A propos du Khi²

Bonsoir,
Il est possible que ce sujet a déjà évoqué sur le présent forum.
J'annonce la couleur : le test du Khi² a été mis au point au début de XXè, peut-être à le demande ou à l'instigation de Mendel. Il utilise les variables de second ordre de la loi normale. J'avoue que je ne connais pas tous les détails, mais je me suis toujours étonné qu'on utilise encore des tables à l'occasion de ce test.

Bonjour, Je cite la réponse de Unknown.
Soyons très clair :

1) le test du Chi2 est un test statistiques parfaitement connu et maîtrisé, sans doute l\'un des plus utilisé au monde.

2) à part pour des exercices de cours à visée pédagogique personne n\'utilise de tables !

3) le test du Chi2 est infiniement plus précis que ta tambouille avec les %réel et % théorique, pour une raison simple : le test du Chi2 à des résultats précis, alors que ta tambouille se fait entièrement à l\'oeil. En clair quand tu décrètes que tes %réalisés correspondent aux %théorique c\'est uniquement sur la base du \"c\'est comme Dlz veut\", alors que le test du Chi2 accepte ou rejette une hypothèse de manière parfaitement informée (on se fixe un niveau, on en déduit un seuil, si la statistique est au dessus du seuil on rejette, si la statistique est en dessous on ne rejette pas).

Comment fonctionne le test du Chi2 ? Il procède ainsi : on regarde une loi à support fini connu (qui peut prendre un nombre fini de valeur, par exemple un dé). On dispose d\'un échantillon aléatoire iid (par exemple on va lancer 1000 fois le dé), et on se demande si la loi en question correspond à une loi théorique (par exemple uniforme pour le dé équilibré). On défini une statistique (c\'est à dire une formule basée sur l\'échantillon) et on sait que cette statistique converge en loi vers une loi du Chi2 (qui est donc bien une loi de probabilité trouvable dans tous les cours). C\'est ce qui permet de dire quand est-ce que la statistique est \"raisonnable\" (i.e. qu\'on peut l\'obtenir si le dé est bien équilibré) et quand c\'est peu probable et donc que les donées sont contradictoires avec l\'hypothèse de loi uniforme.

Plutôt que de l\'adéquation en loi on peut s\'intéresser à l\'indépendance entre deux variables (ce qui correspond à un test d\'adéquation de la loi du couple)

Si tu veux essayer de comprendre (et arrêter de raconter des absurdités comme \"la loi du chi2 n\'existe pas) tu peux regarder ce cours https://www.lmpt.univ-tours.fr/~gallardo/Stat2008-2.pdf, plutôt bien fait et simple d\'accès.

On noteras :

- Def 2.1 LOI du Chi2
- le théorème 2.4 est le résultat théorique justifiant l\'utilisation du test (sa démonstration n\'est pas tout à fait évidente, elle nécessite le TCL multi-dimensionnel + Théorème de Cochran + manipulation matricielle)
- la procédure de test (p4) correspond exactement à ce que j\'ai évoqué plus haut.

Bien sûr vu que tu comprends pas des choses très basiques sur les probas je doute que tu arrives à comprendre les tests statistiques.
Et tu continueras d\'affirmer que tu as raison et que si tu ne connais pas c\'est que c\'est inutile.

Avant de lire le cours dont Unknown donne un lien, je tiens à préciser quelques détails.
- je n'ai jamais dit que le test di Khi² n'était pas utile, ou pas utilisé ou quoi que ce soit de ce genre.
- j'ai précisé que ce test est basé sur la théorie des probabilités, la complète, celle de Bernoulli, Gauss et Cie.
- le résultat fourni par le test du Khi² est binaire : c'est bon ou pas.

Au passage, l'exemple fourni par Unknown (tirage de dé équilibré) est amusant : il suffit d'observer le résultat des 12 tirages de dé à 1000 faces faits par Gbzm. Manifestement et incontestablement, ce résultat respecte de façon très précise la loi normale et pas la loi uniforme, comme le démontrent les deux théorèmes de Bernoulli.

Le lien donné par Unknown ne fonctionne pas.
Par ailleurs, je pense que Unknown est la seule personne à écrire Khi² comme il le fait.

Bonjour

Tellement d'imprécisions qui montrent une mauvaise connaissance.

Le résultat fourni par le test du Khi² est un nombre réel, rien de binaire. Et ce réel est comparé à un seuil de rejet fixé par l'utilisateur.

Un tirage de dé équilibré suit la loi uniforme sur ces 6 faces. Par définition !

Si on compte le nombre de fois qu'une face apparaît suite à 1000 lancers de dé, il est incontestable que ce compte suit la loi binomial B( n , p ) avec n= 1000 et p = 1/6.

