dispose d'un stock d'objets d'un certain type, par exemples des ampoules électriques provenant de la même fabrication, des composants électroniques identiques, des éléments radioactifs. On considèrent que ces éléments ne s'usent pas au cours du temps, mais qu'ils ne sont pas éternels, mais qu'ils "claquent" ou meurent inévitablement. La préoccupation est de mesurer ou plutôt "estimer" leur durée de vie.
La caractéristique cette expérience est qu'elle est destructrice, c'est à dire que l'élément qui a permis cette mesure est perdu : il est détruit, par définition. On a obtenu une valeur. Ce n'est naturellement pas suffisant pour faire une statistique, donc on recommence l'expérience à partir du même stock, par exemple, une dizaine de fois. On en tire une moyenne et surtout une médiane, ce qui donne la durée de "demi-vie". Rappelons qu'il y a un rapport constant (ln2) entre la médiane et la moyenne.
Une autre expérience qui entre dans ce cadre : le problème de la caissière de cinéma. Quand la caisse ne contient plus de billets de 5€ pour rendre la monnaie, la caisse est fermée.

Si une loi n'est pas définie comme "sans mémoire", alors ont peut dire que c'est une loi de probabilité "avec mémoire".
Le cas le plus simple est celui du tirage à pile ou face. Comme la pièce est équilibrée, on sait que le nombre de pile sera voisin du nombre de face à tout moment. Dans ce cas, et contrairement aux lois sans mémoire, les résultats passés seront à prendre en compte concernant la prévision des résultats futurs. Cela pourrait être une façon d'utiliser la notion de non-indépendance, si chère à certains, avec la fameuse locution "sachant que". Et il est certain que réaliser l'expérience avec les mots de 7 issues consécutives de pile ou face, telle que je l'ai décrite, préciserait le caractère concret et réel de la théorie.

Bonjour Dlzlogic,
Double erreur dans votre message :

1°)

Il me semble assez simple de définir une loi sans mémoire.
...
Une autre expérience qui entre dans ce cadre : le problème de la caissière de cinéma.

Je recopie la définition de "variable aléatoire sans mémoire donnée sur le très bon site Bibm@th.net :

Bibm@th a écrit:Définition : Une variable aléatoire X, à valeurs dans R+, est dite sans mémoire si elle vérifie, pour tous x,y≥0, l'identité : P(X>x+y | X>y) = P(X>x).

Autrement dit, si X est une durée de vie : la probabilité de vivre au moins encore x années supplémentaires, sachant qu'on a déjà vécu y années, est égale à la probabilité de vivre  au moins x années. La mémoire des y années passées ne compte pas.
Le bon sens indique que ce n'est pas le cas pour la caisse de la caissière de cinéma.

2°)

Le cas le plus simple est celui du tirage à pile ou face. Comme la pièce est équilibrée, on sait que le nombre de pile sera voisin du nombre de face à tout moment. Dans ce cas, et contrairement aux lois sans mémoire, les résultats passés seront à prendre en compte concernant la prévision des résultats futurs.

Les résultats futurs sont totalement indépendants des résultats passés. Si on refuse cela, c'est qu'on refuse l'équiprobabilité des 2ⁿ suites de n tirages à pile ou face.

Vous allez encore trouver que je ne fais rien d'autre que vous contredire. J'aimerais bien être d'accord avec vous. Mais je ne peux pas m'empêcher de corriger d'aussi grossières erreurs. Imaginez qu'un lecteur ou une lectrice innocente vous croie sur parole. Ça serait très dommageable pour sa formation scientifique, il est donc dans mon devoir de scientifique de corriger.

Bonjour Humx3,
On est exactement dans le contexte vos affirmations et certitudes contre mes argumentations et vérifications.
D'abord, la loi sans mémoire. Il est surprenant que dans la définition que vous citez il y a la notion "sachant que", alors justement cette loi s'applique lorsque les résultats précédents n'ont aucune influence sur les résultats à venir.
La conclusion de cette loi est celle-ci : si T est la durée de demi-vie d'un certain type d'élément, alors la probabilité de durée de vie supérieure à T, pour un élément de ce type, est égale à 1/2.
La définition que vous citez implique la connaissance d'une situation immédiate et ponctuelle, ce qui ne représente pas un grand intérêt, avouons-le.
En fait, c'est généralement compris comme une loi négative : "ce n'est pas parce que tel évènement n'est pas encore arrivé qu'il a plus de chance d'arriver".

