C'est quoi l'écart-type ?

Bonjour,
Réf. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1938076
Voila un prof qui pose une bonne question et qui obtient 3 réponses toutes différentes, certaines contradictoires.
Tout à l'heure je tenterai une réponse.

Pour mémoire, Sylviel ne sait pas non plus très bien ce qu'est l'écart-type, mais comme il a fait des études, il est persuadé de le savoir. Je me demande bien quelle définition il donnerait.

Comme prévu, je vais donner une définition de l'écart-type.

Quand on dispose l'une série de mesures ou d'observations qu'une même quantité, on adopte le moyenne arithmétique.
Chacune des mesures a donc un écart à la moyenne. On dit que la moyenne arithmétique est le moyenne de premier ordre, on appelle écart moyen quadratique l'écart de second ordre. Cette valeur a des caractéristiques particulières. Dans le cas où la série étudiée répond à des conditions dites normales, alors l'écart moyen quadratique caractérise l'expérience et alors on lui donne le nom d'écart-type.

C'est à mon avis ce qu'on devrait dire aux élèves, avant toute formulation. Je précise bien que le qualificatif d'écart-type n'est valable que dans le contexte du TCL et donc de la courbe de Gauss. On peut calculer l'écart moyen quadratique de n'importe quelle liste ou série de valeurs, mais on ne peut les appeler type qu si c'est justifié.
Dans le fil sur Les-Mathematiques.net, AlexCendre parle d'écart moyen arithmétique. Pour les connaisseur, c'est ema. Naturellement, il s'agit de la moyenne des valeurs absolues des écarts. Cette valeur est utilisée par certains et le rapport emq/ema est égal à 1.25. On peut naturellement utiliser l'une ou l'autre formule indifféremment, cependant, l'emq a des propriétés particulières, par exemple, l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de Gauss, ce qui fait que cette valeur est souvent préférée.

Oh, ben parce que racine(pi/2) vaut environ 1.253 que j'arrondis à 1.25.
Je l'ai déjà dit. C'est dans mon papier http://www.dlzlogic.com/aides/Notions_de_probabilite.pdf dans le cours de JJ Levallois et tous ceux qui ont un peu étudié les probabilités le savent certainement.

Oui, mais tu n'as pas bien compris ce que le chat belge a expliqué à sa copine, maintenant qu'il a compris que toute expérience réalisée dans des conditions identiques a une répartition normale des écarts à la moyenne.
Tu serais bien incapable de réaliser une expérience suivant la loi uniforme qui n'ait pas une répartition normale. J'ai demandé à Olivier Garet de le faire, bien-sûr, il n'a pas pu. Et, c'est pourtant un spécialiste qui écrit des bouquins.

Bon, si du as demandé à ta machine de te produire une liste suivant la loi uniforme, c'est normal qu'elle te donne une liste suivant la loi uniforme.
Si tu demandes à ta machine de faire une expérience suivant une loi uniforme, tu obtiendras une répartition normale.

Tu me fais penser à un scientifique qui étudie le mode de perception des petit animaux.
Il s'intéresse aux puces.
Il prend une puce et lui dit : saute ! Elle saute.
Il lui coupe les pattes et lui dit : saute ! Elle ne saute pas.
Il écrit soigneusement dans son rapport : "les oreilles des puces se situent dans le pattes".

Tu viens d'inventer une nouvelle loi des probabilités, c'est très bien.

PS. par exemple, si tu montrais ton calcul, on pourrait peut-être discuter.
Moi je montre toujours mes calculs, j'explique comment je fais etc. Toi et tes copains jamais. En fait il y a une exception : Sylviel a édité son code Syslab. J'ai eu la curiosité de vérifier et c'est la première fois que j'ai pu observer que la liste supposée uniforme sortie n'était pas bonne. Ca date d'une dizaine d'année, depuis, pas bête, tes copains prennent leurs précautions.
Vive les maths.

Bonjour Beagle,
Soyons un peu sérieux.
Je fais l'affirmation suivante : tout expérience aléatoire de même loi produit un résultat conforme à la loi normale.
Si cette affirmation était fausse, il faudrait cesser toute activité qui fait appel aux probabilités, statistique etc.

