lettre à Pierre

Bonjour,

Paul Lévy,  dans son article de 1924, parle du domaine d'attraction d'une loi stable. Le théorème central limite donne le domaine d'attraction de la loi normale. La loi de Cauchy est sans doute l'exemple le plus fameux de loi stable différente de la loi normale, qui n'est pas dans son domaine d'attraction.
Je me suis demandé comment mettre en évidence le "pouvoir d'attraction" de la loi de Cauchy. J'ai pensé à une expérience très simple.
On tire au hasard un nombre x entre -1 et 1, et un nombre y également entre -1 et 1. Autrement dit, on tire au hasard un point dans le carré [-1,1]x[-1,1]. On regarde ensuite la distribution du quotient y/x. On peut le faire expérimentalement, c'est très simple en tirant par exemple 10 000 points (x,y) et en faisant l'histogramme des y/x. On constate une distribution centrée en 0 et qui a grosso modo une forme de cloche bien aplatie au milieu.
On regarde ensuite la distribution des moyenne de 100 quotients y/x. Puis la distribution des moyennes de 10000 quotients y/x. On ne constate aucun resserrement autour de 0, ni aucun alignement sur une distribution normale. Par contre on constate un alignement sur une distribution de Cauchy (avec un paramètre a=0.8 que j'ai estimé à l'oeil, il faudrait pour être plus précis un calcul de fonction caractéristique que je n'ai pas eu le courage de faire jusqu'à présent). Dans les histogrammes ci-dessous, la courbe rouge figure cette distribution de Cauchy.
L'expérience que je décris est bien réalisable dans le monde réel observable, n'est-ce pas ? Au moins autant que celle des fétus de paille dans le problème des cordes de Bertrand.


Je tiens bien sûr à la disposition de qui le souhaite le code python (très simple !) de cette simulation.

L'expérience réalisable dans le cadre de la loi de Cauchy pourrait être la suivante :
Un mur rectiligne est éclairé par un rayon lumineux tournant et intermittent de façon aléatoire.
On peut par exemple disposer des cellules photoélectriques qui enregistrent l'impact du rayon lumineux. Si j'ai bien compris ce que j'ai lu, c'est ce genre d'expérience réalisée par les opticiens.
Il me parait clair que le mur ne peut pas avoir une longueur infinie et qu'en outre la moitié des impacts lumineux ne pourra jamais être enregistrée.
Si il y a une autre mise en œuvre de cette loi de Cauchy, on peut en parler, sinon, cela reste dans le domaine du cas particulier, pas vraiment intéressant.

Il me semble que je vous ai déjà donné des références sur l'intervention de la distribution de Cauchy en spectroscopie. Vous pouvez voir
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution#Occurrence_and_applications
et comme vous êtes mal à l'aise en anglais, je vous donne la traduction de deux paragraphes.

En spectroscopie, la distribution de Cauchy décrit la forme des raies spectrales soumises à un élargissement homogène dans lequel tous les atomes interagissent de la même manière avec la gamme de fréquences contenue dans la forme de la raie. De nombreux mécanismes provoquent un élargissement homogène, notamment un élargissement par collision. La durée de vie ou l'élargissement naturel donne également lieu à une forme de raie décrite par la distribution de Cauchy.
...
En hydrologie, la distribution de Cauchy est appliquée à des événements extrêmes tels que les précipitations annuelles maximales d'une journée et les débits des rivières. L'image bleue illustre un exemple d'ajustement de la distribution de Cauchy aux précipitations mensuelles maximales d'une journée, montrant également la ceinture de confiance de 90 % basée sur la distribution binomiale. Les données pluviométriques sont représentées par des positions tracées dans le cadre de l'analyse de fréquence cumulée.

Par ailleurs je vous rappelle que j'ai proposé une expérience dans le message précédent : Tirer au hasard un point (x,y) dans le carré [-1,1]x[-1,1] et regarder la distribution du quotient y/x, puis les distributions des moyennes de quotients quand on prend de plus en plus de points.
Curieusement, vous n'avez aucun commentaire là-dessus. Lisez-vous mes messages ?