Et cette loi binomiale (sur les entiers , car un nombre d'apparitions est un nombre entier !) peut être approchée par la loi normale N ( m, s ) avec m = np et s² = np(1-p).
C'est un cas particulier du TCL. Personne n'a jamais dit le contraire.

Quant à la  théorie des probabilités complète, c'est vraiment n'importe quoi : la théorie des probas est née avec Pascal, passée par Bernoulli, Gauss , d'accord, et bien d'autres, jusqu'à nos jours. Heureusement qu'on n'a pas stoppé les recherches il y a 200 ans ! Et même de nos jours, la théorie n'est pas "complète", elle continue a être développée.

Allez, une pizza complète pour cette dame !

Oui, merci pour ton intervention.
Quand je dit que le résultat du test du Khi² est binaire, je sais bien que le nombre produit est un nombre réel, mais le résultat du test, c'est à dire après lecture de la table, compte tenu du nombre de degrés de liberté et de la borne choisie, est OUI ou NON.
Par ailleurs, j'ai parlé de "table". En effet, j'ai voulu écrire mon petit module perso du Khi². J'ai cherché, sans succès, la formule ayant permis de l'établir. Tu me diras que j'ai tous les outils numériques pour la retrouver, mais quel intérêt ?
A défaut du cours cité par Unknown, je suis entrain de relire l'article de Wikipéria, il est bien précisé que l'on répartit les valeurs de la liste à étudier en classes et le nombre de classes choisi fait l'objet de discussion.

Dlzlogic a écrit:Le lien donné par Unknown ne fonctionne pas.

le lien fonctionne,  à condition d'enlever la virgule à la fin !
https://www.lmpt.univ-tours.fr/~gallardo/Stat2008-2.pdf

Dlzlogic a écrit:Par ailleurs, je pense que Unknown est la seule personne à écrire Khi² comme il le fait.

peut-être moins répandu, mais par exemple, ce document l'écrit chi²

@ Chris, virgule ou pas virgule, j'ai même essayé avec juste le début du lien, cad. avant le tildé, donc, juste l'université, an faisant un copier/coller, ça ne marche pas.
Possible que ce soit un problème de sécurité.

La virgule est rédhibitoire, indiscutablement.

Dlzlogic a écrit:Possible que ce soit un problème de sécurité.

oui, c'est fort possible, mon navigateur l'indique aussi.

Bon, Unhnown m'a envoyée une liste de 6 scores obtenus avec un dé à 6 faces.
Je voulais répondre, mais je n'ai pas retrouvé ces 6 valeurs.
Voila ce dont je me souviens : il s'agissait de 600 lancés.
Première opération : calculer la moyenne des 6 scores.
Pour chaque score calculer l'écart à la moyenne.
Pour chaque écart on calcule le carré, on additionne, on divise par 6 et on obtient l'écart moyen quadratique (emq pour les intimes) et "écart-type" pour le matheux modernes.
Alors, vient mon interprétation personnelle : je calcule l'écart probable, c'est à dire celui tel que la moitié des écarts lui est inférieur. Avec l'écart-type, c'est pareil sauf que c'est environ 33%.
Comme il n'y a que 6 valeurs, la comparaison avec le valeurs théoriques suivant les 10 classes que j'utilise habituellement est sans objet, donc, on divise en 4 classes.
Alors on vérifie ou non, que 25% sont contenues dans les deux classes bornées par 1 écart probable.
Pour mémoire, Doraki a fait et vérifié cela sur un tirage d'une trentaine de jets de dés à 6 faces. Il est bien évident que on ne tombera pas sur la valeur juste. Ceci est bien expliqué dans différents documente de l'EN, que je ne citerai pas.

Bonjour

Tu dis :
<< Alors, vient mon interprétation personnelle : .... Alors on vérifie ou non, que 25% sont contenues dans les deux classes bornées par 1 écart probable. >>

Qu'as tu besoin de vérifier ???

Connaissant la vraie définition de l'écart probable,  à savoir la valeur médiane (50%) de la série des écarts à la moyenne,
et la symétrie des valeurs (probabilité comprise) par rapport à la moyenne pour la loi normale,
cet écart probable est bien la valeur qui sépare 50% / 2 = 25% des valeurs dans les 2 classes centrales (dont la moyenne est une borne),
je ne vois pas où il y a discussion ou interprétation personnelle comme tu dis.

Pour la loi binomiale (qui est bien la loi de probabilité ayant lieu pour 600 lancers d'un dé équilibré),
les valeurs étant entières (contrairement à la loi normale), il va y avoir un effet de discontinuité.
Tu veux discuter de cette discontinuité ???

