la loi des grands nombres ne marche pas ... comme ça!

un peu de définitions , tirées de wikipedia:
"En mathématiques, la loi des grands nombres permet d’interpréter la probabilité comme une fréquence de réalisation,... et présente l’espérance comme une moyenne.
Plus formellement, elle signifie que la moyenne empirique, calculée sur les valeurs d’un échantillon, converge vers l’espérance lorsque la taille de l’échantillon tend vers l’infini."

on va uniquement s'interesser ici à la situation des series de pile ou face de piece équilibrée, wiki encore:
"Lors d’un lancer d’une pièce de monnaie équilibrée, les deux côtés « pile » et « face » apparaissent de façon équiprobable pour des raisons de symétrie : on ne s’attend pas plus à l’un ou à l’autre côté. Cette mesure de l’attente s’appuie souvent sur une considération statistique : sur un grand nombre de lancers, on observe à peu près autant d’occurrences pour chaque côté de la pièce, même s’il est rare d’en obtenir exactement autant.

En réalité, le nombre d’occurrences pour pile est différent du nombre d’occurrences pour face, avec une différence qui a tendance à s’accroître quand on augmente le nombre de lancers. Mais la fréquence des occurrences de chaque côté se rapproche de 1/2."

Voilà pour ce qui se passe.
Donc tout le monde est d'accord :
P/ (F+P) comme F/(F+P) tendent vers 1/2
dit autrement F/P tend vers 1

Ce que fait le F-P est débattu dans d'autres fils de discussion.

Mais pourquoi ce fesse?
Ben ce qui rend ce truc possible est: wiki toujours:
"La forme faible de la loi des grands nombres repose sur une convergence en probabilité, c’est-à-dire qu’elle affirme que parmi tous les échantillons de valeurs possibles, ceux dont la moyenne s’éloigne de la probabilité sont rares, et que cette rareté s’accentue avec la taille de l’échantillon."
Je renvoie plus modestement vers mes explications de type ici loi binomiale si on divise une serie en 4 parties, on regarde lesquelles sont en avance ou en retard de F ou P,
qs on y reviendra peutètre plus bas dans les explications, mais en terme d'arbre de proba et de chemins d'arbres,
ben comme le dit Pierre dans son PDF en binomial les combinaisons deux avances deux retard sont plus nombreuses que 1 retard 3 avances et les combinaisons 4 retard ou 4 avances ne sont qu'une seule branche et donc rares.

Maintenant on voit sur ce site une explication au fait que P/(F+P) tend vers 1/2
à base de rattrapage de retard (alors qu'il s'agit d'une dissolution plutôt, mais rattrapage n'est pas complètement faux))
lui-même et là c'est grave à base d'augmentation des probas , si face est en retard dans la serie, alors F voit ses chances augmentées dans la suite de la série.
L0 je ne cite plus wikipedia mais Pierre:
"Dans le fichier des 10 000, comme P-F est positif, il est clair que "F va rattraper son retard". Donc à tout moment F a plus de chances de sortir, mais c'est pas pour autant qu'il va sortir au coup suivant. ""
Autre citation de Pierre sur ce sujet, si on joue le retard on augmente les chances par rapport à jouer au hasard:
""J'ai l'impression que je mal expliqué le test avec Le_Jeu.
Avec mon générateur, ou celui de Le_Jeu, on vérifie que je joueur B gagne, parce qu'il connait les lois des probabilités.
....."Il y a quelques années, j'ai fait des essais et j'en ai déduit que le "gain" était de l'ordre de 2%. Donc, financièrement, aucun intérêt. "

Donc c'est bien sur faux, impossible et on va argumenter sur 3 niveaux
1) c'est faux, impossible de par la définition des conditions de départ
2) c'est faux, impossible démonstration par l'absurde
3) le retard ne se comble pas ainsi, il n' a pas besoin de ce phénomène pour rattraper, les frequences vont tendre vers 1/2 en continuant le hasard dans la suite de la série, donc en continuant le 1/2 pile 1/2 face, fort heureusement.