Oui, je lis les messages.
Il est vrai que je n'ai aucun commentaire à faire sur cette simulation d'un point dans un carré. J'ai dit ce que j'avais à dire sur cette loi de Cauchy. C'est un cas particulier.
Concernant son utilisation en hydrologie, j'ai des doutes. En matière de pluviométrie, comme en mesure de température, c'est la loi normale qui est vérifiée.

PS. Si on admet que on cherche à numériser des situations maximales, ce sont des évènements exceptionnels, donc rares, la loi de Poisson, qui est une simplification de la loi normale, me parait plus appropriée.

D'accord, vous n'avez aucun commentaire à faire sur cette expérience réalisable dans le monde réel observable et qui va à l'encontre de ce que vous affirmez.
Si vous n'êtes pas convaincu, vous pouvez refaire cette expérience : elle est très simple.

Ben oui, j'imagine très bien y/x c'est la tangente, donc la fonction génératrice de la loi de Cauchy. Je l'ai déjà faite, il y a bien longtemps, qu'en déduisez-vous ?
Vous avez évoqué indirectement les problèmes liés à la pluviométrie, qui peut causer des inondations. Je suis sûr que si ces notions de probabilités n'étaient pas critiquées systématiquement, on aurait pris les précautions élémentaires et il n'y aurait pas tant de débordements. On connait très bien ce type d'évènement, mais il y aura toujours quelqu'un pour dire "C'est pas vrai, t'y connais rien".

Et donc vous avez pu constater que dans cette expérience tout à fait réalisable dans le monde réel, il n'y ni resserrement autour de 0 ni convergence vers une loi normale quand on prend les moyennes de plus en plus de résultats.
C'est tout.

Mais je n'ai jamais dit que une expérience suivant la loi de Cauchy convergeait vers la loi normale. J'ai dit qu'elle convergeait, un peu plus lentement que la loi normale.
Je déteste qu'on me fasse dire ce que je n'ai pas dit.

Elle converge vers quoi alors, selon vous ?
L'énoncé précis, démontré et vérifié par l'expérience, est que les moyennes de n variables aléatoires indépendantes distribuées selon la loi de Cauchy standard sont encore distribuées selon la loi de Cauchy standard, ceci quel que soit n, aussi grand qu'on veut.
Si vous êtes d'accord que cet énoncé est correct, plus de problème !

Je traduis votre énoncé dans un contexte réalisable.
On a un mur qui reçoit un rayon lumineux rotatif et intermittent de façon aléatoire. On note la position des impacts, linéairement le long du mur, et on obtient une liste. On peut en calculer la moyenne m1.
On refait la même opération n fois on obtient donc n moyennes.
Il s'agit bien de n opérations suivant la loi de Cauchy.
Conclusion : la liste des n moyenne suit la loi de Cauchy.
Ais-je bien traduit votre définition ?

Bon, la liste des moyennes n'est pas conforme à la loi de Cauchy mais a une répartition normale, conformément au TCL.

Dlzlogic a écrit: la liste des n moyenne suit la loi de Cauchy.

Oui, c'est bien ce que j'ai écrit.

la liste des moyennes n'est pas conforme à la loi de Cauchy mais a une répartition normale, conformément au TCL.

Vu que votre affirmation
1°) est contraire à la propriété de stabilité de la loi de Cauchy énoncée dans l'article de Paul Lévy de 1924,
2°) est contraire à la démonstration très simple utilisant les fonctions caractéristiques que j'ai rappelée plus haut,
3°) est contraire à toutes les expériences que j'ai effectuées et dont j'ai publié les histogrammes,
vous comprenez bien qu'il vous faudra un argument un peu plus sérieux qu'une simple déclaration.
Je vous rappelle pour la 2673^e fois que le TCL a des hypothèses qui ne sont pas vérifiées par la loi de Cauchy. Comme l'écrit Paul Lévy, la loi de Cauchy ne fait pas partie du domaine d'attraction de la loi de Gauss.

Je verrai demain matin si vous pouvez présenter le début d'un argument.

