La réponse à la corde de Bertrand.

le tirage est indépendant du cercle

Rectificatif : l'espace probabilisé est dans ce modèle l'ensemble des droites QUI COUPENT LE CERCLE. Il est donc faux de dire "le tirage est indépendant du cercle".
Dans les trois modèles, on a une loi uniforme pour une mesure invariante : sur l'espace des droites, sur le produit de deux cercles, sur le plan. On a bien des symétries dans les trois cas.

Le seul tirage qui soit indépendant du cercle, est celui qui donne 1/2 les autres dépendent du cercle.

Rectificatif : On ne tire pas une droite au hasard, on tire une droite au hasard parmi les droites qui coupent le cercle, suivant une loi uniforme pour la mesure sur l'espace des droites du plan affine.
De même dans le modèle où on tire au hasard le milieu de la corde, on ne tire pas au hasard un point dans le plan, on tire un point au hasard parmi les points à l'intérieur du cercle, suivant une loi uniforme pour la mesure de Lebesgue dans le plan.

Dattier a écrit: on peut le voir comme le tirage de droites et on ne tient compte que de celles qui coupent le cercle ... et le seul tirage qui ne dependent de la position ou du rayon du cercle est celui qui donne 1/2.

Toujours aussi faux : la mesure totale de l'espace des droites est infinie, de même que la mesure totale du plan. On ne tire pas au hasard une droite dans l'espace des droites du plan affine avec une mesure de proba invariante par déplacement, de même qu'on ne tire pas au hasard un point dans le plan avec une mesure de proba invariante par déplacement.
Par ailleurs, ne retenir que les droites qui coupent le cercle, ça tient tout autant compte du cercle que ne retenir que les points à l'intérieur du cercle.

Je sais bien que tu aimes la polémique. Mais essaie au moins de raisonner de façon sensée.

Dattier a écrit:
Tu considères un carré tu y tires selon la loi uniforme de Lebesgue 2 points, alors quelque soit le cercle que tu choisis dans le carré, quelque soit sa position ou son rayon tu trouves 1/2*.
* : ceci est plus conforme aux symétrie qu implique l idée du hasard.

Essayons de préciser ce que tu écris : tu choisis une droite au hasard de la façon suivante : tu tires deux points au hasard de façon uniforme dans un carré, et tu traces la droite déterminée par ces deux points, s'ils sont distincts.  Qu'est-ce que tu affirmes ? Est-ce :
Quel que soit le cercle contenu dans le carré, la probabilité qu'une droite choisie au hasard selon le procédé ci-dessus coupe le cercle suivant une corde de longueur > le côté d'un triangle équilatéral inscrit, sachant qu'elle coupe le cercle, est 1/2.
Prouve ton affirmation, si tu penses qu'elle est vraie. Moi, je suis sûr qu'elle est fausse.

Par contre, je peux donner un énoncé correct

On tire au hasard un point dans un carré suivant une loi uniforme.
Quel que soit le cercle contenu dans le carré, la probabilité qu'un point choisi au hasard selon le procédé ci-dessus soit le milieu d'une corde de longueur > le côté d'un triangle équilatéral inscrit, sachant qu'il est à l'intérieur du cercle, est 1/4.

Quel que soit le cercle contenu dans le carré, la probabilité qu'une droite choisie au hasard selon le procédé ci-dessus coupe le cercle suivant une corde de longueur > le côté d'un triangle équilatéral inscrit, sachant qu'elle coupe le cercle, est 1/2.

Ton tirage aussi.

PS. Et j'attends la démonstration de ton affirmation. À moins que tu ne souhaites te rétracter ?

On tire au hasard un point dans un carré suivant une loi uniforme.

Ce tirage est aussi indépendant du cercle.

PS. J'attends la démonstration de ton affirmation. C'était en fait une affirmation péremptoire ?

Dans le problème de la corde de Bertrand, l'énoncé est précis. Donc il n'y a qu'une solution. Ce qui n'est pas évident c'est de trouver laquelle.
Ben oui, le tirage est indépendant du cercle. Si on fixe une origine sur le cercle ou tout autre-chose, on rajoute une hypothèse, c'est à dire un choix du matheux. Donc, on doit faire le calcul de la solution sans faire aucune hypothèse extérieure, supplémentaire ou personnelle. Il faut se rappeler aussi que le hasard est unique, notion qui n'est pas claire et pas évidente pour la plupart des matheux. Je rappelle souvent cette histoire, parce que c'est très symptomatique de la façon de travailler des matheux : "dites-moi la solution et je fais le calcul" ou "quel modèle voulez-vous appliquer". En l'occurrence, c'est un attrape-nigaud pour matheux qui n'a rien compris aux probabilités.

