Pourquoi Poisson ?

Bonsoir,
réf. : https://www.ilemaths.net/sujet-loi-de-poisson-piece-a-usiner-868093.html
Habituellement la loi de Poisson est utilisée pour les évènement rares. La raison est assez simple, c'est une simplification de la loi normale.
En l'occurrence dans cet exercice, qu'on dise que c'est une loi de Poisson n'est pas grave, mais pédagogiquement et techniquement faux, de toute façon on calcule les élément d'une loi de Poisson comme une loi normale.

Unknown a écrit:La loi de Poisson est une loi discrète, à support positif.

La loi normale est une loi continue, à support R.

A mon avis, cette réaction de Unknown mérite un commentaire.
Si on fait une expérience, quelle qu'elle soit, la répartition des écarts à la moyenne est celle de la loi normale. Ceci est parfaitement général, c'est une loi de la nature, au même titre que la gravitation.
En fait, cette loi n'est pas très facile à utiliser. On ne sait pas exprimer algébriquement la fonction de répartition. On a donc établi des tables de répartition qu'il est assez facile d'utiliser et un grand nombre de calculettes ont un bouton spécialisé.
Cependant, on a éprouvé le besoin de résoudre ce type de problème, avant l'arrivée de l'informatique.
Pour les calculs précis, seule la table de répartition est valable. Je ne détaillerai pas ce point.
Cas de la loi de Poisson. Il s'agit de vérifier la répartition des événements rares. Historiquement, il s'agissait d'étudier la fréquence des suicides. La précision des résultats intéressait très peu les chercheurs, d'où une formulation simplifiée.
Cas de la loi du Khi². Là il s'agit de vérifier la validité d'un phénomène. Naturellement, comme les résultats de l'expérience ne dépendent que du hasard, c'est la loi normale qui s'applique. Cependant, les calculs sont un peu longs et cette méthode permet, à partir d'opérations simples, de comparer les résultats à ce qu'on pouvait attendre en théorie. Cette méthode nécessite l'utilisation de table, rédigée une fois pour toute. Je précise que le qualificatif de "loi" n'est pas justifié puisque il s'agit seulement d'une méthode de calcul.
Cas de la méthode de Student. La méthode de calcul est différente mais le but recherché est le même que la méthode du Khi².
Tous les cours et documents évoquent, de façon plus ou moins précise, la base incontournable que constitue la loi normale.

Bonjour,
Réf. : https://www.maths-forum.com/superieur/loi-normale-score-t231647.html
Cette question est tout à fait dans le cadre de ce fil.
A la question posée " je présume que X suit une loi normale" la réponse est "en effet X suit cette loi. ". Le demandeur est sûr de lui, comment le sait -il ?
Une moyenne de 30 et un écart-type de 4, ça ressemble vraiment à des nombres entiers, Est-on sûr que c'est une expérience d'une variable continue et par discrète ? Ca n'étonne personne ? Bon, tant pis. Au moins on sait que l'écart-type est défini avec un seul chiffre significatif.

μ = 30 et σ = 4, quelle est la probabilité que
X > 38.
X< 26.
Trouver la valeur de X de sorte que l'aire à gauche de X représente 5% de l'aire totale sous la courbe normale.

Je crois que l'étudiant n'a pas compris, donc je donne la correction.
Pour X > 38. 38 = µ + 2σ donc la probabilité est environ 0.05.
Pour X <26. 26 = µ - 1σ donc la probabilité est environ 0.33 (de mémoire)
Pour l'aire je me suis déjà planté alors je suis prudent. X=22.
(Sauf erreur).

Bonjour,
Décidément, on connait mal la loi normale.
D'abord, et c'est fondamental, la loi normale n'est pas une loi de probabilité au même titre que des lois comme la loi binomiale, ou la loi uniforme, ou la loi exponentielle, mais c'est la loi fondamentale en matière de probabilité, d'où son nom "normale", c'est à dire "selon la norme" C'est le contenu du TCL.
Il est facile de dire "c'est pas vrai" et même de trouver des contre-exemples.
Il y en a deux particulièrement classiques, la loi de Cauchy et la loi exponentielle.
Concernant la loi de Cauchy, la raison vient du fait que la variable observée est au dénominateur de la formule. Il en résulte que la variation aléatoire peut tendre vers l'infini, ou plus exactement est impossible à déterminer. Si on prend la précaution élémentaire d'interdire la valeur zéro pour la variable observée, alors une expérience suivant la loi de Cauchy se comporte comme une expérience habituelle.

Concernant la loi exponentielle.
Pour mémoire, une expérience suivant cette loi consiste à mesurer la durée de vie d'un élément sans usure. Cette loi s'applique à la durée de vie des éléments radioactifs, d'où l'expression "demie-vie" qui n'est pas la moyenne observée. Comme pour toutes les autres lois des probabilités, la loi résultant des mesures de l'expérience produit des résultats qui convergent vers la loi normale. Là, l'argument invoqué est "que se passe-t-il pour des résultats négatifs ?". C'est la technique bien connu qui consiste à employer des termes exacts dans un contexte qui n'est pas le bon. L'expérience consiste à mesurer le durée de la demi-vie. Ce sont les écarts à la moyenne, en l'occurrence la durée, qui ont une répartition normale. La question de "durée négative" est sans objet.

Dans l'exercice cité dans mon message précédent, la question " je présume que X suit une loi normale" est sans objet, puisque si on parle d'écart-type, il s'agit forcément d'une valeur calculée à partir des résultats d'une expérience "de même loi" et que sauf tricherie ou faute, la répartition des écarts à la moyenne est normale.
Je rappelle, pour mémoire, une pseudo-vérification de comparaison à une répartition uniforme faite à l'aide d'un test du Khi² au seuil de 95% qui a naturellement été positif. Il est assez étonnant d'utiliser un test basé sur une loi L permettant de montrer (ou faire croire) que tel résultat ne vérifie pas la dite loi L qui est la base démontée de la théorie dont il est question. En d'autre termes, on utilise une loi L pour montrer que celle-ci est fausse.