D'après votre remarque sur la loi "avec mémoire", vous décrivez exactement la situation des lois sans mémoire. En effet, dans le contexte de ces lois avec mémoire, on sait et on le vérifie, que à tout instant la probabilité rattaché à l'expérience et non à l'épreuve suivante, comme vous semblez le comprendre, sera satisfaite.
Faites donc le test des nombres binaires des 7 issues de pile ou faces pour vous en convaincre.

J'ai relu l'article de Wikipédia de "loi sans mémoire". Il est sans intérêt. Par contre l'article "loi exponentielle" est complet.

Désolé, mais il n'y a absolument aucune argumentation scientifique dans ce que vous écrivez. Les deux erreurs de votre premier message sont bien des erreurs qui demandent à être corrigées.

Concernant votre première erreur, à propos de la caissière de cinéma, ou des marches aléatoires (c'est la même chose), permettez moi de vous poser ces questions :
- On considère une marche aléatoire symétrique partant du niveau 2. À chaque pas on ajoute 1 ou on retranche 1 avec même probabilité 1/2. On est mort quand on arrive à 0.
- Quelle est la probabilité qu'au bout de 10 pas on ne soit jamais arrivé à 0 (toujours "en vie") ?
On suppose ne pas être revenu à 0 au bout de 10 pas. Quelle est la probabilité qu'au cours des 10 pas suivants on ne soit toujours pas arrivé à 0 (toujours "en vie") ?
- Est-ce que la durée de vie suit dans cette situation une loi sans mémoire ?

Concernant votre deuxième erreur, à propos du fait que les tirages à pile ou face passés seraient selon vous à prendre en compte concernant la prévision des résultats des tirages futurs.

Faites donc le test des nombres binaires des 7 issues de pile ou faces pour vous en convaincre

Convaincre de quoi ?  Que les 2ⁿ suites de n tirages à pile ou face ne sont pas équiprobables ?
Êtes vous ou non d'accord qu'ils sont équiprobables ?

Il est clair que la marche aléatoire est exactement dans le même contexte que le jeu à pile ou face.

Ce qui caractérise les lois sans mémoire est que ce qui termine l'expérience est un motif extérieur à la variable elle-même, en particulier indépendant de la moyenne courante.

Pouvez-vous préciser votre réponse ?
Durée de vie d'une marche aléatoire partant du niveau 2 ou "durée de vie" de la caissière qui a au départ un billet de 5 € en caisse, c'est la même chose, n'est-ce pas ?
J'affirme que cette durée de vie n'a pas une loi sans mémoire, n'est pas une loi géométrique. Vous êtes d'accord ou vous n'êtes pas d'accord ?

@ Beagle,
Oui, ta vidéo est pas mal, mais la propriété qui est expliquée est présentée par ailleurs comme une démonstration.
Elle fait intervenir la probabilité conditionnelle, à quel titre.?
Ma question : cette "démo" contredit-elle ce que j'ai dit par ailleurs ?

Il y a une chose certaine : la courbe représentative d'une loi sans mémoire est très différente de celle d'une loi uniforme, telle que vous le décrivez avec la marche aléatoire.
Essayez de réfléchir un peu au lieu d'essayer de me piéger. En tout cas votre attitude n'est pas digne de celle d'un scientifique.
Bien-sur, vous refusez de faire les simulation que je propose.

Vous répondez à côté des questions que je vous pose.
De quelle loi uniforme parlez-vous à propos de la marche aléatoire ?
Je ne refuse rien. On fait une simulation pour vérifier quelque chose qu'on affirme. Je demande de savoir ce que vous voulez montrer, de façon précise, avec une simulation.
Moi, je vous propose de faire la simulation suivante et je dis précisément ce que j'entends vérifier avec cette simulation :
Tirer au hasard 7 bits et prendre le nombre dont c'est l'écriture binaire, ça revient à tirer au hasard un nombre entre 0 et 127.
Je vais tirer 128000 fois un nombre entre 0 et 127 au hasard, et je note les scores des 128 nombres. En moyenne chaque nombre devrait sortir 1000 fois. Il y aura des nombres en retard, des nombres en avance. Je fais ensuite 128000 nouveaux tirages et je regarde parmi les 128 nombres ceux qui auront corrigé leur écart à la moyenne et ceux qui auront accentué cet écart. J'affirme que ceux qui auront accentué seront aussi nombreux que ceux qui auront diminué (64 avec écart-type de 5.5).

Oh, la marche aléatoire, c'est tr-s simple : le même individu parcourt un certain trajet, les yeux bandés. Pour chaque pas il a 4 solutions possible, comme avec un dé à 4 faces. Cette exemple du dé équilibré est connu pour suivre une loi uniforme.