Rectificatif : Dlzlogic n'a toujours pas compris qu'on peut choisir une droite de manière uniforme parmi celles qui coupent le cercle (ce que fait Harthong avec son histoire de fétus de paille), ou qu'on peut choisir le point milieu de la corde de manière uniforme parmi les points à l'intérieur du cercle, ou qu'on peut choisir les extrémités de la corde de manière uniforme sur le cercle.
De même, "tirer un polynôme au hasard" demande de faire un choix de mesure de probabilité sur l'ensemble des polynômes, et le nombre moyen de racines réelles dépend de la mesure choisie. Suivant les applications en vue, on peut avoir de bonnes raisons d'utiliser telle mesure de probabilité plutôt que telle autre.

Ben oui, GBZM, t'as bien raison, c'est comme 'on' veut.
Le 'on' c'est le matheux courant, celui qui n'a pas réfléchi.

"En maths, c'est comme on veut" : expression habituelle de Dlzlogic quand il refuse de voir que la modélisation mathématique d'une situation demande d'être précis.

PS. Désolé, Dattier, avec la pollution de Dlzlogic j'ai failli oublier ta question

Ok, dis moi le tirage que je dois faire sans faire référence à un cercle ?

Je n'en saisis pas le sens. Peux-tu préciser ?

Bonjour Dattier,
C'est marrant, avec son exercice qui reprend l'énoncé de Bertrand avec en plus une limitation de la longueur du segment servant éventuellement à la corde, GBZM ne trouve qu'une seule interprétation, donc une seule solution.
Intellectuellement, c'est un phénomène intéressant : un grand nombre de ses collègues lui disent que l'interprétation de l'énoncé de Bertrand doit être "trois solutions" et "c'est comme on veut", par contre son exercice qui est le même, avec une limitation supplémentaire, là il n'y a plus d'ambiguïté.
En langage matheux, c'est ce qu'on appelle "la bonne foi".

Dattier a écrit:Comment tirés-tu tes droites en l absence de cercle, moi par exemple je tire 2 points et je trace la droite corespondante, et toi ?

Tu tires deux points avec la loi uniforme sur un carré. Ça ne donne pas des droites distribuées selon la loi uniforme pour la mesure sur l'espace des droites du plan affine.

Dlzlogic, qui oublie assez systématiquement ce qu'il lit, oublie que j'ai repris le scénario de Harthong avec les pailles lancées depuis un trou dans le plafond et dispersées par un puissant ventilateur.

GBZM a écrit:Dlzlogic, qui oublie assez systématiquement ce qu'il lit, oublie que j'ai repris le scénario de Harthong avec les pailles lancées depuis un trou dans le plafond et dispersées par un puissant ventilateur.

Oh non, je n'oublie rien.
Par contre, ta remarque est intéressant : tu admets donc que la méthode J.H. réalise l'expérience suivant une loi uniforme et que le résultat est aléatoire, c'est à dire qu'il ne dépend que du hasard. Enfin, que la probabilité cherchée est 1/2. En d'autres termes, toutes les conditions sont remplies pour résoudre le "paradoxe" de la corde de Bertrand : il n'y a plus de paradoxe, l'énoncé est précis et donc la solution est unique.

GBZM a écrit:Tu tires deux points avec la loi uniforme sur un carré. Ça ne donne pas des droites distribuées selon la loi uniforme pour la mesure sur l'espace des droites du plan affine.

Là tu devrais te renseigner un peu sur la théorie des probabilités et les applications, par exemple la méthode de Monte-Carlo. Tu vas me dire "quel rapport ?", ben oui, pour comprendre le rapport, il faut comprendre les probabilités et comme tu es émérite, pour toi, c'est trop tard.

Dlzlogic, peux-tu éviter de polluer la discussion ? Merci !

Dattier a écrit:alors si tu préfères je tire 1 point de manière uniforme, puis je tire un angle de manière uniforme, l angle de la droite par rapport à la verticale.

Où le tires-tu de manière uniforme, ton point ? Même si tu le tires dans un disque pour avoir au moins une symétrie de rotation, tu vois bien que les droites voisines d'un diamètre du disque ont plus de poids que les droites voisines d'une tangente.

Si tu veux tirer une droite de manière uniforme, tu te fixes un point O, tu choisis un angle polaire t de manière uniforme dans [0,2*pi[ et tu choisis un r de manière uniforme dans [0,R]. Ça te donne un point M, et une droite passant par M orthogonale à OM. Tu as comme ça un tirage de droite dans l'ensemble des droites rencontrant le disque de centre O de rayon R, uniforme pour la mesure sur l'espace des droites du plan affine invariante par déplacement.

GBZM a écrit:Dlzlogic, peux-tu éviter de polluer la discussion ? Merci !

Oh, mais pour qui tu te prends ?

Pour quelqu'un qui aimerait bien pouvoir échanger sans être perturbé par des interventions sans queue ni tête, vides de contenu scientifique et pleines de contresens.