A propos de générateurs.

Hun a écrit:Pourriez vous préciser clairement, précisément, l'énoncé de ce postulat ?
Est-ce le théorème de la loi des grands nombres comme le dit Dattier ici :
forums.futura-sciences.com/discussions-scientifiques/879849-postulat-de-moyenne-raisonnable.html

Apparemment vous ne suivez pas vraiment le messages que j'écris.
Mais, pas de souci, je peux répéter ce que j'ai déjà dit.

Bon, je suis dans un bon jour.
Postulat de la moyenne.
Soit un certain nombre de mesures qu'une même chose, la moyenne arithmétique des différentes valeurs des mesures est la valeur la plus probable de la chose mesurée.
Le sens de "le plus probable" est ce qui a la plus grande probabilité d'être proche de la valeur vraie.

Loi des grands nombres.
Soit un ensemble de mesures d'une chose suivant la même procédure, on dit aussi "même loi" ou "même protocole", la valeur moyenne de ces mesures tend vers la probabilité relative à cette mesure de la chose concernée.

Ces deux notions sont différentes. Le postulat de la moyenne n'est pas démontré, contrairement à la loi des grands nombres. Naturellement, en faisant référence à un mémoire de Lévy, il s'agit de ce que certains appellent "Loi forte des grands nombres".

Dlzlogic a écrit:Bonsoir Hun,
Je trouve que vos propos sont toujours négatif et la plupart du temps pour me contredire systématiquement et sans argument.

Vous ne lisez donc pas les arguments, les illustrations, les exemples qu'on vous donne. C'est particulièrement négatif de votre part.

Où voyez vous de la diffamation dans mes propos ?

Dlzlogic a écrit:
Postulat de la moyenne.
Soit un certain nombre de mesures qu'une même chose, la moyenne arithmétique des différentes valeurs des mesures est la valeur la plus probable de la chose mesurée.
Le sens de "le plus probable" est ce qui a la plus grande probabilité d'être proche de la valeur vraie.

Merci.
Oui la locution "la plus probable" est assez critiquable (puisque les valeurs n'ont pas été attribuées à des probabilitéd), mais on peut imaginer l'idée de "précision".

C'est bien un postulat, donc non démontré comme vous le dîtes.
Certaines situations réelles (déjà rencontrées) ne sont pas en adéquation avec ce postulat. Ce postulat s'inscrit donc dans un cadre restreint de mesures, et ne peut servir de base à toute la théorie des probabilités, dont l'impact est tout à fait général, allant bien au-delà des mesures. (Informatique, médecine, économie, etc.)

C'est pour ne pas avoir un cadre trop restreint (et sans avoir de paradoxe)  qu'il est important de choisir les bons axiomes d'une théorie qui se veut générale.

Petit exemple d'application de la loi des grands nombres, le jeu de pile ou face.
A l'évidence avec une pièce équilibrée, la probabilité de Pile pour un grand nombre de tirages est 1/2.
Lors d'un jeu, si Pile est en retard, la probabilité que le coup suivant soit Pile est supérieur à face.

@ Hun
Il serait bon que vous relisiez le cours de Jacques Harthong.

Dlzlogic a écrit:Il serait bon que vous relisiez le cours de Jacques Harthong.

Pourquoi répétez-vous ainsi les conseils que HumHumHum (et d'autres personnes) vous ont déjà plusieurs fois adressés ? Passons...

Dlzlogic a écrit:Petit exemple d'application de la loi des grands nombres, le jeu de pile ou face.
A l'évidence avec une pièce équilibrée, la probabilité de Pile pour un grand nombre de tirages est 1/2.
Lors d'un jeu, si Pile est en retard, la probabilité que le coup suivant soit Pile est supérieur à face.
 

Disons que la fréquence de Pile pour un grand nombre de tirages est proche de 1/2. Oui.

Vous affirmez que la probabilité d'obtenir un pile dépend des tirages précédents. Étonnant... Alors discutons en.

Je sors une pièce de monnaie équilibrée de ma tirelire, je m'apprête à la lancer une fois.
Quelle est la probabilité qu'elle fasse pile :
1/2 ?
Davantage que 1/2 ?
Moins que 1/2 ?
On ne peut pas savoir ?