1) argument de définition
les conditions de départ

Voici un extrait du PDF de Pierre,
on y parle de séries pile ou face, comme quoi c'est répétition d'évenements de meme proba et indépendants,
meme pas la peine de parler de répétition d'épreuves de Bernouilli
on lance la meme piece qui a toujours les memes probas à chaque lancer:

"Distribution uniforme
Cette expression n'a pas encore été employée, mais elle est sous-entendue dans
tout le texte, et il est temps de la préciser.
Expérience : J'appelle expérience, quelle que soit la nature et quel que soit le
contexte, la réalisation d'une suite d'opérations élémentaires, indépendantes,
3
effectuées dans les mêmes conditions ou dans des conditions strictement
équivalentes. Une expérience très simple et à laquelle on se réfère souvent est le
jeu à pile ou face. L'opération élémentaire est un jet de pièce, l'expérience est un
ensemble de jets de pièces.
Lorsqu'on fait une expérience, celle-ci n'est valable que si les différents éléments
mesurés ou observés sont indépendant et dans un contexte identique. On appelle
cela généralement "variables aléatoires indépendantes identiquement
distribuées". Cela peut se concrétiser par le fait que tous les éléments mesurés ou
observés sont choisis dans un ordre quelconque. Il sont tous interchangeables et
seul le résultat de la mesure ou de l'observation est à prendre en considération.
A l'inverse, si on constate une évolution systématique en rapport direct avec
l'ordre des observations, alors on n'est plus dans le contexte de l'expérience du
présent papier.
…"

Donc voilà les conditions de départ. On part de ça.
Comment fait-on alors pour arriver à ceci qui permettrait d'expliquer la loi des grands nombres
"Dans le fichier des 10 000, comme P-F est positif, il est clair que "F va rattraper son retard". Donc à tout moment F a plus de chances de sortir, mais c'est pas pour autant qu'il va sortir au coup suivant. "

en pleine contradiction avec les conditions de départ.

Donc déjà si tu arrives à cette conclusion tu te dis,
ben non cela ne doit pas se passer ainsi.

2) en raisonnant par l'absurde
bon les jolis chiens diront si c'est du vrai absurde du contraposé, ou autre, mais j'aime bien.
Une chose est, existe par ce qu'elle est , mais aussi par ce qu'elle ne peut pas ètre.

Bref, on connait tous la blague suivante:
on lance une pièce qui a déjà  fait 5 face,  proba de face maintenant
on tire dans une urne des boules rouges et des boules noires, avec remise, une boule rouge est sortie  4 fois proba qu'ele sorte.
bref la blague est de dire où se trouve la mémoire de la pièce, où se trouve la mémoire des boules rouges qui savent ètre sortis déjà 4 fois etc...

J'avais poussé le bouchon idem sur maths forum , dans une version reprise sur le forum de Pierre:
https://dlz9.forumactif.com/t119-mais-qui-est-en-retard-dans-cette-serie

Donc si on admet que le passé de la série influe sur le futur de la série pour compenser, rattraper le retard
Comment fait-on après avoir mélangé les chaises, stylos, feuilles , personnes, pièces, etc...
on se rretrouve avec un feuille en retard de F et le stylo en avance de F, etc...
Ingérable, impossible, délirant.

Maintenant si on dit le retard se rattrape en terme de proportion par n'importe quelle série qui suivra le début d'un retard quelconque.
alors on peut additionner à la série en retard de F une autre serie finale identique pour qui est en retard de P, et qui conviendra à tout le monde.
De sorte que le retard se rattrappe avec n'importe quelle deuxième  série, soit en moyenne si meme longueur , soit ssystematique si longueur suffisante.
Alors les probas vont vers le 1/2 en se foutant royalement de savoir ce qu'il ya à compenser.
On le reverra  au chapitre suivant...