Bonjour Chris,
Lorsque j'emploie l'expression "je vérifie", ça veut dire "je fais le test, donc je regarde si les valeurs obtenues correspondent, à la la probabilité près, aux valeurs théoriques. Selon le cas, la réponse est OUI, sinon NON".
Je dis que c'est une interprétation "personnelle", parce que cette notion, je ne l'ai vue que dans mon cours. D'ailleurs, lorsque l'ai écrit les pourcentages 25, 16, 7, et 2 la première fois sur un forum, un membre (Léon) m'a répondu "quézaquo" (je ne suis pas sûr de l'orthographe).

Enfin, tu évoques la distinction entre les lois et résultats discrets et continus. Je sais que c'est un point de désaccord. Je suis sûr que ça complique inutilement la vie et la compréhension des étudiants. En effet, le cheminement intellectuel matheux est maths --> probabilités --> applications. Alors que il devrait être à mon avis : monde_réel --> probabilités. Les mathématiques servant d'outil quand on en a besoin..

Dlzlogic a écrit:Lorsque j'emploie l'expression "je vérifie", ça veut dire "je fais le test, donc je regarde si les valeurs obtenues correspondent, à la la probabilité près, aux valeurs théoriques. Selon le cas, la réponse est OUI, sinon NON".

et la réponse est OUI... jamais NON. Sous hypothèse de loi normale, évidemment.

Dlzlogic a écrit: lorsque l'ai écrit les pourcentages 25, 16, 7, et 2

tes pourcentages peuvent être calculés par les logiciels de maths, même des tableurs qui connaissent la loi normale. Il n'y aucun mystère là-dedans : calcul d'une intégrale de la fonction de densité de la loi normale N(0,1), c'est tout.

Dlzlogic a écrit: Je suis sûr que ça complique inutilement la vie et la compréhension des étudiants.

Mais la vie est "compliquée" : il y a des réels et des entiers. C'est comme ça.
Il faut faire avec, on n'a pas le choix. Si tu ne fais pas le distinguo, alors les raisonnements sont faux, tout simplement.

C'est comme les polygones réguliers (à 3,4,5,10,20,600 cotés) et les cercles. Tu penses que ça complique inutilement la vie et la compréhension des étudiants ?

En fait, dans l'enseignement des probas, ce n'est pas la distinction entiers/réels qui est difficile. Ca, c'est simple !
Ce qui est compliqué, ce sont les raisonnements, la bonne utilisation des théorèmes et toutes les méthodes.

Pas besoin d'ouvrir un nouveau topic pour cet exercice. Bien sûr pas besoin d'utiliser un test du Khi² pour ça, mais on reste dans le sujet.
Réf. : https://www.maths-forum.com/superieur/comment-retrouver-resultat-statistiques-sondage-t251933.html

Ton lien pointe sur un exercice qui n'a rien à voir avec le khi²

@ Chris,
Oui, c'est pas faux, mais pourquoi ouvrir un nouveau topic qui restera sans réponse ?
D'ailleurs, il est sans grand intérêt.
Par contre, il y a un modérateur spécialiste de ce type de problème sur le dit-forum. Je me demande pourquoi cet étudiant n'a pas de réponse.

Bonsoir,
Juste un petit message pour préciser que, en aucun cas, je ne cherche à dire que telle méthode est meilleure qu'une autre. Chaque méthode est mise au point et utilisée dans le cas qu'elle concerne.
Je ne vois pas à quel titre je me permettrais de dire que la méthode du Khi² n'est pas bonne. J'ai simplement précisé que cette méthode est une application de la loi normale. Si l'expression "loi du Khi²" me gène, c'est seulement parce que ce n'est pas une loi de probabilité, c'est une méthode de test qui utilise les résultats de la loi normale.
Si je ne suis pas clair, je peux répondre à toutes les questions.

@ Unknown, demain, je répondrai à tes derniers mails dans le topic ouvert à ton intention.

Dlzlogic a écrit: pourquoi ouvrir un nouveau topic qui restera sans réponse ?

Cela ne serait pas une exception, ce n'est pas ce qu'il manque !
https://dlz9.forumactif.com/search?search_id=unanswered

Dlzlogic a écrit: Si l'expression "loi du Khi²" me gène, c'est seulement parce que ce n'est pas une loi de probabilité, c'est une méthode de test qui utilise les résultats de la loi normale

Ce qui te gène, c'est :
- de ne pas savoir que << la loi du khi² >> est une loi de probabilité (avec un paramètre qui est son degré de liberté),
- de confondre cela avec << le test du khi² >> (méthode statistique) qui n'utilise pas la loi normale, mais la loi du khi² (pour donner un résultat réel positif, non binaire).