J'avoue que c'est très curieux.
Il me semble que vous n'avez pas compris cette notion qui me parait fondamentale :
On effectue une expérience quelle qu'elle soit, on obtient un résultat que j'appellerais m. C'est 'm' comme "moyenne".
On refait cette expérience à l'identique n fois, on obtient des moyennes m1 à mn. Ces moyennes sont le résultat d'expériences de même loi, quelle que soit cette loi. Un bon exemple est une expérience du type durée de vie. Chaque expérience met en œuvre un certain nombre d'éléments qui ne servent qu'une fois. Le résultat de cette expérience se visualise par une courbe exponentielle très caractéristique. On peut calculer la moyenne qui n'a pas beaucoup de signification, par contre la médiane a une signification.
On répète cette expérience n fois et on note, les moyennes ou les médianes, au choix. On dispose donc d'une liste de n valeurs, résultat des n expériences. Alors conformément au TCL et après vérification que j'ai fait un grand nombre de fois, la répartition de ces n valeurs est celle de la répartition normale.
L'exemple de la loi exponentielle est intéressant parce que la forme des courbes est tellement caractéristique qu'aucun doute n'est possible.

1) Votre "propriété de stabilité de la loi de Cauchy", vous l'avez certainement mal comprise, comme vous avez mal compris certaines phrases que vous me citez comme des vérités fondamentales.
2) Votre démonstration avec "fonction caractéristique" est forcément fausse.
3) Vos expérience vérifient visuellement que la liste de moyenne converge vers la loi normale. Il est tout de même préférable de faire un test de normalité numérique et ne pas se satisfaire du visuel.

Je sais très bien que vous ignorez ces notions, pour un scientifique, la moindre des choses est de vérifier ses affirmations.

Bonjour Dlzlogic,

Dlzlogic a écrit:la liste des moyennes n'est pas conforme à la loi de Cauchy mais a une répartition normale, conformément au TCL.

Toujours pas l'ombre d'un début d'argument sérieux pour cette affirmation en l'air.
Je vous rappelle pour la 2674^e fois que le TCL a des hypothèses qui ne sont pas vérifiées par la loi de Cauchy.

Ce n'est pas étonnant qu'il n'y ait aucun argument sérieux de votre part, puisque l'énoncé correct est :

Tout le monde a écrit:Soient n variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Cauchy standard. Alors, quel que soit n, leur moyenne suit la loi de Cauchy standard

Oui, tout le monde : vous pouvez faire une recherche sur la toile, vous trouverez toujours ce résultat. Par exemple :
https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./l/loicauchy.html
Vous affirmez que ma démonstration est "forcément fausse". Vous ne trouvez aucune erreur (bien sûr puisqu'elle est simple et correcte), mais elle va contre vos dogmes erronés, donc elle est fausse selon vous. Brillante argumentation scientifique !

Vous parlez de tests statistiques pour la normalité. C'est une bonne idée. Je les ai ajoutés à mes expériences.
Je commence avec 1000 nombres tirés selon la loi de Cauchy standard et je regarde leur distribution. Sans surprise, le test de normalité échoue (p-valeur = 0.0) et le test de conformité à la loi de Cauchy est passé haut la main (p.valeur = 0.73) :

test de Shapiro-Wilk pour la normalité :
ShapiroResult(statistic=0.04507577419281006, pvalue=0.0)
test de Kolmogorov-Smirnov pour la loi de Cauchy :
KstestResult(statistic=0.021557129871671077, pvalue=0.7329495564825388)

Et maintenant je le fais avec 1000 moyennes de 10 000 nombres tirés suivant la loi de Cauchy standard.

test de Shapiro-Wilk pour la normalité :
ShapiroResult(statistic=0.2067873477935791, pvalue=0.0)
test de Kolmogorov-Smirnov pour la loi de Cauchy :
KstestResult(statistic=0.02081709361455153, pvalue=0.7708553295842486)

Normalité rejetée, Cauchy OK.
Au fait, la cloche rouge que vous voyez sur les histogrammes, c'est la distribution de Cauchy et pas celle de Gauss. Ne confondez pas.

