Niveau lycée : polynôme de second degré et racine

Salut,

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Salut

@Beagle : veux-tu que je te donne la solution ?

Bonjour Dattier,
Je n'avais pas vu cette question.
Si on a 5^1/3 racine d'un polynome du second degré, alors
J'appelle Z = 5^1/3
(a-Z) (b-x2) = 0
x2 étant la seconde racine.
Conne les coefficients sont entiers, il n'est pas possible d'avoir un résultat du développement égal à une racine cubique.

@Dlzlogic : pourquoi ton raisonnement ne marcherait pas aussi, avec Z=racine(5)?

Salut Dattier,
Tu as raison, c'est très mal dit, alors je recommence.
Supposons que Z = 5^1/3.
Le produit des racines x1 et x2 d'un polynôme du second degré est égal à c/a, a et c sont les paramètres du polynome ax² + bx + c =0.
alors x1 x2 = c/a.
x1 = Z qui est irrationnel.
On peut trouver un nombre x2 qui multiplié par Z donnera un rationnel de la forme k/Z , mais la somme x1 + x2 ne pourra pas être égale à -b/a donc c'est "absurde".
On pourrait plus détailler en utilisant la formule de résolution.

Salut Pierre et à tous nos lecteurs,

Dlzlogic a écrit:
On peut trouver un nombre x2 qui multiplié par Z donnera un rationnel de la forme k/Z , mais la somme x1 + x2 ne pourra pas être égale à -b/a donc c'est "absurde".
   

Pourquoi la partie en gras serait exacte ?

Bon, on a vu que le produit = c/a à la condition que x2 soit de la forme K/Z.
Dans ce cas la somme serait de la forme Z + K/Z soit (Z² + K)/Z qui ne peut pas être un nombre rationnel.
En effet, s'il pouvait être rationnel, on pourrait écrire (Z² + K) / Z = p/q ; p et q entiers
soit Z² q + Kq = Zp  
Dans cette équation, on peut oublier Kq qui est entier.
Il reste Z²q =Zp ; on simplifie par Z, il reste Zq = p.
Z est une racine cubique, multiplié par un entier ne peut pas être égal à un entier.

J'ai pas mieux.

[Edit]
Petit commentaire perso.
J'ai observé depuis que je fréquente les forums que certains matheux ont une capacité remarquable à trouver des "contre-exemple", ce qui revient à démontrer que quelque-chose n'est pas vrai. Cette méthode conduit à des résultats assez inattendus, type "Paradoxe de Bertrand". En poussant le raisonnement, il ne serait pas difficile de démontrer que les sondages ne reposent sur rien de mathématiquement sérieux, pas plus que les tests de qualité, pas plus que le fonctionnement des GPS, en gros, tout ce qui résulte directement ou indirectement de mesure n'aurait aucune justification.
Dans le même ordre d'idée, la distinction entre entiers et réels, sauf pour les comptages, n'a pas vraiment de justification pour moi. Je sais, une salade est vendue à la pièce, des tomates au poids. Ce n'est qu'un exemple, pas une justification. [/Edit]

Dlzlogic a écrit:Bon, on a vu que le produit = c/a à la condition que x2 soit de la forme K/Z.
Dans ce cas la somme serait de la forme Z + K/Z soit (Z² + K)/Z qui ne peut pas être un nombre rationnel.
En effet, s'il pouvait être rationnel, on pourrait écrire (Z² + K) / Z = p/q ; p et q entiers
soit Z² q + Kq = Zp  
Dans cette équation, on peut oublier Kq qui est entier.  

1) Pourquoi Kq serait un entier ?

2) pourquoi pourrait-on oublier le terme Kq, tant bien même il serait entier ?

1) parce que K et q sont déclarés entiers dans le raisonnement
2) parce que le signe '=' ne sert qu'a comparer des types de valeurs. Oublier le terme Kq ne change rien à la démonstration.

Je crois que le mieux serait que tu donnes LA bonne réponse.

Je ne prétends pas que la réponse que j'ai en tête est la seule bonne.

J'essayais simplement de comprendre ta proposition.

Je rédige et publie ici.