L'intérêt de cette simulation est de vérifier qu'une expérience avec une pièce équilibrée, on peut vérifier que la répartition des écarts à la moyenne est celle de la répartition de la loi normale. On peut aussi, si on veut, vérifier la loi des grands nombres, mais ce n'est le but le plus important.

Manifestement, vous cherchez à détourner la question, c'est pas très joli.

PS votre expérience en tirant 128 nombres a été faite par Gbzm avec 1000 nombres et plusieurs sources. Avant de parler de nombres restons-en au tirage pile ou face.

L'intérêt de cette simulation est de vérifier qu'une expérience avec une pièce équilibrée, on peut vérifier que la répartition des écarts à la moyenne est celle de la répartition de la loi normale

Personne ne conteste ça. Personne ne conteste le théorème central limite. Mais ça n'est pas du tout un argument en faveur de votre affirmation erronée que "les résultats passés seront à prendre en compte concernant la prévision des résultats futurs". Bien au contraire : si vous relisez votre cours de Levallois, vous pourrez voir que sa démonstration du TCL dans un cas particulier repose sur l'équiprobabilité des 2ⁿ suites de n tirages à pile ou face.
Or cette équiprobabilité est bien évidemment complètement contradictoire avec votre affirmation erronée.

La simulation que je propose vérifie justement que les résultats futurs ne dépendent absolument pas des résultats passés. On comprend bien pourquoi elle ne vous plait pas : vous tenez à vos dogmes erronés, envers et contre la réalité.

Pour mémoire, Levallois ne parle du TCL.
Il démontre la validité de la formule de la loi normale.
Vos sous-entendus et "vous tenez à vos dogmes erronés, envers et contre la réalité." sont choquant et insultant.

Voici la simulation annoncée :

Code:

import random as rd

def simul_pour_dlz(n) :
    # tableau des scores
    sc=128*[0]
    # les 128*n premiers tirages
    for _ in range(128*n) :
        nb=rd.randrange(128)
        sc[nb]+=1
    # écarts à la moyenne après 128*n tirages
    ecart1 = [s-n for s in sc]
    # les 128*n tirages suivants
    for _ in range(128*n) :
        nb=rd.randrange(128)
        sc[nb]+=1
    # écarts à la moyennes à la fin
    ecart2 = [s-2*n for s in sc]
    # comptage des corrections
    corrige=0
    for i in range(128) :
        if ecart1[i] * (ecart2[i]-ecart1[i]) < 0 :
            corrige+=1
    # affichage
    print("Écart corrigé pour {} nombres, accentué pour {}".\
         format(corrige,128-corrige))

Faisons tourner 20 fois :

Code:

for _ in range(20) :
    simul_pour_dlz(1000)

Écart corrigé pour 58 nombres, accentué pour 70
Écart corrigé pour 66 nombres, accentué pour 62
Écart corrigé pour 53 nombres, accentué pour 75
Écart corrigé pour 75 nombres, accentué pour 53
Écart corrigé pour 66 nombres, accentué pour 62
Écart corrigé pour 61 nombres, accentué pour 67
Écart corrigé pour 65 nombres, accentué pour 63
Écart corrigé pour 67 nombres, accentué pour 61
Écart corrigé pour 65 nombres, accentué pour 63
Écart corrigé pour 63 nombres, accentué pour 65
Écart corrigé pour 62 nombres, accentué pour 66
Écart corrigé pour 60 nombres, accentué pour 68
Écart corrigé pour 64 nombres, accentué pour 64
Écart corrigé pour 64 nombres, accentué pour 64
Écart corrigé pour 59 nombres, accentué pour 69
Écart corrigé pour 63 nombres, accentué pour 65
Écart corrigé pour 60 nombres, accentué pour 68
Écart corrigé pour 57 nombres, accentué pour 71
Écart corrigé pour 72 nombres, accentué pour 56
Écart corrigé pour 64 nombres, accentué pour 64

Conclusion : on ne voit aucune influence des 128000 premiers tirages sur les 128000 suivants, contrairement à l'affirmation "les résultats passés seront à prendre en compte concernant la prévision des résultats futurs.". Ceci tombe d'ailleurs sous le sens. Nul doute par ailleurs que les scores ont une répartition normale.