Je suis très curieux de connaitre votre réponse.

Il y a des moments où je me demande si vous êtes vraiment un individu normal.
Celui dont vous êtes inspiré pour votre pseudo pourrait peut-être avoir une idée.

Je suis désolé mais je lis ce que vous écrivez. Ce n'est peut-être pas réciproque...

À votre propre initiative, vous avez affirmé que la probabilité d'obtenir un pile dépend des tirages précédents.

Je sors une pièce de monnaie équilibrée de ma tirelire, je m'apprête à la lancer une fois.
Quelle est la probabilité qu'elle fasse pile :
1/2 ?
Davantage que 1/2 ?
Moins que 1/2 ?
On ne peut pas savoir ?

Question simple.
Une réponse simple et courte sera la bienvenue. Merci..

Oui, c'est la question classique.
La loi de grands nombres comporte le qualificatif "grand". Vous sortez un pièce de votre poche, si vous évoquez la loi des grands nombres, c'est que vous avez beaucoup de pièces dans votre poche, donc, que vous êtes riche, alors votre place n'est pas ici comme membre multi-pseudo sur ce forum. Je suppose qu'il y a d'autre forum où vous aurez mieux vote place et surtout, où vous serez mieux accueilli.

Bonjour
Ma question est classique, oui,  mais votre non-réponse est un peu agressive. Pourquoi ? parce qu'on essaie de discuter de vos idées exposées sur ce forum ?

Je n'ai jamais évoqué la loi des grands nombres dans ma question élémentaire. C'est vous qui en parlez pour définir la probabilité d'une pièce équilibrée :

A l'évidence avec une pièce équilibrée, la probabilité de Pile pour un grand nombre de tirages est 1/2

Ce qui, comme vous l'expliquez, ne permet pas de savoir la probabilité sur un seul essai. Et pourtant, la réponse à ma question est classique, comme vous dites.

Par exemple JJ Levallois a écrit :

c'est bien écrit : pile ou face, il n'y a aucune raison de prévoir l'arrivée de l'un plutôt que l'autre, les deux événements sont de mêmes probabilités.
Aucune référence à la loi des grands nombres qui arrivent bien plus loin dans son cours.


Qui plus est, dans le livre de J. Harthong, première page :

Roulette ou pièce de monnaie, il est bien expliqué que, si la probabilité d'obtenir Pile ou Face est supérieur à 1/2, cela impliquerait un privilège de la Fortune (qui agirait secrètement) ou que la pièce est truquée (ce qui est contraire à l'hypothèse).
Ici encore, aucune référence à la loi des grands nombres qui arrivent bien plus loin dans le livre.

Apparemment, la réponse est que les probabilités de Pile ou Face sont bien égales (à 1/2), quel que soit le nombre de lancers, quel que soit le nombre de pièces, sans évoquer la loi des grands nombres, sans évoquer de retard, etc. D'où un certain étonnement quand on lit ceci :

Lors d'un jeu, si Pile est en retard, la probabilité que le coup suivant soit Pile est supérieur à face.

Bonne journée.

Bonjour Dlzlogic,

Dlzlogic a écrit:Lors d'un jeu, si Pile est en retard, la probabilité que le coup suivant soit Pile est supérieur à face.

Cela ne vous gène pas de contredire J-J. Levallois ?

Bonjour,
Comme Hun et Humx3 le précisent bien, ces égalités de probabilités entre Pile et Face sont écrites par les auteurs au niveau de l'analyse combinatoire.
A vous lire, la loi des grands nombres n'a rien à voir avec la probabilité d'évènements aléatoires.
Alors, à quoi sert-elle ?
Et en particulier pourquoi avoir inventé une loi faible ? S'il vous plait, je voudrais au moins un exemple.

Je répète ma question :
Avec votre affirmation, vous contredisez ce qu'écrit J-J. Levallois. J-J. Levallois écrit que pour tout n et tout p, la probabilité d'obtenir p piles en n tirages est 1/2ⁿ * C_n^p.
Cela ne vous gène pas de contredire J-J. Levallois?

C'est vous qui affirmez que je contredis JJ Levallois.
Par ailleurs, vous vous gardez bien de répondre aux question que je pose.