3) pas besoin de modifier les probas, toutes les séries misent bout à bout fonctionnent

Comme l'écrit fort justement Pierre dans son PDF dans une série de pile ou face, chaque sortie ne dépend absolument pas de ses voisines.
Le resultat du 143 iem tirage ne dépend pas du tirage 27 ou du tirage 985.
Les différentes parties d'une serie ne dépendent pas l'une de l'autre.
si on divise les series en 4 parties, on peut refaire une serie avec toutes les premieres parties de 4 series différentes,
ou en prenant la troisième de l'une avec la quatrième de l'autre associées à la premiere partie d'une troisieme serie et la deuxième d'une quatrieme série.

De ce fait l'observation que les probas tendent vers 1/2 ne dépend vraiment pas de ce qui s'est passé en premier partie et qui serait corrigé dans les parties suivantes.
Cela se moyenne et tend vers le 1/2 tout seul sans rien faire.

Donc on peut proposer l'expérience suivante.
Sur les 20 séries de 10 000 que j'ai mise sur le fil retard
les séries 1,2,3, …,20
On appelle A les 1000 premiers tirages et B les 9 000 suivants.
On regarde alors le P/(P+F), et le F/(P+F) à la fin de A et son évolution vers le 1/2
en mélangeant
1A avec les différents B
1A+ 2B
1A+3B
…
1A+20B

et on verra que cela marche
et que cela marche aussi bien que le 1A+ 1B
le 1B n'est pas plus rattrapeur de retard qu'un kB quelconque

et je dirais : fort heureusement!

Bonjour,
Il y a quelques années, j'ai contacté quelqu'un de ma confrérie pour lui demander conseil.
D'abord, il m'a laissé entendre que je n'y arriverai pas parce que c'étaient des notions que les matheux ne connaissaient pas, puis quand je lui ai parlé du terme "retard" employé dans les échanges, il a éclaté de rire. Donc si j'avais été malin et raisonnable, j'aurais tout simplement laissé tomber, mais je ne suis ni malin, ni raisonnable.

Je vais tout de même essayer de t'expliquer.
D'abord, il faut comprendre et admettre le postulat de la moyenne. Il peut s'énoncer ainsi "lors dune mesure ou d'une observation répétée et donnant plusieurs valeurs, la valeur à adopter, parce que c'est la plus probable (certains comprendront mieux le terme "vraisemblable") est la moyenne arithmétique de toutes les valeurs".
Si on me dit "c'est pas vrai" ou "ça veut rien dire" ou autre chose du même genre, c'est pas la peine d'aller plus loin.

Il y a aussi le terme "indépendance" qu'il faut comprendre. Le plus simple me semble être de parler d'expériences dépendantes. Un exemple simple : la distribution de cartes dans le contexte du poker. La probabilité de sortir le 4è As est beaucoup plus faible que de sortir le 1er As. Il y a plusieurs expressions utilisé à cet effet, "sachant que", "sans remise", "proba conditionnelle" et j'en oublie probablement. Dans le jeu de pile ou face, les coups sont indépendants, pourtant on observe que le résultat tend vers l'égalité des pile et des face. La démonstration est page 142 du cours dont j'ai donné le lien plusieurs fois. C'est le premier théorème de Bernoulli.
http://www.dlzlogic.com\Gauss1_19.pdf

On appelle cela généralement "variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées" : cette expression est celle des matheux. J'ai longtemps échange avec Sylviel sur l'utilisation du pluriel. Si je réécrivais ce PDF, je pense que je supprimerai cette phrase où alors je ferai un paragraphe d'explication.  
D'abord, il n'y a qu'une variable qui est définie, dans le cas présent : P-F. Cette variable produit plusieurs valeurs au cours du jeu, et c'est cette variable qui tend vers zéro pour un nombre de tirages infini. L'article de Wiki dit que la valeur de cette variable augmente, Eh bien, c'est pas vrai, et c'est justement la loi des grands nombres.  

