Vérification de la loi des grands nombres.

Bonjour,
Réf. : https://www.maths-forum.com/enigmes/probleme-mathematiques-t251411.html
Indépendamment du but de l'exercice qui concerne la programmation, cette expérience dont le protocole est assez compliqué, est un excellent exemple de vérification de la loi des grands nombres. Je ne sais pas avec précision quelle est la moyenne du résultat, appelée parfois "espérance", mais c'est de l'ordre de 370.

Je vais aller plus loin, le résultat de l'expérience peut théoriquement valoir jusqu'à 2021, mais c'est très très improbable.

Bonjour,

Unknown a écrit:il n\'est jamais question de chercher l\'espérance d\'une variable aléatoire dans l\'énoncé en question

Oui, de la même façon que lors de l'expérience des 12 calculs de Gbzm, il n'était pas question de vérifier la normalité des décimales des nombres transcendants, ni dans l'exploitation des mesures journalières de température de vérifier la normalité des écarts à la moyenne, l'énoncé ne prévoyait pas cela.
La loi des grands nombres est une loi du monde réel, donc, elle doit pouvoir être vérifiée dans tous les cas, même pour des expériences en relation avec l'optique, qu'elle soit géométrique ou physique.

Ceci étant dit, cette expérience est particulièrement intéressante : elle est le résultat d'un processus compliqué et par suite, ne résultant que du hasard. L'inconvénient majeur est le temps d'exécution très important. Mais il en résulte un avantage majeur qui est que seul le hasard intervient dans le résultat.
Dans ce processus, un évènement est le résultat obtenu au bout de la boucle des 2020 calculs.
Une expérience est la répétition d'un certain nombre d'exécutions de cet évènement.
On se trouve, typiquement, dans le cas d'une expérience de loi "sans mémoire". Tous les évènements sont indépendants et ne se rapportent à rien de constant comme cela serait le cas de la mesure ou de l'observation d'une même chose. Cette expérience est parfaitement comparable à l'étude de la durée de vie d'atomes, ou de composants électroniques sans usure. La loi de ce type d'expérience est bien connue, c'est la loi exponentielle.
La vérification de moy/med ~ ln(2) le vérifie.

Petite question : quelle est la probabilité que le dernier nombre soit 2021 ?
Il faut qu'il n'ait pas été choisi au 1er coup, soit P = 2020/2021 * 2019/2020 (2 tirages)
Rajout d'un nombre.
Au second coup P *= 2019/2020 * 2018/2019 (2 tirages)
...
au 2020 au coup,  sauf erreur, il lui reste 1/2020! environ de ne pas avoir été tiré. Ca fait pas beaucoup.

Bon, très nettement mon message à propos de la loi exponentielle suivie par l'expérience des 2020 différences n'a pas plus à Unknown.
Considérons chaque nombre de 1 à 2021 comme un objet, c'est à dire, non pas une valeur numérique, mais un label. En d'autres termes, avant de commencer l'expérience, on inscrit ces "nombres" au tableau en ordre crossant, mais si on les avait inscrit dans n'importe quel ordre, cela n'aurait rien changé.
Lorsqu'on en choisi 2 et qu'on calcule leur différence, on prend leur valeur numérique inscrite.
Lors de l'épreuve, c'est à dire les 2020 prélèvements, tous ces objets sont utilisés, puisqu'il n'en reste plus qu'un à la fin de l'épreuve.
Chaque fois qu'une différence est effectuée le résultat est ajouté au bout de la liste, ou ailleurs, cela n'a en fait aucune importance sur le résultat, puisque le choix des 2 nombres à soustraire est aléatoire.
La longueur de la liste se réduit d'une unité à chaque opération.
Lorsque l'épreuve est terminée, la liste ne contient plus qu'une valeur. Il s'agit bien d'une valeur, puisque c'est, sauf cas improbable, le résultat d'une soustraction.
Cette épreuve est totalement indépendante de toute autre, identique, si on la répète. C'est exactement le même contexte que le calcul de durée de vie, sauf qu'ici, la variable numérique n'est pas un temps mais le résultat de soustractions successives. Comme les objets sont tous différents et des entiers continus, cela peut parfaitement être assimilé à des temps.
Il est clair que les simulations vérifient cette démonstration.

Bonsoir,
Oui, je l'avoue, j'ai fait une erreur majeure que Unknown m'a fait remarquer : j'ai détaillé le fonctionnement du processus concerné et j'ai dit qu'il suivait une loi exponentielle. C'est complètement faux, c'est la loi de Jasmine. Il est vrai que j'ai des excuses, puisqu'elle ressemble vraiment à la loi exponentielle, le critère est le rapport de la médiane sur la moyenne qui est très proche de celui de la loi exponentielle : ln(2). Certains pourraient la confondre avec la loi géométrique dont les valeurs sont entières, mais ce rapport ne peut pas être confondu avec le logarithme décimal de 2.
Bon, maintenant les choses sont claires : la loi suivie par ce processus est la loi de Jasmine.

Bon, il est possible que mon message précédent qui n'était que de l'humour n'a pas plus à tout le monde.
Sur le fond, c'est beaucoup plus important : toute la question est de savoir si le monde naturel doit coller aux mathématiques ou au contraire, si les mathématiques doivent aider la connaissance du monde.