Qu'attendez-vous pour faire vous-même une simulation ?

Bonjour,
D'abord Bibmath m'est interdit. Donc, je ne peux pas voir ce dont vous parlez.
Pour la démonstration, j'ai dit "forcément", parce que la loi normale vient du monde réel, il faudrait que je sache où est est pour la lire.
Bien-sûr, j'ai fait des simulations. Je vais les refaire avec les nombres (énormes) que vous mettez en œuvre.

J'ai fait 2 simulations : 1000 moyenne de 300 impacts.

Code:

1000 moyennes de Cauchy
Nombre = 1000  Moyenne = -0.12  emq=0.29  ep=0.19
Médiane = -0.12 Min = -1.04  Max 0.80
   Rapport EMQ/EMA = 1.25  théorique 1.25
Classe 1  nb=   6  0.60%   théorique 0.35% |H
Classe 2  nb=  14  1.40%   théorique    2% |HH
Classe 3  nb=  79  7.90%   théorique    7% |HHHHHHHH
Classe 4  nb= 152  15.20%   théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 259  25.90%   théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 233  23.30%   théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 155  15.50%   théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  82  8.20%   théorique    7% |HHHHHHHHH
Classe 9  nb=  18  1.80%   théorique    2% |HH
Classe 10 nb=   2  0.20%   théorique 0.35% |H


1000 moyennes de Cauchy
Nombre = 1000  Moyenne = -0.10  emq=0.30  ep=0.20
Médiane = -0.10 Min = -1.21  Max 0.75
   Rapport EMQ/EMA = 1.25  théorique 1.25
Classe 1  nb=   2  0.20%   théorique 0.35% |H
Classe 2  nb=  31  3.10%   théorique    2% |HHHH
Classe 3  nb=  55  5.50%   théorique    7% |HHHHHH
Classe 4  nb= 161  16.10%   théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 249  24.90%   théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 243  24.30%   théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 162  16.20%   théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  77  7.70%   théorique    7% |HHHHHHHH
Classe 9  nb=  18  1.80%   théorique    2% |HH
Classe 10 nb=   2  0.20%   théorique 0.35% |H

Vos simulations sont clairement fautives. Je ne dis pas cela en l'air, mais pour une raison bien précise.
Vous trouvez, sur 1000 moyennes de 300 nombres tirés suivant la loi de Cauchy, un minimum de l'ordre de -1 et un maximum de l'ordre de 1.
Or la probabilité qu'une moyenne de variables de Cauchy soit comprise entre -1 et 1 est égale à 1/2. La probabilité que 1000 moyennes soient comprises entre -1 et 1 est donc égale à (1/2)¹⁰⁰⁰ : clairement impossible, comme vous le voyez.

Vous prétendez ne pas savoir où est la démonstration du fait que les moyennes de variables de Cauchy sont encore distribuées selon la loi de Cauchy ? Une preuve de plus que vous ne lisez pas mes messages. La dernière fois où je l'ai écrite, c'est ici :
https://dlz9.forumactif.com/t1949p50-lettre-a-pierre#23346

Il y a tout de même des choses que je ne comprends pas dans vos affirmations.
Vous dites "La loi de Cauchy n'a pas d'espérance et pas de variance". Pourtant une expérience suivant la loi de Cauchy a bien une moyenne, et quand je dis que l'écart-type sous-entend une répartition normale, vous me répliquez que toute série a un écart-type.
J'ai lu ce que j'ai trouvé à propos du test de Shapiro. Je n'ai pas le détail pour l'écrire et l'utiliser, alors je vous propose de réaliser une liste de un millier de moyennes, de la tester avec Shapiro et de me l'envoyer pour que je puisse la tester avec mes outils. La p-value = 0.0 résultant de votre test est étonnante, ça a tout l'aspect d'une erreur.

Je veux bien vous fournir le fichier demandé. Pas tout de suite, j'ai quelques affaires associatives à régler.
En échange, voulez-vous bien fournir le code de votre simulation ?