J'essaye de traduire votre position : l'égalité des probabilités entre pile et face est un axiome permanent, il est gravé dans le marbre. La loi des grands nombres dit que pour un certain nombre de lancés, le score tendra vers 1/2. Ca, vous ne voulez pas le savoir, c'est le futur, la pièce n'a qu'à se débrouiller , à condition par ailleurs que soit vrai, et ça, à priori c'est impossible à savoir. Quand à tout ce qui s'est passé en début de partie, c'est du passé, c'est oublié, n'en parlons plus. Soutenez votre argumentation auprès de statisticiens ou de contrôleurs de qualité ce sera plus utile..

Dlzlogic a écrit:C'est vous qui affirmez que je contredis JJ Levallois.

Chacun pourra lire Levallois et comparer à vos propos.  On ne peut rien faire de plus à ce niveau là.

Dlzlogic a écrit:J'essaye de traduire votre position : l'égalité des probabilités entre pile et face est un axiome permanent, il est gravé dans le marbre.

C'est aussi la position de JJ Levallois et J. Hartong, et tous les scientifiques que j'ai rencontrés.
En fait, l'hypothèse "pièce équilibrée" signifie "égalité des probabilités entre pile et face".

Dlzlogic a écrit: La loi des grands nombres dit que pour un certain nombre de lancés, le score tendra vers 1/2.

C'est très mal dit  : "un certain nombre" (ce  nombre n est donc fixé) et "tendra" (donc n va vers l'infini) ne vont pas ensemble : entre fixer un nombre et le faire tendre vers l'infini, il faut choisir.
La loi des grands nombres dit que pour un certain nombre de lancés, le score sera proche de 1/2 ;
Mieux : la loi des grands nombres dit que le score tendra vers 1/2

Dlzlogic a écrit: Ca, vous ne voulez pas le savoir

Bien sûr que tout le monde est d'accord sur la limite qui vaut 1/2.

Dlzlogic a écrit: Soutenez votre argumentation auprès de statisticiens ou de contrôleurs de qualité ce sera plus utile..

On n'a pas besoin de soutenir notre argumentation, car ils le savent parfaitement bien.

C'est vous qui affirmez que je contredis JJ Levallois.

Oui, et je le prouve, comme chacun qui a un peu de bon sens peut le faire.
J-J. Levallois écrit que la probabilité de n'avoir aucun pile en n tirages est  1/2ⁿ * C_n⁰ = 1/2ⁿ. Je pense que vous êtes d'accord avec ça ?
Mais puisque c'est valable pour n'importe quel n,  la  probabilité de n'avoir aucun pile en (n+1) tirages est   1/2ⁿ⁺¹
Or, vous affirmez que

Lors d'un jeu, si Pile est en retard, la probabilité que le coup suivant soit Pile est supérieur à face

.
Donc d'après vous, si au bout de n tirages on n'a eu aucun pile, alors la probabilité d'avoir un pile au n+1 ème est a > 1/2, et la probabilité d'avoir face est 1-a < 1/2. Donc d'après vous, la probabilité de n'avoir aucun pile au bout de n+1 tirages est
(1-a) * 1/2ⁿ < 1/2ⁿ⁺¹.
Vous voyez, vous contredisez bien J-J. Levallois.

Oui, j'ai bien lu, vous semblez oublier l'inégalité de Bienaymé.

Dlzlogic a écrit:l'inégalité de Bienaymé.

Puisque vous introduisez volontairement cela dans la discussion, pouvez-vous la citer ?

C'est juste histoire de voir que l'on pense tous bien à la même inégalité.
Et ensuite nous verrons le lien avec notre sujet.

Oui, c'est le paragraphe "Inégalité fondamentale" page 141 du cours de Levallois. C'était pour répondre à la phrase "probabilité de n'avoir aucun pile ...".
[HS]Par ailleurs, je n'ai pas retrouvé la vidéo du calcul de l'espérance du nombre de coups pour avoir 5 pile consécutifs. Internet est très lent aujourd'hui. [/HS]

Récapitulons, Dlzlogic :
1°) Vous contredisez J-J. Levallois
2°) Vous semblez oublier que j'ai bien utilisé l'inégalité de Bienaymé dans la démonstration de la loi faible des grands nombres à partir de l'équiprobabilité des 2ⁿ issues possibles des suites de n tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée, ici : https://dlz9.forumactif.com/t1976p50-absence-de-rattrapage#23718

Si vous estimez que je contredis Levallois, c'est votre problème.
Je voudrais un exemple d'application de la loi faible des grands nombres.