Les matheux et leurs copains, toi par exemple, ne le savent pas. Comme ce sont des matheux il ne peuvent pas imaginer ignorer une notion qui est enseignée depuis quelques décennies et utilisée par des gens qui, eux, connaissent ces notions. Alors, tous les arguments peuvent servir à pourrir la discussion, pourquoi s'en priver. Pour eux le but des échanges n'est pas de clarifier une situation mais prouver qu'ils ont raison, et il s'en fichent éperdument de savoir s'il ont raison ou pas.

Dans le cas présent, pour sortir les ratios emq/ema, il a bien fallu que tu aies des listes de tirages, alors envoies-moi ces listes ! Mais ces listes, il faut les avoir écrites, alors envoies-moi les codes qui les ont générées.

Je te rappelle que une machine fait ce qu'on lui demande. Si on lui demande une liste suivant une répartition uniforme alors elle produira une liste suivant une répartition uniforme. c'est ce que font les logiciels de math. Il n'en est pas de même, normalement, de la part de logiciels tels que Excel qui savent produire des listes aléatoires.  

Je te rappelle que, encore une fois, tu ne réponds pas aux questions et tu continues à m'accuser de botter en touche et de me défiler.

Gérard avait bien précisé qu'il ne fallait pas parler de la courbe de Gauss à l'occasion de la présentation de l'écart-type. C'est tout de même marrant.
On peut parler de l'écart moyen quadratique indépendamment de toute autre notion, par contre, l'écart-type est type dans le cas de la loi normale, sinon il n'est pas type du tout, ni type de rien.
Sylviel m'a affirmé qu'il connaissait bien le sujet, il devrait intervenir.

D'abord, c'est par très bien de faire un message de 10000 lignes. Il vaut mieux faire un fichier et indiquer son nom.
Ensuite 10000 lecture, c'est trop. Ca n'apporte rien. 1000 c'est déjà pas mal.
Voila le résultat de la statistique :

Code:

138
135
149
138
137
132
147
132
127
135
122
122
141
120
121
143
148
140
131
132
148
151
140
152
123
122
135
119
132
127
130
140
135
133
126
144
134
114
116
141
146
144
119
142
146
131
139
133
117
135
130
132
124
126
117
147
125
136
125
130
129
146
128
138
127
127
126
145
137
132
120
130
124
145
150
FIN
Nombre de valeurs = 75  valeur minimale =114.00 valeur maximale=152.00
Rapport Emq/Ema = 1.20 Théorique = 1.25
Nombre = 75  Moyenne = 133.33  emq=9.66  ep=6.44

Classe 1  nb=   0   0.00%      théorique 0.35%     |
Classe 2  nb=   1   1.33%      théorique 2%     |HH
Classe 3  nb=   7   9.33%      théorique 7%     |HHHHHHHHHH
Classe 4  nb=  12  16.00%      théorique 16%     |HHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  20  26.67%      théorique 25%     |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  13  17.33%      théorique 25%     |HHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  14  18.67%      théorique 16%     |HHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=   8  10.67%      théorique 7%     |HHHHHHHHHHH
Classe 9  nb=   0   0.00%      théorique 2%     |
Classe 10 nb=   0   0.00%      théorique 0.35%     |

Tu as probablement utilisé la fonction "uniform" pour le rand. Il est donc logique que le résultat soit uniforme. C'est à dire que tu demandes à la machine de te sortir une liste uniforme, pourquoi pas, mais si tu veux faire une simulation réaliste, c'est pas ça qu'il faut faire. Par exemple, si tu veux utiliser la méthode de Monte-Carlo ou un autre truc.
De toute façon, ton but est de montrer que j'ai tort, mais tu dis même pas en quoi. Tu es obligé pour ce genre de manœuvre d'utiliser toute sorte d'artifices. C'est donc sans intérêt.
Tu as donné une liste réelle, officielle, validée par huissier : le loto. Pourquoi tu ne l'utilises pas ?