P(x)=x^3-5, \text{ on a alors }P(a)=0
\\\text{2/ Supposons qu'il existe un polynôme Q de coefficient entier et de degrée 2 tel que }Q(a)=0.
\\\text{ on fait la division euclidienne de P par Q, alors il existe R de degrée plus petit ou égale à 1 et S de degrée 1, tout les 2 à coefficients rationnels tel que : }
\\P(x)=Q(x)\times S(x)+R(x),\text{ si R de degrée 1, alors }R(a)=0\text{ et donc }a \text{ serait rationnel...impossible (d'aprés 1/)}
\\\text{ donc } R(x)=0 \text{ et }P(x)=Q(x)\times S(x)
\\\text{ or }S(x) \text{ est rationnel de degré 1, donc admet une racine rationnelle r, donc }P(x)\text{ aurait au moins 2 racines } a, r
\\\text{ impossible car }P(x)=x^3-5 \text{ strictement croissant, et donc injectif. }

J'avais fait comme Pierre, et puis j'ai effacé
si on garde z=5^1/3
alors factorisé le polynome est
(x-z)(ax+b)
on développe
ax² oblige a à etre entier
b est de la forme 5(k+2/3) pour que-zb soit entier
et ensuite on ne pourra pas rendre entier le (b-za)

@Beagle : Me permets tu de te poser quelques questions, sur ton explication ?

Dlzlogic a pris la mouche, mais mon objectif n'est pas de montrer que moi je sais et que lui non, mais de faire sentir le degré de rigueur demandé (loin d'être absolue) dans une explication de maths.

Si tu acceptes, nos échanges seront sous la modalité : "si tu ne comprends pas, c'est que je suis trop con pour me faire comprendre" et non l'ancienne modalité d'échange.

Salut Beagle,
Oui, nous sommes d'accord.
Ca fait partie des problèmes qui sont quasi-évidents, mais dont la démonstration rigoureuse est un exercice de style.
A propos des nombres entiers et de leurs application, il y a bien-sûr l'histoire du code RSA pour la cryptographie, là j'y connais rien. Par contre, j'ai eu à traiter des nombres entiers pour le dessin de "patern". Ce sont de petits dessins répétitifs qui s'assemblent pour faire un graphisme. Ce m'y suis essayé, c'est très difficile. Un fichier dessin est constitué de pixels, donc des nombres entiers.
A l'époque où je faisais mes études, sauf cas très rares, on ne traitait pas de nombres entiers. C'est vraiment un truc que je domine très mal.
Quand on aborde l'informatique, ça ne pose pas vraiment de problème, on les déclare comme tels et on sait exactement ce qu'on fait. Maintenant, la tendance en informatique, c'est qu'il n'y a plus de déclaration, on laisse le langage se débrouiller, moyennant quoi, on ne sait plus ce qu'on fait.
Petit exemple très simple : dans les langages "sérieux" la fonction rand() renvoie un entier entre 0 et RAND_MAX. C'est au développeur à le transformer en nombre réel s'il en a besoin. Dans les langages actuels, en base, rand() revoie un nombre entre 0 et 1 par défaut.
Je sais, je suis hérétique et c'est pas à mon age que je vais changer.

@ Dattier,
Oh non, je n'ai pas pris la mouche mais ce type d'exo ne me passionne pas vraiment.
Pour la rigueur, il suffit de lire les forums de maths pour en avoir un aperçu. Par exemple, le sujet sur la démonstration par l'absurde. Si en maths, deux personnes ne sont pas d'accord, c'est que l'un des deux a tort, ou que en maths, on fait comme on veut. Voir aussi le Paradoxe de Bertrand.

Bonjour Dattier,
J'ai bien aimé cette présentation.
Par contre l'explication de l'erreur tombe comme un cheveu sur la soupe.
Il n'y a pas de calcul de limite dans cette histoire, ou plutôt, il fait semblant qu'il y en a une, alors qu'il s'agit d'une simple multiplication (soit n additions) de n éléments égaux.
Bonne journée.

Bonjour  Pierre et tous les lecteurs,

Il est question d'intervertion de limite injustifiée.

Bonne journée.