Oui, si c'est bien compris vous vérifiez qu'une affirmation est fausse.
Quand essayerez-vous de vérifier que quelque-chose est vrai, il me semble que ce serait plus constructif.
Mais rassurez-vous ça fait un bout de temps que j'ai compris que vous ne cherchez qu'à montrez que quelque-chose que vous ne connaissez pas est fausse. Il semble que c'est la nouvelle démarche scientifique.
Je vais soigneusement vérifier vos interventions.
Très ennuyeux.

J'ai vérifié que mon affirmation

J'affirme que ceux qui auront accentué seront aussi nombreux que ceux qui auront diminué (64 avec écart-type de 5.5).

est tout à fait correcte. C'est très positif, non ?

Je fais une autre affirmation positive, concernant la caissière de cinéma :
45% des caissières qui commencent avec un seul billet de 10 € ont une durée de vie au moins égale à 10 (peuvent servir, en rendant la monnaie, au moins 10 clients).
Si la durée de vie était sans mémoire, c.-à-d. si sa loi était géométrique, on devrait en déduire que 45% * 45% = 20% des caissières ont une durée de vie au moins égale à 10+10 = 20. Or, c'est 34% des caissières qui ont une durée de vie au moins égale à 20. Dans ce métier, plus on vit et plus on a de chances de continuer à vivre !
La durée de vie des caissières n'est pas sans mémoire.

Vous avez raison, vérifiez soigneusement mes interventions. Vous verrez que je n'écris que des choses parfaitement exactes. N'y passez pas la nuit tout de même. Si vous voulez des explications sur certains points, j'essaierai de vous les donner.
À demain

Une loi sans mémoire est caractérisée par le fait que l'expérience se termine, c'est à dire qu'on dispose d'une information supplémentaire, si un élément extérieur fait cesser la mesure.
Je pense que l'expérience des ampoules ou des éléments radioactifs sera plus facile à comprendre pour vous.
Relisez soigneusement l'article de Wikipédia "loi exponentielle". Je sais bien que c'est plus compliqué que l'article "loi sans mémoire".
Bon courage.

Une loi sans mémoire est caractérisée par le fait que la probabilité de vivre au moins x années de plus quand on a déjà vécu y années est égale à la probabilité de vivre au moins x années.
La durée de vie de la caissière n'a pas une loi sans mémoire.

Bonjour,
Essayons de voir calmement et sans a priori l'utilité et donc le but de la loi sans mémoire en prenant l'exemple des ampoules électriques.
Il est connu qu'une ampoule électrique, quand elle claque, il faut la remplacer. Il est clair aussi que l'étude du stockage du matériel de remplacement est une préoccupation pour le responsable technique.
Il y a donc une première phase qui consiste à mesurer la durée de vie des ampoules. On a observé que certaines ampoules claquent vite, d'autres moins vite. Sur un certain nombre d'ampoules, quel que soit leur nombre, puisque l'expérience peut s'arrêter quand on estime que le résultat est satisfaisant, on note leur durée de vie. On observe que c'est une courbe pas du tout symétrique, c'est une courbe exponentielle. L'article de Wikipédia concerné est très complet. Au bout de cette étude réalisée par le fabricant, on connait la durée de demi-vie des ampoules de ce type.
Le responsable technique, connaissant cette information et la quantité d'ampoules qu'il a à gérer, pourra en déduire le volume de son stock à réserver aux ampoules.
Pour l'anecdote, l'ampoule aussi intelligente qu'elle soit, ne va pas calculer sa probabilité de survie en fonction du temps d'allumage déjà fourni.
Pour reprendre la propriété sous forme de définition, la caissière de cinéma a pu rendre la monnaie à 25 clients n'implique en aucun cas qu'elle pourra encore rendre la monnaie aux 25 clients suivant.

Lisons la page wikipedia sur la loi exponentielle, au paragraphe des ampoules LED :

Wikipedia a écrit:Imaginons que T représente la durée de vie d'une ampoule à LED avant qu'elle ne tombe en panne : la probabilité qu'elle dure au moins s + t heures sachant qu'elle a déjà duré t heures sera la même que la probabilité de durer s heures à partir de sa mise en fonction initiale. En d'autres termes, le fait qu'elle ne soit pas tombée en panne pendant t heures ne change rien à son espérance de vie à partir du temps t.

C'est exactement la définition de loi sans mémoire qui figure dans la vidéo mise en lien par Beagle, exactement celle que j'ai donnée plus haut.
Ce n'est pas le cas pour la caissière de cinéma. La probabilité qu'elle puisse servir 25 clients est plus petite que la probabilité qu'elle puisse servir 25 clients supplémentaires si elle a déjà servi 25 clients. La "durée de vie" de la caissière n'a pas une loi sans mémoire. Je peux le démontrer, et faire une simulation qui vérifie ce fait. Vous ne pouvez sans doute pas le démontrer parce que vous ne maîtrisez pas les outils pour, mais vous pouvez sans doute faire une simulation pour le vérifier.