Dans les fichiers de 10 000 jets, la différence P-F, au cours de la lecture, varie entre + et - en passant naturellement par 0, mais n'a aucune raison d'y rester. Donc on est sûr que cette différence va repasser par zéro, de nouveau s'en éloigner. J'ai appelé ce phénomène "rattrapage de retard". Il n'y a aucune contradiction avec ce que j'ai écrit par ailleurs.

Bon, j'ai lu tes compléments.
Heureusement que tu apportes tes connaissances, quand on pense que depuis deux siècles on croyait que la loi des grands nombres c'était du sérieux !
J'ai oublié un point important : je t'ai indiqué où était la démonstration de la loi des grands nombres, quelle que soit sa force. Il est indispensable que tu précises où cette démonstration est fausse.
Une démonstration alternative est évidemment souhaitée.

Bonjour Beagle,
Je viens de relire tes deux propositions et lire la troisième.
J'ai bien compris que dans tes expérience et tes explications, il ne fait pas de doute que P/F tend vers 1. Nous sommes parfaitement d'accord.
Mais je me pose une question : comment expliquer ce phénomène, puis chacun sait qu'une pièce de monnaie n'a pas de mémoire.

Je compare cela à l'expérience identique qui serait faite dans un contexte quantique, c'est à dire avec un EPR. Jacques Hartong explique cela en détail dans son livre "Probabilités et statistique". Je rappelle tout de même que J.H. étudie dans son introduction le fameux paradoxe de Bertrand et démontre que la question posée a une réponse unique, il est donc considéré par la communauté mathématique comme hérétique et que certains (par respect ?) ont pris le parti d'ignorer cette démonstration.
J.H explique très soigneusement que tous les contrôles et vérifications sont faits pour refaire l'expérience exactement et avec la même rigueur que le lancé à pile ou face. Le constat est clair, les lois fondamentales (moyenne, grands nombres et normale) ne sont pas respectées.

PS. Je ne suis pas persuadé que nous ayons exactement la même définition du terme "probabilité".
J'ai l'impression que pour toi ce terme implique ou attend, ou sous-entend la notion de loi. Autrement dit, si on parle de probabilité, alors il y a une loi de probabilité, laquelle a forcément été fixée avant de commencer l'expérience.
Pour moi, une probabilité c'est un nombre compris entre 0 et 1 qui est le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. Avec le jeu pile ou face, il est clair que la loi de probabilité est simple : chaque face a le même nombre de chances que l'autre de sortir.
Si on prend un planche de Galton et qu'on numérote les godets de 1 à 26. La loi de probabilité est bien une loi uniforme : toutes les billes ont la même forme, poids etc., la planche est la même pour toutes les billes, et pourtant, il y a 26 issues possibles. On pourrait organiser un jeu sous forme de pari sur le numéro de godet qui va recevoir la bille. Ce serait une expérience intéressante à faire.

"Mais je me pose une question : comment expliquer ce phénomène, puis chacun sait qu'une pièce de monnaie n'a pas de mémoire."

l'explication est que les chemins = combinaisons  soit individuels tirage par tirage, soit par paquets, j'avais fait le truc en quatre partie avec retard  RF ou avance  AF de F

les combis 2AF 2RF sont plus nombreuses que les combis 1AF 3RF elles memes plus nombreuses que les 4 AF  ou 4 RF
QS messages sur fil précédent.

Et c'est ce que j'ai remis au début de ce fil de l'article de wiki,
""La forme faible de la loi des grands nombres repose sur une convergence en probabilité, c’est-à-dire qu’elle affirme que parmi tous les échantillons de valeurs possibles, ceux dont la moyenne s’éloigne de la probabilité sont rares, et que cette rareté s’accentue avec la taille de l’échantillon.""

et c'est ce que l'on retrouve dans ton PDF
les chemins les plus nombreux nous amènent à la moyenne ...