En matière de probabilités, la question posée est très simple : on fait une chose, il est important de connaitre les limites de cette chose, de quelle façon les résultats s'articulent, de quelle façon on peut vérifier leur validité, comment approcher au plus près la valeur numérique qu'on peut écrire au bas de la feuille de résultat etc.

En gros, et pour simplifier, les lois des probabilités qui résultent de la théorie, soigneusement expliquées et démontrées, permettent de répondre à ces questions. Cet exercice basée sur un long calcul qui garantit que l'unique variable est le hasard, permet de vérifier ces lois. Je tiens à préciser que les initiateurs, Bernoulli, Gauss et leurs copains ne disposaient pas des outils informatiques et ont établi cette théorie, uniquement par le raisonnement et les démonstrations. Maintenant, on peut les vérifier, de quantités de façons, simulations, statistiques de mesure, etc. et c'est maintenant qu'elle sont contestées. C'est assez inimaginable.

Bonjour,
Il est clair que ce topic s'inscrit dans la longue suite de discussions concernant la théorie des probabilités.
L'exemple que j'ai utilisé présent l'intérêt d'être indépendant de toute autre considération. Il est aussi impersonnel et théorique que le jeu de pile ou face.
Je rappelle, pour mémoire, les deux théorèmes fondamentaux, la loi des grands nombres et la loi normale. Ils sont fondamentaux, puisque lorsque toutes les considérations parasites ont été éliminées, ils sont toujours applicables et dans tous les cas.

L'exemple de l'énoncé étudié, succession de différences, présente l'intérêt que la loi de probabilité du dernier nombre de l'expérience est la loi exponentielle. Cette loi est appelée "sans mémoire" parce que, contrairement à l'observation ou à la mesure d'une même chose, chaque résultat est indépendant des résultats précédents. Lors qu'on effectue plusieurs mesures d'une même chose, on sait que la moyenne des résultats tendra vers une valeur qui se rapprochera de plus en plus de la valeur vraie, inconnue.
Il est facile de visualiser la différence de comportement des deux types de loi. On réalise un certain nombre d'épreuve suivant le même protocole, la même procédure. On calcule la moyenne arithmétique de toutes ces valeurs. On calcule la moyenne de second ordre, des écarts de chaque valeur par rapport à la moyenne, c'est l'écart moyen quadratique (emq). On réparti ces écarts en classes, suivant un découpage proportionnel à l'emq et on dessine l'histogramme de ces classes.
Là la différence d'aspect est caractéristique : si l'histogramme admet approximativement une symétrie, alors il s'agit d'une loi "avec mémoire", si l'histogramme présente approximativement l'aspect d'une exponentielle, alors, il s'agit d'une loi sans mémoire. Je pense que toute autre disposition ne serait possible que si les conditions de l'expérience ne sont pas satisfaites. Par exemple si les différentes épreuves ne sont pas indépendantes. Ce serait d'ailleurs un sujet intéressant à étudier.

Bonjour,
Ce topic ne suscite pas beaucoup plus de réaction. Je vais le surcharger de deux points de détail que j'évoque quelque fois.
1- Quelle loi de probabilité ?
Dans quasiment tous les exerces de probabilité, quel que soit le bout par lequel on considère le problème, on en revient directement ou indirectement à cette question : "quelle loi de probabilité ?".
Dans les cours il est bien précisé que une loi de probabilité possède une espérance et une variance et par conséquent doit être de carré intégrable.
Si on ne dispose que de résultats d'expériences, ce qui est fondamentalement le cas général, comment peut-on concilier cette obligation d'intégrabilité d'une loi inconnue avec la recherche d'un résultat. De façon plus explicite, la loi de Jasmine dont il est question quelques messages plus haut, est décrite dans l'énoncé, donc, on peut vérifier son intégrabilité, mais si on n'avait disposé que du résultat, là cette condition n'étant pas vérifiable, la solution possible aurait été dépourvue d'une hypothèse de base.
En fait, c'est une contradiction fondamentale dans la "nouvelle" théorie des probabilités (selon l'EN). En effet la loi des grands nombres s'applique dans le monde réel et observable sans aucune hypothèse particulière. Y compris naturellement la loi de Cauchy.

2- Variable aléatoire discrète ou continue ?
D'abord, il est clair que pour l'apprentissage des notions de probabilité, il est plus facile d'évoquer des variables aléatoires simples, du type pile ou face, dés à 6 faces, boules dans une urne etc. qui mettent en œuvre des nombres entiers. Bernoulli a utilisé la variable binaire bien connue, pile ou face.
Dans la suite des cours on introduit la notion de variable aléatoire continue.
Mais il s'avère que cette distinction discrète <--> continue persiste et en quelque sorte duplique le catalogue des lois disponibles. On en arrive fréquemment à ce type de conclusion : "la loi cherchée ne peut pas être celle-là, puisque la variable est discrète".
Le hasard est ce qu'il est, avant de produire un résultat il ne se pose pas la question "discret ou continu ?".

Bonjour,

Dlzlogic a écrit:En fait, c'est une contradiction fondamentale dans la "nouvelle" théorie des probabilités (selon l'EN).

ha ha ha !

Dlzlogic a écrit: En effet la loi des grands nombres s'applique dans le monde réel et observable sans aucune hypothèse particulière. Y compris naturellement la loi de Cauchy.

ha ha ha !