Oh, mais je vous en prie, démontrez, simulez, mais n'affirmez pas sans argumentation sérieuse.

Ce n'est pas le cas pour la caissière de cinéma. La probabilité qu'elle puisse servir 25 clients est plus petite que la probabilité qu'elle puisse servir 25 clients supplémentaires si elle a déjà servi 25 clients.

Ca, cela reste à être justifié !! Peut-être avez-vous simplement oublié que le problème de la caissière réside tout simplement dans sa possibilité de rendre la monnaie de 5€ à un client qui lui présente un biller de 10€.

La démonstration consiste en un calcul qui repose sur le principe de réflexion de Désiré André, qui est présenté par exemple ici :
https://idpoisson.fr/berglund/probamass_html/node15.html
et dans beaucoup d'autres documents sur les marches aléatoires.

Je rappelle la situation : il y a au début 1 billet de 5€ dans la caisse. Le ticket d'entrée coûte 5€. Les clients se présentent avec un billet de 5€ (proba 1/2) ou de 10€ (proba 1/2). Pour chaque client avec 5€, le nombre de billets de 5€ dans la caisse augmente de 1. Pour chaque client avec 10€, le nombre de billets de 5€ dans la caisse diminue de 1. Il s'agit donc bien d'une marche aléatoire unidimensionnelle symétrique. La caisse est "morte" quand  le nombre de billets de 5€ arrive à -1, c.-à-d. quand la caisse était à 0 billet de 5€ et qu'il se présente un client avec 10€.

L'application du principe de Désiré André montre que la probabilité que la caissière puisse servir au moins 2n clients est

Application numérique :
- pour n=5, la probabilité que la caissière puisse servir au moins 10 clients est 45,1%
- pour n=10, la probabilité que la caissière puisse servir au moins 20 clients est 33,6%
- la probabilité que la caissière qui a déjà servi 10 clients puisse en servir au moins 10 supplémentaires est donc 33,6% / 45,1% = 74,6%, beaucoup plus que la probabilité au départ de servir au moins 10 clients.
Ceci démontre que la "durée de vie" de la caisse n'a pas une loi sans mémoire.

Je vous engage à faire une simulation pour vérifier les pourcentages que j'ai établis ci-dessus.

Oui, on peut naturellement raisonner comme cela, pourquoi pas puisque c'est un exerce théorique et donc abstrait.
J'ai déjà entendu parler du principe de Désiré André, je ne sais plus à quel propos et j'ai vite oublié, puisque le but de celui qui l'utilisait était simplement de "prouver" que c'est pas vrai.

Revenons à la "démonstration" de la loi sans mémoire. Si je traduis cette démonstration, cela pourrait être "sachant X la situation actuelle, alors on s'en fiche de X puisque X n'a aucune influence sur le résultat à venir".

A contrario, soit l'expérience de pile ou face, sachant X le score actuel de pile par rapport à face, on s'en fiche de X puisque la probabilité de X est dans ses gènes, c'est à dire 1/2. Puisqu'on parle de "loi sans mémoire" cette loi doit être considérée "avec mémoire", or on m'a dit que le pièce n'avait pas de mémoire, alors de quelle mémoire parle-t-on ?

Tout ça est un peu flou, vous ne trouvez pas, ou c'est plutôt la technique actuelle "en mathématiques, c'est comme on veut".

Pouvez-vous me dire la différence entre la marche aléatoire unidimensionnelle et le tirage à pile ou face.
Si vous faites une simulation de caissière de cinéma, vous obtiendrez une fonction exponentielle, de la même façon qu'avec les lampes ou les éléments radioactifs.

Je viens de lire l'article sur le principe de réflexion, c'est très intéressant, puisque en s'aidant de ce principe l'auteur démontre que la loi des grands nombres, c'est du pipeau. Vraiment étonnant.

Arrêtez les diversions, s'il vous plait.

Si vous faites une simulation de caissière de cinéma, vous obtiendrez une fonction exponentielle, de la même façon qu'avec les lampes ou les éléments radioactifs.

Je l'ai faite. Pourquoi ne la faîtes-vous pas vous-même ? Est-ce trop difficile pour vous ? Craignez-vous que les résultats confirment ce que j'ai démontré ?