"PS. Je ne suis pas persuadé que nous ayons exactement la même définition du terme "probabilité".
J'ai l'impression que pour toi ce terme implique ou attend, ou sous-entend la notion de loi. Autrement dit, si on parle de probabilité, alors il y a une loi de probabilité, laquelle a forcément été fixée avant de commencer l'expérience.
Pour moi, une probabilité c'est un nombre compris entre 0 et 1 qui est le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. Avec le jeu pile ou face, il est clair que la loi de probabilité est simple : chaque face a le même nombre de chances que l'autre de sortir.
Si on prend un planche de Galton et qu'on numérote les godets de 1 à 26. La loi de probabilité est bien une loi uniforme : toutes les billes ont la même forme, poids etc., la planche est la même pour toutes les billes, et pourtant, il y a 26 issues possibles. On pourrait organiser un jeu sous forme de pari sur le numéro de godet qui va recevoir la bille. Ce serait une expérience intéressante à faire.

oui nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles lorsque équiprobabilité.
Donc si on tire des hommes au hasard d'un groupe, équiproba de tirer ces hommes
mais pas équiprobabilité de tirer taille 185 à 190 et taille 170 à 175
si je tire des tailles d'hommes, je tire dans un loi de probabilité quasi loi normale courbe de gauss (l'équiproba étant petites surfaces identiques sous la courbe, il ya moins de petites unités de surface sous 185 à 190 que sous 170 à 175)

Planche de Galton oui équiproba de tomber d'un coté ou de l'autre, c'est come un pile ou face, et la proba de tomber toujours ou souvent du meme coté est plus faible que d'avoir environ meme nombre de chaque coté.Résultats si on considère les évènements la bille tombe sur le numéro machin, ben c'est une loi binomiale.
Donc la bille et tomber d'un coté ou de l'autre uniforme, mais pour les évènements la bille tombe sur le numéro machin, la proba de ces évènements est une loi de proba binomiale.

Ta réponse me confirme clairement que mon intuition était bonne : le terme "probabilité" n'a pas le même sens pour toi et pour moi.
Pour moi, une probabilité est un nombre, un point c'est tout. Le nombre de cas favorables est un nombre entier ou un nombre réel, positif ou nul.
Le nombre de cas possibles est un nombre entier ou réel, positif ou nul.
La probabilité étant un nombre compris entre 0 et 1, le nombre de cas favorables est inférieur ou égal au nombre de cas possibles.
Pour l'instant, il n'est nulle part question de "loi de probabilité".
En matière de probabilité, il y a 3 notions élémentaires
- postulat de la moyenne
- loi des grands nombres
- loi normale citée dans le tcl.

Apparemment tu admets le postulat de la moyenne. Dans le présent fil, on essaye de s'entendre sur la signification de la loi des grands nombres.

Pour info, pour ma satisfaction personnelle, je vais exploiter les 15 liste qu'il me reste à exploiter et j'écrirai les conclusions que je peux en tirer.

Le concept de loi de probabilité se formalise mathématiquement à l'aide de la théorie de la mesure : une loi de probabilité est une mesure, souvent vue comme la loi décrivant le comportement d'une variable aléatoire,

donc proba un nombre, oui qs ici mesure
mais proba de 0,87
moi je ne sais pas ce que c'est
proba de l'évènement machin est 0,87
déjà mieux

donc on parle de la proba de quelque chose, juste un nombre entre 0 et 1, euh ????

Oui, naturellement, par exemple "proba que la prochaine personne que je croise est rousse".
Ou, proba que au moins un élève de la classe de ta fille est roux.
Ou, sur un jet de dé ordinaire, proba que j'obtiene un 6.
Ou, plus compliqué, proba que la caissière de GBZM (je ne sais pas si tu as suivi le fil) ne puisse plus rendre la monnaie.
L'énoncé de toutes ces proba est parfaitement clair.
Autre exemple parfaitement clair : proba que la corde de Bertrand soit plus petite que le côté du triangle équilatéral inscrit.