Application d'un exercice

Bonjour,
Réf. : https://www.maths-forum.com/superieur/esperance-variance-loi-bernoulli-t226447.html
Pour essayer de comprendre les termes employés et le raisonnement, je vais essayer de détailler cet exercice.
Etant donné que les probabilités sont basées sur monde réel, je vais prendre un exemple dans le monde réel : tirage avec un dé

Gérard Villemain a écrit:Lancement d'un dé
Soit X la variable aléatoire qui prend:
*       la valeur 1 quand on obtient 6 et
*       la valeur 0 dans les autres cas.

La variable aléatoire est Xi est l'expérience qui consiste à jeter 100 fois ce dé équilibré. Cette expérience est réalisée 10 fois, conformément à l'énoncé. J'ai obtenu les résultats suivants :
Moyenne de rang  1 = 0.18
Moyenne de rang  2 = 0.23
Moyenne de rang  3 = 0.19
Moyenne de rang  4 = 0.15
Moyenne de rang  5 = 0.17
Moyenne de rang  6 = 0.19
Moyenne de rang  7 = 0.12
Moyenne de rang  8 = 0.21
Moyenne de rang  9 = 0.11
Moyenne de rang 10 = 0.18

Pour les 10 expériences M = 0.17  Var=0.0014 (formule = 0.0139)

Très nettement, la valeur trouvée pour la variance ne correspond pas à la valeur théorique : elle est 10 fois plus faible.
Où est la faute ?

Bonsoir,
Gbzm a lu mon message et cela l'a fait réagir. Merci.
Si le nombre d'épreuves dans chacune des expériences avait été 25, 72 ou 2538, les valeurs des Xi de 1 a 10 auraient été les mêmes, à la précision près.
Donc, la dernière opération permettant de calculer M et la variance de M aurait été identique.
Pour moi, le problème reste posé : où est l'erreur ?

Bon, j'ai bien relu l'énoncé :

On considère des variables aléatoires de Bernoulli indépendantes X1, X2, ..., X10, à valeurs dans {0,1} et de paramètre p.
On note la moyenne des résultats. [il faut lire M=1/10 somme(Xi) pour i=1 à 10]

Les X sont des variables aléatoires, donc des fonctions.
M est une variable, puisqu'elle admet une espérance et une variance. Ce sont ces valeurs qui sont à exprimer.
La suite des échanges confirme cela, puisque on calcule la moyenne de M et sa variance.

Bien-sûr, il reste une éventualité, c'est que les Xi sont des valeurs et non des variables aléatoires.
C'était naturellement l'objet de ce fil.
En ce cas, il est normal que le demandeur dise "Je suis en proie à un doute sur l'énoncé suivant :"
puisque, vu la suite des échanges, l'énoncé n'a aucun sens.  

Je résume la question que je pose : comment distinguer une fonction, en l'occurrence une variable aléatoire qui renvoie des valeurs et une valeur renvoyée par une variable aléatoire.
Sur Wikipédia, un nouveau terme a été introduit : "variation". Cela permettra peut-être de rendre les énoncés plus clairs et précis.

Je note aussi cela :

Gbzm a écrit:où les Xi sont indépendantes et suivent la loi de Bernoulli de paramètre 1/6.

Si les Xi n'était pas indépendants il ne serait pas des résultats d'une même expérience, cad même loi de Bernoulli. Ce qui confirme que ces X sont des variables, donc des fonctions.

Je vais expliquer une autre façon de comprendre d'énoncé.
Les Xi ne sont pas de variables, mais des valeurs obtenues suivant une expérience suivant la loi de Bernoilli, même exemple du dé à 6 faces.
On peut calculer la moyenne M. Ce n'est pas vraiment une moyenne, mais on peut l'appeler "espérance", dans le cas de mon exemple, c'est M=p=1/6.
Il n'y a pas de somme, puisqu'il n'y a pas différentes valeurs, seulement un nombre de cas favorables.
Si on veut calculer la variance théorique, comme on connait la "moyenne" théorique, alors si le nombre d'essais tend vers l'infini, on peut appliquer la loi des grands nombres. Pour 10 essais, cela me parait un peu léger.

Donc je confirme mon interprétation de l'exercice et je ne comprends toujours pas la formule. Suggestion au lieu de diviser par 10, le nombre de X il faut diviser par 10², soit 100.
Merci d'avance pour vos réactions.

Bonjour,
J'ai lu la dernière intervention de GBZM.
Il n'a pas compris le but de ce fil. La question n'est pas de savoir comment calculer une variance, c'est pas dur, puisque c'est le carré de l'écart-type. Encore faut-il que cet écart-type ait un sens, disons que la variance est le carré de la moyenne de second ordre des écarts à la moyenne.
La question est de savoir la signification de cet énoncé. La distinction entre une "variable aléatoire" et une "valeur renvoyée par une variable aléatoire".
GBZM applique et fait appliquer par un étudiant une formule théorique, puisqu'elle n'est vraie que pour N tendant vers l'infini.
Sur ce point là, il s'est bien gardé de répondre.