Démonstration :
Comme d'habitude, on part d'une hypothèse. Ici, il s'agit de l'hypothèse que tous les scientifiques qui étudient les suites de tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée (ou les marches aléatoires symétriques, ce qui revient au même), font : quel que soit l'entier n, les 2ⁿ issues possibles d'une suite de tirages sont équiprobables, toutes de probabilité 1/2ⁿ.
La conclusion à laquelle je veux aboutir, c'est le cas particulier de la loi des grands nombres : la fréquence des piles tend vers 1/2 quand n tend vers l'infini.
Je vais employer la terminologie et les notations de Levallois, comme ça Dlzlogic ne sera pas perdu..

1°) Je commence avec le résultat qui découle de l'équiprobabilité et de l'analyse combinatoire : la probabilité d'obtenir p piles dans une suite de n tirages est 1/2ⁿ * C_n^p (Levallois, page 143 ligne 13).

2°) Je continue avec la valeur probable (moyenne du premier ordre, définition Levallois page 140 ligne 8 ) du nombre X_n de piles dans une suite de n tirages : c'est m₁(X_n) = Σ (1/2ⁿ * C_n^p) * p. Pour calculer cette somme, on peut utiliser la formule du binôme (1+x)ⁿ = Σ C_n^p * x^p, dériver pour obtenir n * (1+x)^n-1 = Σ C_n^p * p *x^p-1 et faire x=1 pour arriver à n * 2^n-1 = Σ C_n^p * p. En reportant dans l'égalité ci-dessus, on obtient m₁(X_n) = n/2, ce qui ne surprendra personne.

3°) Je continue avec la moyenne du second ordre (définition Levallois, page 140 ligne 12) : on a m₂²(X_n) = Σ (1/2ⁿ * C_n^p) * p². On dérive une fois encore l'égalité n * (1+x)n-1 = Σ C_n^p * p *x^p-1 pour obtenir
n * (n-1) * (1+x)^n-2 = Σ C_n^p * p *(p-1) *x^p-2, d'où en faisant  x = 1
n * (n-1) * 2^n-2 = Σ C_n^p * p *(p-1) = (Σ C_n^p * p²) - (Σ C_n^p * p) = (Σ C_n^p * p²) - n * 2^n-1.
On en déduit m₂²(X_n) = (n * (n-1) / 4) + n/2 = (n² + n) / 4.

4°) Ceci permet d'obtenir l'erreur quadratique moyenne (écart-type) de X_n, notée η(X_n) par Levallois, au moyen de la formule (Levallois, page 140 ligne 22) η²(X_n) = m₂²(Xn) - m₁²(X_n) = ((n² + n) / 4) - (n/2)² = n/4.

5°) On applique ensuite l'inégalité de Bienaymé (Tchebychev), Levallois page 141 lignes 21-24, qui s'écrit
P(|X_n - m₁(Xⁿ)| >= k) <= (η²(X_n) / k²). On en déduit, en prenant k=n*ε,  P(|X_n/n - m₁(X_n)/n| >= ε) <= η²(X_n) / (n²*ε²), c'est-à dire P(|X_n/n - 1/2| >= ε) <= 1 / (4*n*ε²).

6°) La probabilité que la différence entre la fréquence du nombre de pile et 1/2 soit plus grand que  ε est donc majorée par
1 / (4*n*ε²) qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini. La fréquence converge bien en proba vers 1/2. Ce cas particulier de la loi des grands nombres est bien démontré sous l'hypothèse de l'équiprobabilité.
Autrement formulé : on se donné un ε>0 petit et une marge d'erreur m% petite. Alors il existe un rang N tel que pour tout n>=N on peut affirmer, avec une marge d'erreur de moins de m%, que la différence entre la fréquence de pile sur n tirages et 1/2 est plus petite que ε en valeur absolue.

En rouge, un exemple d'application de la loi faible des grands nombres.