Code:

int main() // suivant 197
{
// Test de la loi de Cauchy
  randomize();
  float B1=-M_PI_4;
  float B2=M_PI_4;
  float Res[1000];
  for (int fois=0; fois<1000; fois++)
  {
    float Impact[300];
    float MoyB=0;
    for (int k=0; k<300; k++)
    {
      int r=rand()%100;
      float A= (float)r/100. * (B2 - B1) +B1;
      float D=tan(A) * 10;
      Impact[k]=D;
      MoyB += D;
    }
//    AfficheNormale(espion, Impact, 100, "\nUne courbe de Cauchy\n");
    Res[fois]=MoyB/300.;
  }
  AfficheNormale(espion, Res, 1000, "\n1000 moyennes de Cauchy\n");
  fclose(espion);
  return 0;
}


Un peu de lecture concernant les tests de distribution m'ont appris que le test de Shapiro est limité à un échantillon de 50 valeurs et que pour un grand échantillon la p-value sera toujours inférieur à 0.05, dont H0 sera toujours rejeté.

https://www.alliage-ad.com/data-science/data-science-test-de-shapiro-wilk/#:~:text=Consid%C3%A9r%C3%A9%20comme%20le%20plus%20fiable%20des%20tests%20de,valable%20pour%20des%20%C3%A9chantillons%20contenant%20jusqu%E2%80%99%C3%A0%205000%20individus.

alors dans les logiciels il s'appelle Shapiro-Francia???
a voir !

@ Beagle,
Le problème de ces tests, c'est qu'on ne sait pas ce qu'il y a dedans. Par exemple, les histogrammes de Hum semble bien être ceux d'une loi normale. C'est pour ça que je lui ai demandé un fichier.

En coup de vent, avant une réunion :

L'erreur dans votre simulation est facile à trouver : vous faites une simulation ave des angles entre -π/4 et π/4 (contante M_PI_4) et pas entre -π/2 et π/2. Ce n'est donc pas une loi de Cauchy, mais une loi de Cauchy très sévèrement tronquée !

Le test de Shapiro-Wilk de scipy marche pour des échantillons jusqu'à 5000 (voir le lien mis par Beagle)

Tests avec des échantillons de 50 (d'abord des nombres tirés suivant la loi de Cauchy, puis des moyennes de 10 OOO variables de Cauchy). Vous semblez toujours confondre la cloche rouge des histogrammes avec la distribution normale. LA COURBE ROUGE EST LA DISTRIBUTION DE CAUCHY.

test de Shapiro-Wilk pour la normalité :
ShapiroResult(statistic=0.8568567633628845, pvalue=2.384826984780375e-05)
test de Kolmogorov-Smirnov pour la loi de Cauchy :
KstestResult(statistic=0.13423727110321348, pvalue=0.3009019755602731)

test de Shapiro-Wilk pour la normalité :
ShapiroResult(statistic=0.2845344543457031, pvalue=3.234349230498215e-14)
test de Kolmogorov-Smirnov pour la loi de Cauchy :
KstestResult(statistic=0.10733754548778007, pvalue=0.574933338997995)

Conclusion : même avec des échantillons de 50, normalité sévèrement refusée, Cauchy admise

Je n'oublie pas votre fichier mais là je n'ai vraiment pas le temps !

J'ai un peu de mal à comprendre le sujet de ces échanges.
En ce qui me concerne je tiens à expliquer deux choses :
1- la loi de Cauchy est un cas particulier qui ne concerne que peu de monde. Même si cette loi n'admet pas d'espérance, un expérience réalisée dans le contexte de cette loi admet une moyenne. Petit complément, je confirme que cette loi est soigneusement utilisée par certains matheux pour "démontrer" que la loi des probabilités, c'est du bidon, pardon, du pipeau .
2- quelle que soit de l'expérience aléatoire, la répartition des résultats est conforme à la répartition normale.

Ceci étant dit, j'aimerais bien que vous exposiez vos motivations concernant ces échanges.

@ Beagle,
Etant donné que c'est toi qui a initié ce fil, tu as une priorité préférentielle pour réagir.