Bon, tu sais dans "écart-type", il y a "écart". C'est à dire qu'on étudie la répartition des écarts à la moyenne. Il est vrai que je suis quelques fois un peu rapide dans mes formulations.

Bon, j'ai fait le calcul de l'Emq et de L'Ema sur l'ensemble des 10000 valeurs. le trouve emq = 21.76 et ema = 18.83 soit un rapport = 1.15
Je n'ai jamais dit qu'il devait être égal à 1.25 exactement.

Bonjour Beagle,
J'ai supprimé le message contenant la longue liste, mais naturellement, je l'avais sauvegardée.

Essayons d'analyser le problème posément.
Quand on tire de façon aléatoire des nombres entre 1 et 75, ce ne sont pas des nombres, mais des labels, c'est à dire des indices, des objets repérés par un numéro, autrement dit des boules de loto.
On tire uniformément, équitablement, chaque numéro a la même probabilité qu'un autre de sortir à tout moment.
Comme ce sont des objets numérotés, il n'y a par de relation d'ordre entre eux. Le N°64 n'est pas plus grand que le N°25. On ne peut pas additionner les numéros, le N°25 n'est pas égal à N°5+N°20. Cela n'a pas de sens de dire que la moyenne des Numéros est 75/2.

Ceci étant bien précisé, le calcul de l'écart type ne peut en aucun être fait à l'aide de l'opération N°n-Moy, que l'on élèverait au carré.

La seule opération que l'on peut faire est de compter le nombre de sortie de chacun des Numéros, en prendre la moyenne et calculer l'écart-type. Toute autre opération porterait sur des opérations arithmétiques sur des labels, ce qui n'a pas de sens.
 
On rencontre fréquemment ce type de problème avec des dés à jouer. On ne peut pas ajouter des nombres de taches qui ne servent qu'à repérer la face qui est visible.

Quand on parle de loi uniforme, cela signifie que tous les objets susceptibles d'être tirés ont la même probabilité de sortir. 

Dans mon dernier message, j'ai fait le calcul de Emq et Ema en comptabilisant la valeur numérique des numéros. Je voulais simplement savoir d'où venaient tes valeurs.
Je confirme naturellement et sans aucune agressivité que le résultat de toute expérience aléatoire a une répartition des écarts à la moyenne conforme à la loi normale.
A titre d'exemple, l'historique du Loto confirme cela, pourtant la loi de probabilité suivie est bien une loi uniforme.

Oui, je comprends ce que tu veux dire.
D'abord un point à préciser, que ce soit discret ou continue, pour moi c'est le même chose. Evidemment si on compte des arbres, ce sera du discret, mais si on compte leur diamètre, ce sera du continu, sauf si on arrondi au cm, alors ce sera aussi du discret.
Toute la question est de savoir si la moyenne des valeurs de la série a un sens ou pas. C'est à dire si les différents termes de la série correspondent à des mesures, quelle que soit l'unité, ou pas.
Dans le cours que j'ai mis en lien (généralités/Cours à consulter), il y a un très bon exemple de loi uniforme : le gars qui a un rendez-vous entre 15H et 16H. Si on considère que il ne sera ni en avance ni en retard, alors il n'y a pas de relation d'ordre dans les heures et c'est bien une loi uniforme. Mais si méchamment on a noté les heures d'arrivée et qu'on exploite la liste, alors la répartition sera conforme à la loi normale. On n'y peut rien, c'est comme ça.
Le fameux contre-exemple de la loi ce Cauchy rentre aussi dans ce cadre si on prend quelques précautions, c'est à dire éliminer les valeurs nulles ou très proches de 0. J'ai fait des simulations pour le vérifier.
Il n'y a que dans le domaine non observable que ceci n'est pas vrai.
Une application importante, à titre d'exemple : la gestion de stock. Il est "impossible", c'est à dire que le risque est négligeable, que toutes les machines tombent en panne pendant la même période. Je suppose que ça te rappelle quelque-chose. Et c'est pour ce type de raison qu'on  étudie les probabilités.

Petit commentaire privé à Beagle, quand on lit certaines questions concernant ce sujet des probabilités, il y a vraiment de quoi se faire de la bille.
Bonne soirée.